Рациональное разностное уравнение - Rational difference equation

А рациональное разностное уравнение является нелинейным разностное уравнение формы^[1][2][3][4]

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {\alpha +\sum _{i=0}^{k}\beta _{i}x_{n-i}}{A+\sum _{i=0}^{k}B_{i}x_{n-i}}}~,}$

где начальные условия ${\displaystyle x_{0},x_{-1},\dots ,x_{-k}}$ таковы, что знаменатель никогда не обращается в нуль ни при каких п.

Рациональное разностное уравнение первого порядка

А рациональное разностное уравнение первого порядка является нелинейным разностное уравнение формы

${\displaystyle w_{t+1}={\frac {aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}.}$

Когда ${\displaystyle a,b,c,d}$ и начальное условие ${\displaystyle w_{0}}$ являются действительными числами, это разностное уравнение называется Разностное уравнение Риккати.^[3]

Такое уравнение можно решить, написав ${\displaystyle w_{t}}$ как нелинейное преобразование другой переменной ${\displaystyle x_{t}}$ которое само развивается линейно. Тогда стандартные методы могут быть использованы для решения линейное разностное уравнение в ${\displaystyle x_{t}}$.

Решение уравнения первого порядка

Первый подход

Один подход ^[5] к разработке преобразованной переменной ${\displaystyle x_{t}}$, когда ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$, это написать

${\displaystyle y_{t+1}=\alpha -{\frac {\beta }{y_{t}}}}$

куда ${\displaystyle \alpha =(a+d)/c}$ и ${\displaystyle \beta =(ad-bc)/c^{2}}$ и где ${\displaystyle w_{t}=y_{t}-d/c}$.

Дальнейшее письмо ${\displaystyle y_{t}=x_{t+1}/x_{t}}$ можно показать, чтобы уступить

${\displaystyle x_{t+2}-\alpha x_{t+1}+\beta x_{t}=0.}$

Второй подход

Этот подход ^[6] дает разностное уравнение первого порядка для ${\displaystyle x_{t}}$ вместо второго порядка, для случая, когда ${\displaystyle (d-a)^{2}+4bc}$ неотрицательно. Написать ${\displaystyle x_{t}=1/(\eta +w_{t})}$ подразумевая ${\displaystyle w_{t}=(1-\eta x_{t})/x_{t}}$, куда ${\displaystyle \eta }$ дан кем-то ${\displaystyle \eta =(d-a+r)/2c}$ и где ${\displaystyle r={\sqrt {(d-a)^{2}+4bc}}}$. Тогда можно показать, что ${\displaystyle x_{t}}$ развивается согласно

${\displaystyle x_{t+1}=\left({\frac {d-\eta c}{\eta c+a}}\right)x_{t}+{\frac {c}{\eta c+a}}.}$

Третий подход

Уравнение

${\displaystyle w_{t+1}={\frac {aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}}$

также можно решить, рассматривая его как частный случай более общее матричное уравнение

${\displaystyle X_{t+1}=-(E+BX_{t})(C+AX_{t})^{-1},}$

где все А, Б, В, Е, и Икс находятся п×п матрицы (в данном случае п= 1); решение этого^[7]

${\displaystyle X_{t}=N_{t}D_{t}^{-1}}$

куда

${\displaystyle {\begin{pmatrix}N_{t}\\D_{t}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-B&-E\\A&C\end{pmatrix}}^{t}{\begin{pmatrix}X_{0}\\I\end{pmatrix}}.}$

Заявление

Это было показано в ^[8] что динамичный матричное уравнение Риккати формы

${\displaystyle H_{t-1}=K+A'H_{t}A-A'H_{t}C(C'H_{t}C)^{-1}C'H_{t}A,}$

которые могут возникнуть в некоторых дискретное время оптимальный контроль задачи, можно решить, используя второй подход, описанный выше, если матрица C только на одну строку больше, чем столбец.

Рекомендации

1. Скеллам, Дж. (1951). «Случайное рассредоточение теоретических популяций», Биометрика 38 196−–218, уравнения (41,42)
2. Динамика рациональных разностных уравнений третьего порядка с открытыми задачами и гипотезами
3. Динамика рациональных разностных уравнений второго порядка с открытыми задачами и гипотезами
4. Ньют, Джеральд, «Мировой порядок от хаотических начал», Математический вестник 88, March 2004, 39-45 дает тригонометрический подход.
5. Брэнд, Луи, «Последовательность, определяемая уравнением разности», Американский математический ежемесячный журнал 62, Сентябрь 1955 г., стр. 489–492. онлайн
6. Митчелл, Дуглас В., "Аналитическое решение Риккати для двухцелевого управления с дискретным временем", Журнал экономической динамики и управления 24, 2000, 615–622.
7. Мартин, К. Ф. и Аммар, Г., «Геометрия матричного уравнения Риккати и связанный метод собственных значений», в работе Биттани, Лауба и Виллемса (ред.), Уравнение Риккати, Springer-Verlag, 1991.
8. Балверс, Рональд Дж., Митчелл, Дуглас У., "Уменьшение размерности линейно-квадратичных задач управления". Журнал экономической динамики и управления 31, 2007, 141–159.

дальнейшее чтение

• Саймонс, Стюарт, «Нелинейное разностное уравнение», Математический вестник 93, ноябрь 2009 г., 500-504.