Внешний луч - External ray

An внешний луч это изгиб что бежит от бесконечность к Юля или же Набор Мандельброта.^[1]Хотя эта кривая редко бывает полупрямая (луч) это называется луч потому что это изображение луча.

Внешние лучи используются в комплексный анализ, особенно в сложная динамика и геометрическая теория функций.

История

Внешние лучи были введены в Дуади и Хаббард исследование Набор Мандельброта

Типы

Критерии классификации:

• плоскость: параметрическая или динамическая
• карта
• бифуркация динамических лучей
• Растяжка

самолет

Внешние лучи (связаны) Юля наборы на динамический самолет часто называют динамические лучи.

Внешние лучи множества Мандельброта (и аналогичных одномерных локусы связности ) на плоскость параметров называются лучи параметров.

бифуркация

Динамический луч может быть:

• раздвоенный = разветвленный^[2] = сломанный ^[3]
• неразветвленный = гладкий

Когда заполненный Юля набор не подключается никакие внешние лучи плеча. Когда комплект Джулии не подключен, некоторые внешние лучи^[4]

растяжение

Растягивающие лучи были введены Браннером и Хаббардом.^[5]

«понятие растягивающихся лучей является обобщением понятия внешних лучей для множества Мандельброта для полиномов более высокой степени». ^[6]

Карты

Полиномы

Динамическая плоскость = z-плоскость

Внешние лучи связаны с компактный, полный, связаны подмножество ${displaystyle K,}$ из комплексная плоскость в качестве :

• изображения радиальных лучей под Карта Римана дополнения ${displaystyle K,}$
• в градиентные линии из Функция Грина из ${displaystyle K,}$
• полевые линии потенциала Дуади-Хаббарда^[7]
• ан интегральная кривая градиентного векторного поля Функция Грина по соседству с бесконечность^[8]

Внешние лучи вместе с эквипотенциальными линиями потенциала Дуади-Хаббарда (наборы уровней) образуют новый полярная система координат за внешний вид ( дополнять ) из ${displaystyle K,}$.

Другими словами, внешние лучи определяют вертикаль. слоение которая ортогональна горизонтальному слоению, определяемому множествами уровней потенциала.^[9]

Униформа

Позволять ${displaystyle Psi _{c},}$ быть конформный изоморфизм от дополнение (внешний вид) из закрытый единичный диск ${displaystyle {overline {mathbb {D} }}}$ в дополнение к заполненный Юля набор ${displaystyle K_{c}}$.

${displaystyle Psi _{c}:{hat {mathbb {C} }}setminus {overline {mathbb {D} }} o {hat {mathbb {C} }}setminus K_{c}}$

куда ${displaystyle {hat {mathbb {C} }}}$ обозначает расширенная комплексная плоскость.Позволять ${displaystyle Phi _{c}=Psi _{c}^{-1},}$ обозначить Карта Бетчера.^[10]${displaystyle Phi _{c},}$ это униформа карта бассейна притяжения бесконечности, потому что она сопрягает ${displaystyle f_{c}}$ на дополнении заполненного множества Юля ${displaystyle K_{c}}$ к ${displaystyle f_{0}(z)=z^{2}}$ в комплекте единичного диска:

${displaystyle {egin{aligned}Phi _{c}:{hat {mathbb {C} }}setminus K_{c}& o {hat {mathbb {C} }}setminus {overline {mathbb {D} }}z&mapsto lim _{n o infty }(f_{c}^{n}(z))^{2^{-n}}end{aligned}}}$

и

${displaystyle Phi _{c}circ f_{c}circ Phi _{c}^{-1}=f_{0}}$

Ценность ${displaystyle w=Phi _{c}(z)}$ называется Координата Бетчера на точку ${displaystyle zin {hat {mathbb {C} }}setminus K_{c}}$.

Формальное определение динамического луча

полярная система координат и Ψ_c для c = −2

В внешний луч угла ${displaystyle heta ,}$ отмечен как ${displaystyle {mathcal {R}}_{ heta }^{K}}$является:

• изображение под ${displaystyle Psi _{c},}$ прямых линий ${displaystyle {mathcal {R}}_{ heta }={left(rcdot e^{2pi i heta }ight): r>1}}$

${displaystyle {mathcal {R}}_{ heta }^{K}=Psi _{c}({mathcal {R}}_{ heta })}$

• множество точек экстерьера залитого множества Джулии с одинаковым внешним углом ${displaystyle heta }$

${displaystyle {mathcal {R}}_{ heta }^{K}={zin {hat {mathbb {C} }}setminus K_{c}:arg(Phi _{c}(z))= heta }}$

Характеристики

Внешний луч для периодического угла ${displaystyle heta ,}$ удовлетворяет:

${displaystyle f({mathcal {R}}_{ heta }^{K})={mathcal {R}}_{2 heta }^{K}}$

и его точка приземления^[11] ${displaystyle gamma _{f}( heta )}$ удовлетворяет:

${displaystyle f(gamma _{f}( heta ))=gamma _{f}(2 heta )}$

Параметр plane = c-plane

«Параметрические лучи - это просто кривые, которые проходят перпендикулярно эквипотенциальным кривым М-набора».^[12]

Униформа

Граница Набор Мандельброта в качестве изображение из единичный круг под ${displaystyle Psi _{M},}$

Униформа из дополнение (внешний вид) из Набор Мандельброта

Позволять ${displaystyle Psi _{M},}$ быть отображением из дополнение (внешний вид) из закрытый единичный диск ${displaystyle {overline {mathbb {D} }}}$ в дополнение к Набор Мандельброта ${displaystyle M}$.

${displaystyle Psi _{M}:mathbb {hat {C}} setminus {overline {mathbb {D} }} o mathbb {hat {C}} setminus M}$

и карта Бетчера (функция) ${displaystyle Phi _{M},}$, который униформа карта^[13] дополнения множества Мандельброта, поскольку оно конъюгирует дополнение Набор Мандельброта ${displaystyle M}$ и дополнение (внешний вид) из закрытый единичный диск

${displaystyle Phi _{M}:mathbb {hat {C}} setminus M o mathbb {hat {C}} setminus {overline {mathbb {D} }}}$

его можно нормализовать так, чтобы:

${displaystyle {frac {Phi _{M}(c)}{c}} o 1 as c o infty ,}$^[14]

куда :

${displaystyle mathbb {hat {C}} }$ обозначает расширенная комплексная плоскость

Функция Юнгрейса ${displaystyle Psi _{M},}$ инверсия униформа карта :

${displaystyle Psi _{M}=Phi _{M}^{-1},}$

В случае комплексный квадратичный многочлен можно вычислить эту карту, используя Серия Laurent о бесконечность^[15][16]

${displaystyle c=Psi _{M}(w)=w+sum _{m=0}^{infty }b_{m}w^{-m}=w-{frac {1}{2}}+{frac {1}{8w}}-{frac {1}{4w^{2}}}+{frac {15}{128w^{3}}}+...,}$

куда

${displaystyle cin mathbb {hat {C}} setminus M}$

${displaystyle win mathbb {hat {C}} setminus {overline {mathbb {D} }}}$

Формальное определение луча параметров

В внешний луч угла ${displaystyle heta ,}$ является:

• изображение под ${displaystyle Psi _{c},}$ прямых линий ${displaystyle {mathcal {R}}_{ heta }={left(r*e^{2pi i heta }ight): r>1}}$

${displaystyle {mathcal {R}}_{ heta }^{M}=Psi _{M}({mathcal {R}}_{ heta })}$

• множество точек экстерьера множества Мандельброта с одинаковым внешним углом ${displaystyle heta }$^[17]

${displaystyle {mathcal {R}}_{ heta }^{M}={cin mathbb {hat {C}} setminus M:arg(Phi _{M}(c))= heta }}$

Значение ${displaystyle Phi _{M},}$

Дуади и Хаббард определяют:

${displaystyle Phi _{M}(c) {overset {underset {mathrm {def} }{}}{=}} Phi _{c}(z=c),}$

так внешний угол точки ${displaystyle c,}$ плоскости параметров равен внешнему углу точки ${displaystyle z=c,}$ динамической плоскости

Внешний угол

Угол θ назван внешний угол ( аргумент ).^[18]

Главное значение внешних углов измеренный в повороты по модулю 1

1 повернуть = 360 градусы = 2 × π радианы

Сравните разные виды углов:

• внешний (точка экстерьера набора)
• внутренняя (точка внутри компонента)
• простой ( аргумент комплексного числа )

	внешний угол	внутренний угол	простой угол
плоскость параметров	${displaystyle arg(Phi _{M}(c)),}$	${displaystyle arg(ho _{n}(c)),}$	${displaystyle arg(c),}$
динамический самолет	${displaystyle arg(Phi _{c}(z)),}$		${displaystyle arg(z),}$

Вычисление внешнего аргумента

• аргумент координаты Бёттхера как внешний аргумент^[19]
  • ${displaystyle arg _{M}(c)=arg(Phi _{M}(c))}$
  • ${displaystyle arg _{c}(z)=arg(Phi _{c}(z))}$
• последовательность замешивания как двоичное разложение внешнего аргумента^[20][21][22]

Трансцендентные карты

За трансцендентный карты (например экспоненциальный ) бесконечность не фиксированная точка, а существенная особенность и нет Изоморфизм Бетчера.^[23][24]

Здесь динамический луч определяется как кривая:

• соединение точки в набор побега и бесконечность^{[требуется разъяснение ]}
• лежа в набор побега

Изображений

Динамические лучи

• неразветвленный
• 

  Юля настроена на ${displaystyle f_{c}(z)=z^{2}-1}$ с 2-мя внешними лучами, приземляющимися на отражающую фиксированную точку альфа

• 

  Юля набор и 3 внешние лучи посадка на фиксированную точку ${displaystyle alpha _{c},}$

• 

  Динамические внешние лучи, приземляющиеся на период отталкивания 3 цикла, и 3 внутренних луча, приземляющиеся в фиксированной точке ${displaystyle alpha _{c},}$

• 

  Набор Джулии с внешними лучами, приземляющимися на орбиту периода 3

• Воспроизвести медиа

  Лучи, падающие на параболическую фиксированную точку для периодов 2-40

• разветвленный
• 

  Разветвленный динамический луч

Параметрические лучи

Набор Мандельброта за комплексный квадратичный многочлен с параметрическими лучами корневых точек

• 

  Наружные лучи для углов формы: n / (2¹ - 1) (0/1; 1/1) приземление в точку c = 1/4, которая является куспидом основной кардиоиды (компонент периода 1)

• 

  Наружные лучи для углов формы: n / (2² - 1) (1/3, 2/3) приземление в точку c = - 3/4, которая является корневой точкой компонента периода 2

• 

  Наружные лучи для углов формы: n / (2³ - 1) (1 / 7,2 / 7) (3 / 7,4 / 7) приземление на точку c = -1,75 = -7/4 (5 / 7,6 / 7) приземление на корневые точки периода 3 компонента.

• 

  Наружные лучи для углов формы: n / (2⁴ - 1) (1 / 15,2 / 15) (3/15, 4/15) (6/15, 9/15) приземление на корневую точку c = -5/4 (7/15, 8/15) (15.11, 12/15) (13/15, 14/15) посадка на корневые точки компонентов периода 4.

• 

  Наружные лучи для углов формы: n / (2⁵ - 1) посадка на корневые точки периода 5 компонентов

• 

  внутренний луч главной кардиоиды под углом 1/3: начинается от центра основной кардиоиды c = 0, заканчивается в корневой точке компонента периода 3, которая является точкой посадки параметрических (внешних) лучей с углами 1/7 и 2 / 7

• 

  Внутренний луч для угла 1/3 основной кардиоиды, полученный по конформной карте из единичной окружности

• 

  Мини-набор Мандельброта с периодом 134 и 2 внешними лучами

• 
• 
• 
• 

  Просыпается около острова периода 3

• 

  Просыпается по основной антенне

Пространство параметров комплексное экспоненциальное семейство f (z) = exp (z) + c. Восемь лучей параметров, попадающих в этот параметр, нарисованы черным.

Программы, которые могут рисовать внешние лучи

• Мандель - программа Вольфа Юнга, написанная на C ++ с помощью Qt с исходный код доступно под Стандартная общественная лицензия GNU
  • Java-апплеты Евгения Демидова (код функции mndlbrot :: turn от Wolf Jung перенесен на Java) бесплатно исходный код
  • ezfract Майкл Сарджент, использует код Вольфа Юнга
• ОТИС Томоки Кавахира - Java-апплет без исходный код
• Программа Spider XView Юваля Фишера
• ЯБМП проф. Евгения Заустинского за ДОС без исходный код
• DH_Drawer к Арно Шерита написан для Windows 95 без исходный код
• Программы Linas Vepstas C за Linux консоль с исходный код
• Program Julia by Кертис Т. Макмаллен написано на C и Команды Linux за Оболочка C консоль с исходный код
• Программа mjwinq от Matjaz Erat написано в delphi / windows без исходный код (Для внешних лучей он использует методы из quad.c в julia.tar Кертиса Т. Макмаллена)
• RatioField Герта Бушмана, для окон с Паскаль исходный код для Дев-Паскаль 1.9.2 (с Free Pascal компилятор)
• Программа Мандельброта Милана Ва, написанная на Delphi с исходным кодом
• Power MANDELZOOM Роберт Мунафо
• ерш - Клод Хейланд-Аллен

Смотрите также

• внешние лучи Точка Мисюревича
• Орбитальный портрет
• Периодические точки комплексных квадратичных отображений
• Постоянная Пруэ-Туэ-Морса
• Теорема Каратеодори
• Полевые линии множеств Юлии

Рекомендации

1. Дж. Киви: Рациональные лучи и критические портреты комплексных многочленов. Докторская диссертация SUNY в Стоуни-Брук (1997); Препринт ИМС № 1997/15. В архиве 2004-11-05 на Wayback Machine
2. Атела, П. (1992). Бифуркации динамических лучей в комплексных многочленах второй степени. Эргодическая теория и динамические системы, 12 (3), 401-423. DOI: 10.1017 / S0143385700006854
3. Периодические точки и гладкие лучи Карстен Л. Петерсен, Саид Закери
4. Голоморфная динамика: о накоплении растягивающих лучей Пиа Б.Н. Виллумсен, см. Стр. 12
5. Итерация кубических многочленов Часть I: Глобальная топология параметра БОДИЛА БРАННЕРА и ДЖОНА ХАББАРДА
6. СВОЙСТВО ПОСАДКИ ЛУЧЕЙ РАСТЯЖЕНИЯ ДЛЯ НАСТОЯЩИХ КУБИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ ЙОХЭИ КОМОРИ И ШИЗУО НАКАНЕ. КОНФОРМАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ДИНАМИКА Электронный журнал Американского математического общества Том 8, страницы 87–114 (29 марта 2004 г.) S 1088-4173 (04) 00102-X
7. Видео: красота и сложность набора Мандельброта Джона Хаббарда (см. Часть 3)
8. Юньпин Цзин: Локальная связность множества Мандельброта в некоторых бесконечно перенормируемых точках Сложная динамика и связанные темы, Новые исследования в области высшей математики, 2004, The International Press, 236-264
9. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ БАССЕЙНЫ БЕСКОНЕЧНОСТИ ЛАУРА ДЕМАРКО И КЕВИН М. ПИЛИГРИМ
10. Как нарисовать внешние лучи Вольфа Юнга
11. Тесселяция и слоистость Любича-Минского, связанная с квадратичными отображениями I: Полусопряженные защемления Томоки Кавахира В архиве 2016-03-03 в Wayback Machine
12. Параметрические лучи Дуади Хаббарда, Линас Вепстас
13. Ирвин Юнгрейс: унификация дополнения к множеству Мандельброта. Duke Math. J. Том 52, номер 4 (1985), 935-938.
14. Адриан Дуади, Джон Хаббард, Динамические исследования комплексов полиномов I и II, Publ. Математика. Орсе. (1984-85) (Примечания Орсе)
15. Вычисление ряда Лорана карты Psi: C-D в C-M. Bielefeld, B .; Фишер, Y .; Haeseler, F. V. Adv. в Прил. Математика. 14 (1993), нет. 1, 25--38,
16. Вайсштейн, Эрик В. «Набор Мандельброта». Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram
17. Алгоритм рисования внешних лучей множества Мандельброта Томоки Кавахира
18. http://www.mrob.com/pub/muency/externalangle.html Внешний угол в Mu-ENCY (Энциклопедия набора Мандельброта) Роберта Мунафо
19. Вычисление внешнего аргумента Вольфом Юнгом
20. А. ДУАДИ. Алгоритмы вычисления углов в множестве Мандельброта (Хаотическая динамика и фракталы, изд. Барнсли и Демко, Acad. Press, 1986, стр. 155-168).
21. Адриан Дуади, Джон Хаббард: изучение множества Мандельброта. Записки Орсе. стр.58
22. Крис Кинг из математического факультета Оклендского университета «Взрыв темного сердца хаоса».
23. Топологическая динамика целых функций Хелены Михальевич-Брандт
24. Динамические лучи целых функций и их поведение при приземлении Хелены Михальевич-Брандт

• Леннарт Карлесон и Теодор В. Гамелен, Комплексная динамика, Springer 1993 г.
• Адриан Дуади и Джон Хаббард, Динамичный этюд комплексов полиномов, Prepublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984/1985)
• Джон В. Милнор, Периодические орбиты, внешние лучи и множество Мандельброта: пояснительный отчет; Géométrie complexe et systèmes Dynamiques (Орсе, 1995), Astérisque № 261 (2000), 277–333. (Впервые появился как Препринт Stony Brook IMS в 1999 г., доступен как arXiV: math.DS / 9905169.)
• Джон Милнор, Динамика в одной сложной переменной, Третье издание, Princeton University Press, 2006 г., ISBN  0-691-12488-4
• Вольф Юнг: гомеоморфизмы на ребрах множества Мандельброта. Кандидат наук. дипломная работа 2002 г.

внешняя ссылка

• Потенциал Хаббарда-Дуади, полевые линии Иниго Куилеса ^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Рисование Mc по алгоритму Юнгрейса
• Внутренние лучи компонентов множества Мандельброта
• Презентация Джона Хаббарда, Красота и сложность множества Мандельброта, часть 3.1.
• видео от ImpoliteFruit
• Милан Ва. "Рисунок множества Мандельброта". Получено 2009-06-15.