Уравнение Шредерса - Schröders equation

Эрнст Шредер (1841–1902) в 1870 году сформулировал свое одноименное уравнение.

Не путать с Уравнение Шредингера.

Уравнение Шредера,^[1][2][3] названный в честь Эрнст Шредер, это функциональное уравнение с одним независимая переменная: с учетом функции часнайти функцию Ψ такой, что

${\displaystyle \forall x\;\;\;\Psi {\big (}h(x){\big )}=s\Psi (x).}$

Уравнение Шредера - это уравнение на собственные значения для оператор композиции C_час, который отправляет функцию ж к ж(час(.)).

Если а это фиксированная точка из час, смысл час(а) = а, то либо Ψ (а) = 0 (или же ∞) или же s = 1. Таким образом, при условии, что Ψ (а) конечно и Ψ ′ (а) не исчезает и не расходится, собственное значение s дан кем-то s = час′(а).

Функциональное значение

За а = 0, если час аналитична на единичном диске, исправляет 0, и 0 < |час′(0)| < 1, тогда Габриэль Кенигс в 1884 г. показал, что существует аналитическая (нетривиальная) Ψ удовлетворяющее уравнению Шредера. Это один из первых шагов в длинной цепочке теорем, плодотворных для понимания операторов композиции в аналитических функциональных пространствах, ср. Функция Кенигса.

Уравнения, такие как уравнения Шредера, подходят для кодирования самоподобие, и поэтому широко использовались в исследованиях нелинейная динамика (часто называемый в просторечии как теория хаоса ). Он также используется в исследованиях турбулентность, так же хорошо как ренормгруппа.^[4][5]

Эквивалентная транспонированная форма уравнения Шредера для обратной Φ = Ψ⁻¹ функции сопряженности Шредера равна час(Φ (у)) = Φ (сы). Замена переменных α (Икс) = журнал (Ψ (Икс))/бревно(s) (в Функция Абеля ) далее преобразует уравнение Шредера в более раннее Уравнение Абеля, α (час(Икс)) = α (Икс) + 1. Аналогично замена переменных Ψ (Икс) = журнал (φ (Икс)) преобразует уравнение Шредера в Уравнение Бёттхера, φ (час(Икс)) = (φ (Икс))^s.

Кроме того, для скорости^[5] β (Икс) = Ψ / Ψ ′,   Юля уравнение,   β (ж(Икс)) = ж′(Икс) β (Икс), держит.

В п-я степень решения уравнения Шредера дает решение уравнения Шредера с собственным значением s^п, вместо. В том же духе для обратимого решения Ψ (Икс) уравнения Шредера (необратимая) функция Ψ (Икс) k(журнал Ψ (Икс)) также решение, для любой периодическая функция k(Икс) с периодом бревно(s). Таким образом связаны все решения уравнения Шредера.

Решения

Уравнение Шредера решалось аналитически, если а является притягивающей (но не суперпритягивающей) неподвижной точкой, то есть 0 < |час′(а)| < 1 к Габриэль Кенигс (1884).^[6][7]

В случае суперпритягивающей неподвижной точки |час′(а)| = 0, Уравнение Шредера громоздко, и его лучше всего преобразовать в Уравнение Бёттхера.^[8]

Существует множество частных решений, восходящих к оригинальной статье Шредера 1870 года.^[1]

Разложение в ряд вокруг фиксированной точки и соответствующие свойства сходимости решения для полученной орбиты и его свойства аналитичности убедительно резюмируются следующим образом: Секереш.^[9] Некоторые решения представлены с точки зрения асимптотический ряд, ср. Матрица Карлемана.

Приложения

Первые пять полупериодов фазовой орбиты s = 4 хаотическая логистическая карта час(Икс), голографически интерполированный через уравнение Шредера. Скорость v = dчас_т/ дт заговор против час_т. Хаос очевиден на орбите, охватывающей все Иксs всегда.

Смотрите также: Рациональное разностное уравнение

Он используется для анализа дискретных динамических систем путем поиска новой системы координат, в которой система (орбита), порожденная час(Икс) выглядит проще, простое расширение.

Более конкретно, система, для которой дискретный единичный временной шаг составляет Икс → час(Икс), может быть гладким орбита (или же поток ), восстановленной из решения приведенного выше уравнения Шредера, его уравнение сопряжения.

То есть, час(Икс) = Ψ⁻¹(s Ψ (Икс)) ≡ час₁(Икс).

В целом, все его функции повторяются (это регулярная итерация группа, видеть повторяющаяся функция ) предоставляются орбита

${\displaystyle h_{t}(x)=\Psi ^{-1}{\big (}s^{t}\Psi (x){\big )},}$

за т вещественное - не обязательно положительное или целое. (Таким образом, полный непрерывная группа.) Набор час_п(Икс), т.е. всех положительных целых итераций час(Икс) (полугруппа ) называется заноза (или последовательность Пикара) час(Икс).

Тем не мение, все повторяется (дробное, бесконечно малое или отрицательное) числа час(Икс) аналогично задаются преобразованием координат Ψ(Икс) определены для решения уравнения Шредера: голографическая непрерывная интерполяция исходной дискретной рекурсии Икс → час(Икс) был построен;^[10] по сути, весь орбита.

Например, функциональный квадратный корень является час_½(Икс) = Ψ⁻¹(s^1/2 Ψ (Икс)), так что час_1/2(час_1/2(Икс)) = час(Икс), и так далее.

Например,^[11] особые случаи логистическая карта например, хаотичный случай час(Икс) = 4Икс(1 − Икс) были уже разработаны Шредером в его оригинальной статье^[1] (стр.306),

Ψ (Икс) = (arcsin √Икс)², s = 4, и поэтому час_т(Икс) = грех²(2^т Arcsin √Икс).

Фактически, это решение является результатом движения, продиктованного последовательностью обратных потенциалов,^[12] V(Икс) ∝ Икс(Икс − 1) (nπ + arcsin√Икс)², характерная черта непрерывных итераций, на которую влияет уравнение Шредера.

Нехаотический случай, который он проиллюстрировал своим методом, час(Икс) = 2Икс(1 − Икс), дает

Ψ (Икс) = −½ln (1-2Икс), и поэтому час_т(Икс) = −½((1 − 2Икс)^2т − 1).

Точно так же для Модель Бевертона – Холта, час(Икс) = Икс/(2 − Икс), легко найти^[10] Ψ (Икс) = Икс/(1 − Икс), так что^[13]

${\displaystyle h_{t}(x)=\Psi ^{-1}{\big (}2^{-t}\Psi (x){\big )}={\frac {x}{2^{t}+x(1-2^{t})}}.}$

Смотрите также

• Уравнение Бёттхера

Рекомендации

1. Шредер, Эрнст (1870). "Ueber iterirte Functionen". Математика. Анна. 3 (2): 296–322. Дои:10.1007 / BF01443992.
2. Карлесон, Леннарт; Гамелен, Теодор В. (1993). Сложная динамика. Серия учебников: Университетский текст: Учебники по математике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-97942-5.
3. Кучма, Марек (1968). Функциональные уравнения с одной переменной. Monografie Matematyczne. Варшава: PWN - Польское научное издательство. ASIN: B0006BTAC2
4. Гелл-Манн, М.; Лоу, Ф. (1954). «Квантовая электродинамика на малых расстояниях» (PDF). Физический обзор. 95 (5): 1300–1312. Bibcode:1954PhRv ... 95.1300G. Дои:10.1103 / PhysRev.95.1300.
5. Кертрайт, Т.; Zachos, C.K. (Март 2011 г.). "Функциональные уравнения ренормгруппы". Физический обзор D. 83 (6): 065019. arXiv:1010.5174. Bibcode:2011ПхРвД..83ф5019С. Дои:10.1103 / PhysRevD.83.065019.
6. Кенигс, Г. (1884). "Recherches sur les intégrales de specifices équations fonctionelles" (PDF). Научные Анналы Высшей Нормальной Школы. 1 (3, Дополнение): 3–41. Дои:10.24033 / asens.247.
7. Эрдеш, П.; Жаботинский, Э. (1960). «Об аналитической итерации». Журнал д'анализа математика. 8 (1): 361–376. Дои:10.1007 / BF02786856.
8. Бёттчер, Л. Э. (1904). «Основные законы сходимости итераций и их применение к анализу». Изв. Казань. Физ.-мат. Общ. (Русский). 14: 155–234.
9. Секереш, Г. (1958). «Регулярное повторение вещественных и сложных функций». Acta Mathematica. 100 (3–4): 361–376. Дои:10.1007 / BF02559539. [1]
10. Кертрайт, Т.; Захос, К.К. (2009). «Профили эволюции и функциональные уравнения». Журнал физики А. 42 (48): 485208. arXiv:0909.2424. Bibcode:2009JPhA ... 42V5208C. Дои:10.1088/1751-8113/42/48/485208.
11. Кертрайт, Т. Поверхности эволюции и функциональные методы Шредера.
12. Кертрайт, Т.; Захос, К. К. (2010). «Хаотические карты, гамильтоновы потоки и голографические методы». Журнал физики А. 43 (44): 445101. arXiv:1002.0104. Bibcode:2010JPhA ... 43R5101C. Дои:10.1088/1751-8113/43/44/445101.
13. Скеллам, Дж. Г. (1951). «Случайное рассредоточение теоретических популяций», Биометрика 38 196−218, ур. 41, 42.