Уравнение Бёттчера - Böttchers equation

Уравнение Бёттхера это функциональное уравнение

${\displaystyle F(h(z))=(F(z))^{n}}$

куда

• час дано аналитическая функция с сверхвтягивающим фиксированная точка порядка п в а, (то есть, ${\displaystyle h(z)=a+c(z-a)^{n}+O((z-a)^{n+1})~,}$ в район из а), с п ≥ 2
• F искомая функция.

В логарифм этого функционального уравнения составляет Уравнение Шредера.

Имя

Уравнение названо в честь Люциан Бёттчер.

Решение

Решение функциональное уравнение это функция в неявная форма.

Люсьен Эмиль Бёттчер набросал в 1904 г. доказательство существования решения: аналитическая функция F в окрестности неподвижной точки а, такое, что:^[1]

${\displaystyle F(a)=0}$

Это решение иногда называют:

• координата Бёттхера
• функция Бёттчера^[2]
• карта Бетчера.

Полное доказательство опубликовано Джозеф Ритт в 1920 г.^[3] кто не знал об исходной формулировке.^[4]

Координата Бёттхера (логарифм Функция Шредера ) конъюгаты h (z) в окрестности неподвижной точки функции z^п. Особенно важный случай - когда h (z) является многочленом степени п, и а = ∞ .^[5]

Примеры

Для функции h и n = 2^[6]

${\displaystyle h(x)={\frac {x^{2}}{1-2x^{2}}}}$

функция Бёттчера F:

${\displaystyle F(x)={\frac {x}{1+x^{2}}}}$

Приложения

Уравнение Бёттхера играет фундаментальную роль в части голоморфная динамика который изучает итерация из многочлены одного комплексная переменная.

Глобальные свойства координаты Бёттхера изучались Фату^[7][8] и Дуади и Хаббард.^[9]

Смотрите также

• Уравнение Шредера
• Внешний луч

Рекомендации

1. Бёттчер, Л. Э. (1904). «Основные законы сходимости итераций и их приложение к анализу». Изв. Казань. Физ.-мат. Общ. 14: 155–234.
2. J. F. Ritt. Об итерации рациональных функций. Пер. Амер. Математика. Soc. 21 (1920) 348-356. Руководство по ремонту 1501149.
3. Ритт, Джозеф (1920). «Об итерации рациональных функций». Пер. Амер. Математика. Soc. 21 (3): 348–356. Дои:10.1090 / S0002-9947-1920-1501149-6.
4. Стависка, Малгожата (15 ноября 2013 г.). "Люциан Эмиль Бёттчер (1872–1937) - польский пионер голоморфной динамики". arXiv:1307.7778 [math.HO ].
5. Коуэн, К. С. (1982). «Аналитические решения функционального уравнения Бёттхера в единичном круге». Aequationes Mathematicae. 24: 187–194. Дои:10.1007 / BF02193043.
6. Хаос, Арун Холден, Princeton University Press, 14 июля 2014 г. - 334
7. Александр, Даниэль С .; Иавернаро, Феличе; Роза, Алессандро (2012). Первые годы сложной динамики: история сложной динамики одной переменной в течение 1906–1942 гг.. ISBN  978-0-8218-4464-9.
8. Фату, П. (1919). "Sur les équations fonctionnelles, I". Bulletin de la Société Mathématique de France. 47: 161–271. Дои:10.24033 / bsmf.998. JFM  47.0921.02.; Фату, П. (1920). "Sur les équations fonctionnelles, II". Bulletin de la Société Mathématique de France. 48: 33–94. Дои:10.24033 / bsmf.1003. JFM  47.0921.02.; Фату, П. (1920). "Sur les équations fonctionnelles, III". Bulletin de la Société Mathématique de France. 48: 208–314. Дои:10.24033 / bsmf.1008. JFM  47.0921.02.
9. Douady, A .; Хаббард, Дж. (1984). "Этюд динамических комплексов полиномов (первая партия)". Publ. Математика. Орсе. Архивировано из оригинал на 2013-12-24. Получено 2012-01-22.; Douady, A .; Хаббард, Дж. (1985). "Динамический этюд выпуклых полиномов (deuxième partie)". Publ. Математика. Орсе. Архивировано из оригинал на 2013-12-24. Получено 2012-01-22.