Периодические точки комплексных квадратичных отображений - Periodic points of complex quadratic mappings

Эта статья описывает периодические точки некоторых комплексные квадратичные отображения. А карта формула для вычисления значения переменной на основе ее собственного предыдущего значения или значений; а квадратичный map - это та, которая включает предыдущее значение, возведенное в степени один и два; и сложный карта - это та, в которой переменная и параметры сложные числа. А периодическая точка карты - это значение переменной, которое повторяется через интервалы фиксированной длины.

Эти периодические точки играют роль в теориях Фату и Юля наборы.

Определения

Позволять

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c\,}$

быть комплексное квадратичное отображение, куда ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle c}$ находятся комплексный.

Условно, ${\displaystyle \ f_{c}^{(k)}(z)}$ это ${\displaystyle \ k}$ -складывать сочинение из ${\displaystyle f_{c}\,}$ с самим собой, то есть значение после k-го итерация функции ${\displaystyle f_{c}.\,}$ Таким образом

${\displaystyle \ f_{c}^{(k)}(z)=f_{c}(f_{c}^{(k-1)}(z)).}$

Периодические точки комплексного квадратичного отображения период${\displaystyle \ p}$ точки${\displaystyle \ z}$ из динамический самолет такой, что

${\displaystyle f_{c}^{(p)}(z)=z,}$

куда${\displaystyle \ p}$ - наименьшее натуральное число, для которого уравнение выполняется при этом z.

Мы можем ввести новую функцию:

${\displaystyle \ F_{p}(z,f)=f_{c}^{(p)}(z)-z,}$

поэтому периодические точки - это нули функции ${\displaystyle \ F_{p}(z,f)}$: точки z удовлетворение

${\displaystyle F_{p}(z,f)=0,}$

который является полиномом от степень ${\displaystyle 2^{p}.}$

Количество периодических точек

Степень полинома ${\displaystyle \ F_{p}(z,f)}$ описание периодических точек ${\displaystyle d=2^{p}}$ так это точно ${\displaystyle d=2^{p}}$ комплексные корни (= периодические точки), считая с множественность,

Устойчивость периодических точек (орбит) - множитель

Индекс устойчивости периодических точек по горизонтальной оси

границы областей плоскости параметров с притягивающей орбитой периодов 1-6

Критическая орбита дискретной динамической системы на основе комплексный квадратичный многочлен. Имеет тенденцию слабо привлечение фиксированная точка с абс (множитель) = 0,99993612384259

В множитель (или собственное значение, производная) ${\displaystyle m(f^{p},z_{0})=\lambda \,}$ рациональной карты ${\displaystyle f\,}$ повторяется ${\displaystyle p}$ раз в циклической точке ${\displaystyle z_{0}\,}$определяется как:

${\displaystyle m(f^{p},z_{0})=\lambda ={\begin{cases}f^{p\prime }(z_{0}),&{\mbox{if }}z_{0}\neq \infty \\{\frac {1}{f^{p\prime }(z_{0})}},&{\mbox{if }}z_{0}=\infty \end{cases}}}$

куда ${\displaystyle f^{p\prime }(z_{0})}$ это первая производная из${\displaystyle \ f^{p}}$ относительно ${\displaystyle z\,}$ в ${\displaystyle z_{0}}$.

Поскольку множитель одинаков во всех периодических точках на данной орбите, он называется множителем периодических орбита.

Множитель:

• а комплексное число;
• инвариантен относительно сопряжения любого рационального отображения в его неподвижной точке;^[1]
• используется для проверки устойчивости периодических (также фиксированных) точек с индекс стабильности ${\displaystyle abs(\lambda ).\,}$

Периодическая точка^[2]

• привлечение, когда ${\displaystyle abs(\lambda )<1;\,}$
  • супер-привлекательный, когда ${\displaystyle abs(\lambda )=0;\,}$
  • привлекает, но не очень привлекает, когда ${\displaystyle 0<abs(\lambda )<1;\,}$
• безразлично, когда ${\displaystyle abs(\lambda )=1;\,}$
  • рационально индифферентный или параболический, если ${\displaystyle \lambda \,}$ это корень единства;
  • иррационально равнодушный если ${\displaystyle abs(\lambda )=1\,}$ но множитель - это не корень единицы;
• отталкивает, когда ${\displaystyle abs(\lambda )>1.\,}$

Периодические точки

• которые привлекают всегда в Набор Fatou;
• отталкивающие входят в набор Джулии;
• безразличные фиксированные точки могут быть в одной или другой.^[3] Параболическая периодическая точка находится в множестве Жюлиа.

Очки Period-1 (фиксированные)

Конечные фиксированные точки

Начнем с поиска всех конечный баллов, оставленных без изменений одним применением ${\displaystyle f}$. Это точки, удовлетворяющие ${\displaystyle f_{c}(z)=z}$. То есть мы хотим решить

${\displaystyle z^{2}+c=z,\,}$

который можно переписать как

${\displaystyle \ z^{2}-z+c=0.}$

Поскольку это обычное квадратное уравнение с одной неизвестной, мы можем применить стандартная квадратичная формула решения:

${\displaystyle \alpha _{1}={\frac {1-{\sqrt {1-4c}}}{2}}}$ и ${\displaystyle \alpha _{2}={\frac {1+{\sqrt {1-4c}}}{2}}.}$

Таким образом, для ${\displaystyle c\in {\mathbb {C} }\setminus \{1/4\}}$ у нас есть два конечный фиксированные точки ${\displaystyle \alpha _{1}\,}$ и ${\displaystyle \alpha _{2}\,}$.

С

${\displaystyle \alpha _{1}={\frac {1}{2}}-m}$ и ${\displaystyle \alpha _{2}={\frac {1}{2}}+m}$ куда ${\displaystyle m={\frac {\sqrt {1-4c}}{2}}}$

тогда ${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}=1}$.

Таким образом, неподвижные точки симметричны относительно ${\displaystyle z=1/2}$.

На этом изображении показаны фиксированные точки (обе отталкивающие)

Сложная динамика

Неподвижные точки для c по горизонтальной оси

Набор Fatou для F (z) = z * z с отмеченной фиксированной точкой

Здесь обычно используются разные обозначения:^[4]

${\displaystyle \alpha _{c}={\frac {1-{\sqrt {1-4c}}}{2}}}$ с множителем ${\displaystyle \lambda _{\alpha _{c}}=1-{\sqrt {1-4c}}\,}$

и

${\displaystyle \beta _{c}={\frac {1+{\sqrt {1-4c}}}{2}}}$ с множителем ${\displaystyle \lambda _{\beta _{c}}=1+{\sqrt {1-4c}}.\,}$

С помощью Формулы Вьете можно показать, что:

${\displaystyle \alpha _{c}+\beta _{c}=1.}$

С производная по z является

${\displaystyle P_{c}'(z)={\frac {d}{dz}}P_{c}(z)=2z,}$

тогда

${\displaystyle P_{c}'(\alpha _{c})+P_{c}'(\beta _{c})=2\alpha _{c}+2\beta _{c}=2(\alpha _{c}+\beta _{c})=2.\,}$

Отсюда следует, что ${\displaystyle P_{c}\,}$ может иметь не более одной привлекательной фиксированной точки.

Эти точки отличаются тем, что:

• ${\displaystyle \beta _{c}\,}$ является:
  • точка приземления внешний луч для угла = 0 для ${\displaystyle c\in M\setminus \left\{{\frac {1}{4}}\right\}}$
  • самая отталкивающая неподвижная точка множества Жюлиа
  • правый (если фиксированная точка не симметрична относительно действительной оси), это крайняя правая точка для связанных множеств Джулии (кроме цветной капусты).^[5]
• ${\displaystyle \alpha _{c}\,}$ является:
  • точка посадки нескольких лучей
  • привлечение, когда ${\displaystyle c}$ находится в главной кардиоиде множества Мандельброта, и в этом случае он находится внутри заполненного множества Жюлиа и, следовательно, принадлежит множеству Фату (строго к бассейну притяжения конечной неподвижной точки)
  • параболическая в корневой точке лимба множества Мандельброта
  • отталкивает для других значений ${\displaystyle c}$

Особые случаи

Важным случаем квадратичного отображения является ${\displaystyle c=0}$. В этом случае получаем ${\displaystyle \alpha _{1}=0}$ и ${\displaystyle \alpha _{2}=1}$. В этом случае 0 - суператрактивный фиксированная точка, а 1 принадлежит Юля набор.

Только одна фиксированная точка

У нас есть ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}}$ именно когда ${\displaystyle 1-4c=0.}$ Это уравнение имеет одно решение: ${\displaystyle c=1/4,}$ в таком случае ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=1/2}$. Фактически ${\displaystyle c=1/4}$ - наибольшее положительное чисто реальное значение, для которого существует конечный аттрактор.

Бесконечная фиксированная точка

Мы можем продлить комплексная плоскость ${\displaystyle \mathbb {C} }$ к Сфера Римана (расширенная комплексная плоскость) ${\displaystyle \mathbb {\hat {C}} }$ добавляя бесконечность  :

${\displaystyle \mathbb {\hat {C}} =\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$

и расширение многочлен ${\displaystyle f_{c}\,}$такой, что ${\displaystyle f_{c}(\infty )=\infty .\,}$

потом бесконечность является :

• сверхвтягивающий
• фиксированная точка многочлен ${\displaystyle f_{c}:\,}$^[6]

${\displaystyle f_{c}(\infty )=\infty =f_{c}^{-1}(\infty ).\,}$

Период-2 цикла

Бифуркация с периода 1 на 2 для комплексное квадратичное отображение

Циклы периода 2 - это две разные точки. ${\displaystyle \beta _{1}}$ и ${\displaystyle \beta _{2}}$ такой, что ${\displaystyle f_{c}(\beta _{1})=\beta _{2}}$ и ${\displaystyle f_{c}(\beta _{2})=\beta _{1}}$.

Мы пишем ${\displaystyle f_{c}(f_{c}(\beta _{n}))=\beta _{n}:}$

${\displaystyle f_{c}(f_{c}(z))=(z^{2}+c)^{2}+c=z^{4}+2cz^{2}+c^{2}+c.\,}$

Приравнивая это к z, мы получаем

${\displaystyle z^{4}+2cz^{2}-z+c^{2}+c=0.}$

Это уравнение является многочленом степени 4 и поэтому имеет четыре (возможно, не различных) решения. Однако нам уже известны два решения. Они есть ${\displaystyle \alpha _{1}}$ и ${\displaystyle \alpha _{2}}$, вычисленное выше, так как если эти точки остаются неизменными одним применением ${\displaystyle f}$, то очевидно, что они не будут изменены более чем одним применением ${\displaystyle f}$.

Следовательно, наш полином 4-го порядка можно разложить на множители двумя способами:

Первый метод факторизации

${\displaystyle (z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})(z-\beta _{1})(z-\beta _{2})=0.\,}$

Это расширяется прямо как ${\displaystyle x^{4}-Ax^{3}+Bx^{2}-Cx+D=0}$ (обратите внимание на чередующиеся знаки), где

${\displaystyle D=\alpha _{1}\alpha _{2}\beta _{1}\beta _{2},\,}$

${\displaystyle C=\alpha _{1}\alpha _{2}\beta _{1}+\alpha _{1}\alpha _{2}\beta _{2}+\alpha _{1}\beta _{1}\beta _{2}+\alpha _{2}\beta _{1}\beta _{2},\,}$

${\displaystyle B=\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{1}\beta _{2}+\alpha _{2}\beta _{1}+\alpha _{2}\beta _{2}+\beta _{1}\beta _{2},\,}$

${\displaystyle A=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\beta _{1}+\beta _{2}.\,}$

У нас уже есть два решения, и нам нужны только два других. Следовательно, задача эквивалентна решению квадратного многочлена. В частности, отметим, что

${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}={\frac {1-{\sqrt {1-4c}}}{2}}+{\frac {1+{\sqrt {1-4c}}}{2}}={\frac {1+1}{2}}=1}$

и

${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}={\frac {(1-{\sqrt {1-4c}})(1+{\sqrt {1-4c}})}{4}}={\frac {1^{2}-({\sqrt {1-4c}})^{2}}{4}}={\frac {1-1+4c}{4}}={\frac {4c}{4}}=c.}$

Добавляя их к вышесказанному, мы получаем ${\displaystyle D=c\beta _{1}\beta _{2}}$ и ${\displaystyle A=1+\beta _{1}+\beta _{2}}$. Сопоставление их с коэффициентами от расширения ${\displaystyle f}$, мы получили

${\displaystyle D=c\beta _{1}\beta _{2}=c^{2}+c}$ и ${\displaystyle A=1+\beta _{1}+\beta _{2}=0.}$

Отсюда легко получаем

${\displaystyle \beta _{1}\beta _{2}=c+1}$ и ${\displaystyle \beta _{1}+\beta _{2}=-1}$.

Отсюда построим квадратное уравнение с ${\displaystyle A'=1,B=1,C=c+1}$ и примените стандартную формулу решения, чтобы получить

${\displaystyle \beta _{1}={\frac {-1-{\sqrt {-3-4c}}}{2}}}$ и ${\displaystyle \beta _{2}={\frac {-1+{\sqrt {-3-4c}}}{2}}.}$

Более пристальное рассмотрение показывает, что:

${\displaystyle f_{c}(\beta _{1})=\beta _{2}}$ и ${\displaystyle f_{c}(\beta _{2})=\beta _{1},}$

это означает, что эти две точки являются двумя точками в одном цикле периода-2.

Второй метод факторизации

Мы можем разложить квартику на множители, используя полиномиальное деление в столбик разделить факторы ${\displaystyle (z-\alpha _{1})}$ и ${\displaystyle (z-\alpha _{2}),}$ которые учитывают две фиксированные точки ${\displaystyle \alpha _{1}}$ и ${\displaystyle \alpha _{2}}$ (значения которых были указаны ранее и которые все еще остаются в фиксированной точке после двух итераций):

${\displaystyle (z^{2}+c)^{2}+c-z=(z^{2}+c-z)(z^{2}+z+c+1).\,}$

Корни первого фактора - это две неподвижные точки. Они отталкиваются за пределами основной кардиоиды.

Второй фактор имеет два корня

${\displaystyle {\frac {-1\pm {\sqrt {-3-4c}}}{2}}.\,}$

Эти два корня, которые совпадают с корнями, найденными первым методом, образуют орбиту с периодом 2.^[7]

Особые случаи

Опять же, давайте посмотрим на ${\displaystyle c=0}$. потом

${\displaystyle \beta _{1}={\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}}$ и ${\displaystyle \beta _{2}={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},}$

оба являются комплексными числами. У нас есть ${\displaystyle |\beta _{1}|=|\beta _{2}|=1}$. Таким образом, обе эти точки «прячутся» в множестве Жюлиа. Другой частный случай - это ${\displaystyle c=-1}$, который дает ${\displaystyle \beta _{1}=0}$ и ${\displaystyle \beta _{2}=-1}$. Это дает хорошо известный суператрактивный цикл, обнаруженный в самой большой доле периода 2 квадратичного множества Мандельброта.

Циклы за период больше 2

Степень уравнения ${\displaystyle f^{(n)}(z)=z}$ 2^п; таким образом, например, чтобы найти точки на 3-х циклах, нам нужно будет решить уравнение степени 8. После разложения факторов, дающих две фиксированные точки, мы получим уравнение шестой степени.

Нет общего решения в радикалы в полиномиальные уравнения пятой степени или выше, поэтому точки на цикле с периодом больше 2, как правило, должны вычисляться с использованием численные методы. Однако в частном случае периода 4 циклические точки имеют длинные выражения в радикалах.^[8]

В случае c = –2, тригонометрический решения существуют для периодических точек всех периодов. Дело ${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}-2}$ эквивалентен логистическая карта дело р = 4: ${\displaystyle x_{n+1}=4x_{n}(1-x_{n}).}$ Здесь эквивалентность дается формулой ${\displaystyle z=2-4x.}$ Один из k-циклы логистической переменной Икс (все циклы отталкиваются)

${\displaystyle \sin ^{2}\left({\frac {2\pi }{2^{k}-1}}\right),\,\sin ^{2}\left(2\cdot {\frac {2\pi }{2^{k}-1}}\right),\,\sin ^{2}\left(2^{2}\cdot {\frac {2\pi }{2^{k}-1}}\right),\,\sin ^{2}\left(2^{3}\cdot {\frac {2\pi }{2^{k}-1}}\right),\dots ,\sin ^{2}\left(2^{k-1}{\frac {2\pi }{2^{k}-1}}\right).}$

Рекомендации

1. Алан Ф. Бердон, Итерация рациональных функций, Springer 1991, ISBN  0-387-95151-2, п. 41 год
2. Алан Ф. Бердон, Итерация рациональных функций, Springer 1991, ISBN  0-387-95151-2, стр.99
3. Некоторые наборы Julia от Майкла Беккера
4. На обычном пространстве листьев цветной капусты Томоки Кавахира Источник: Kodai Math. J. Том 26, номер 2 (2003), 167-178. В архиве 2011-07-17 на Wayback Machine
5. Периодический аттрактор Евгения Демидова В архиве 2008-05-11 на Wayback Machine
6. Р. Л. Девани, L Keen (Редактор): Хаос и фракталы: математика, лежащая в основе компьютерной графики. Издатель: Amer Mathematical Society июль 1989 г. ISBN  0-8218-0137-6 , ISBN  978-0-8218-0137-6
7. Период 2 орбиты Евгения Демидова В архиве 2008-05-11 на Wayback Machine
8. Гвозден Рукавина: Квадратичные рекуррентные уравнения - точное явное решение функций неподвижных точек с периодом четыре на бифуркационной диаграмме

дальнейшее чтение

• Геометрические свойства корней полиномов
• Алан Ф. Бердон, Итерация рациональных функций, Springer 1991, ISBN  0-387-95151-2
• Майкл Ф. Барнсли (автор), Стивен Г. Демко (редактор), Chaotic Dynamics and Fractals (Notes and Reports in Mathematics in Science and Engineering Series) Academic Pr (апрель 1986), ISBN  0-12-079060-2
• Вольф Юнг: гомеоморфизмы на ребрах множества Мандельброта. Кандидат наук. дипломная работа 2002 г.
• Перестановки периодических точек в квадратичных многочленах Дж. Лихи

внешняя ссылка

• Алгебраическое решение орбитальных границ Мандельброта Дональд Д. Кросс
• Метод Брауна Роберт П. Мунафо
• arXiv: hep-th / 0501235v2 В.Долотин, А.Морозов: Алгебраическая геометрия дискретной динамики. Случай одной переменной.