Матричное разностное уравнение - Matrix difference equation

А матричное разностное уравнение это разностное уравнение в котором значение a вектор (или иногда матрица) переменных в один момент времени связана со своим собственным значением в один или несколько предыдущих моментов времени, используя матрицы.[1][2] В порядок уравнения - максимальный временной интервал между любыми двумя указанными значениями вектора переменной. Например,

является примером матричного разностного уравнения второго порядка, в котором Икс является п × 1 вектор переменных и А и B находятся п × п матрицы. Это уравнение является однородным, потому что в конец уравнения не добавляется член-константа вектора. То же уравнение можно записать как

или как

Наиболее часто встречаются матричные разностные уравнения первого порядка.

Неоднородный случай первого порядка и установившееся состояние

Примером неоднородного матричного разностного уравнения первого порядка является

с аддитивным постоянным вектором б. Устойчивое состояние этой системы - это величина Икс* вектора Икс от которой, если она будет достигнута, не отклонятся впоследствии. Икс* находится путем установки Икст = Икст−1 = Икс* в разностном уравнении и решение для Икс* чтобы получить

куда я это п × п единичная матрица, и где предполагается, что [яА] является обратимый. Тогда неоднородное уравнение можно переписать в однородном виде в терминах отклонений от стационарного состояния:

Устойчивость случая первого порядка.

Матричное разностное уравнение первого порядка [ИкстИкс*] = А[Икст−1Икс*] является стабильный -то есть, Икст асимптотически сходится к установившемуся состоянию Икс*- если и только если все собственные значения матрицы перехода А (реальный или сложный) иметь абсолютная величина что меньше 1.

Решение случая первого порядка

Предположим, что уравнение записано в однородном виде ут = Аут−1. Затем мы можем повторять и заменять несколько раз из начальное состояние у0, являющееся начальным значением вектора у и которые необходимо знать, чтобы найти решение:

и так далее, чтобы математическая индукция решение с точки зрения т является

Далее, если А диагонализируется, мы можем переписать А с точки зрения его собственные значения и собственные векторы, давая решение как

куда п является п × п матрица, столбцы которой являются собственные векторы из А (предполагая, что все собственные значения различны) и D является п × п диагональная матрица диагональные элементы которого являются собственными значениями А. Это решение мотивирует вышеуказанный результат стабильности: Ат сжимается до нулевой матрицы со временем тогда и только тогда, когда собственные значения А все меньше единицы по абсолютной величине.

Извлечение динамики одной скалярной переменной из матричной системы первого порядка

Начиная с п-мерная система ут = Аут−1, мы можем извлечь динамику одной из переменных состояния, скажем у1. Приведенное выше уравнение решения для ут показывает, что решение для у1,т с точки зрения п собственные значения А. Следовательно, уравнение, описывающее эволюцию у1 само по себе должно иметь решение, включающее те же самые собственные значения. Это описание интуитивно мотивирует уравнение эволюции у1, который

где параметры ая из характеристическое уравнение матрицы А:

Таким образом, каждая отдельная скалярная переменная п-мерная линейная система первого порядка эволюционирует по одномерному празностное уравнение th степени, которое имеет такое же свойство устойчивости (стабильное или нестабильное), что и матричное разностное уравнение.

Решение и устойчивость случаев высшего порядка

Матричные разностные уравнения более высокого порядка, то есть с запаздыванием более одного периода, могут быть решены, а их устойчивость проанализирована путем преобразования их в форму первого порядка с использованием блочная матрица (матрица матриц). Например, предположим, что у нас есть уравнение второго порядка

с переменным вектором Икс существование п × 1 и А и B существование п × п. Его можно сложить в виде

куда я это п × п единичная матрица и 0 это п × п нулевая матрица. Затем обозначая 2п × 1 сложенный вектор текущих и однократно запаздывающих переменных как zт и 2п × 2п блочная матрица как L, по-прежнему имеем решение

Как и раньше, это комплексное уравнение и, следовательно, исходное уравнение второго порядка устойчивы тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы L меньше единицы по модулю.

Нелинейные матричные разностные уравнения: уравнения Риккати

В линейно-квадратично-гауссовское управление, возникает нелинейное матричное уравнение для обратной эволюции текущих и будущих затрат матрица, обозначаемый ниже как ЧАС. Это уравнение называется дискретным динамическим Уравнение Риккати, и он возникает, когда переменный вектор, эволюционирующий в соответствии с линейным матричным разностным уравнением, управляется путем манипулирования экзогенный вектор для оптимизации квадратичный функция стоимости. Это уравнение Риккати принимает следующий или аналогичный вид:

куда ЧАС, K, и А находятся п × п, C является п × k, р является k × k, п - количество элементов в векторе, которым нужно управлять, и k - количество элементов в векторе управления. Матрицы параметров А и C из линейного уравнения, а матрицы параметров K и р являются от квадратичной функции стоимости. Видеть здесь для подробностей.

Как правило, это уравнение не может быть решено аналитически для ЧАСт с точки зрения т; скорее, последовательность значений для ЧАСт находится путем повторения уравнения Риккати. Однако было показано[3] что это уравнение Риккати можно решить аналитически, если р = 0 и п = k + 1, сведя его к скаляру рациональное разностное уравнение; кроме того, для любого k и п если матрица перехода А является невырожденным, то уравнение Риккати может быть решено аналитически в терминах собственных значений матрицы, хотя их, возможно, придется находить численно.[4]

В большинстве случаев эволюция ЧАС назад во времени стабильно, что означает, что ЧАС сходится к определенной фиксированной матрице ЧАС* что может быть иррациональным, даже если все остальные матрицы рациональны. Смотрите также Стохастическое управление § Дискретное время.

Связанное уравнение Риккати[5] является

в котором матрицы Икс, А, B, C, и E все п × п. Это уравнение можно решить явно. Предполагать Икст = NтD−1
т
, что, безусловно, верно для т = 0 с N0 = Икс0 и с D0 = я. Затем, используя это в разностном уравнении, получаем

поэтому по индукции форма Икст = NтD−1
т
относится ко всем т. Затем эволюция N и D можно записать как

Таким образом, по индукции

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Калл, Пол; Флайв, Мэри; Робсон, Робби (2005). Разностные уравнения: от кроликов к хаосу. Springer. гл. 7. ISBN  0-387-23234-6.
  2. ^ Чан, Альфа К. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (3-е изд.). Макгроу-Хилл. стр.608–612.
  3. ^ Balvers, Рональд Дж .; Митчелл, Дуглас В. (2007). «Снижение размерности линейно-квадратичных задач управления» (PDF). Журнал экономической динамики и управления. 31 (1): 141–159. Дои:10.1016 / j.jedc.2005.09.013.
  4. ^ Воан, Д. Р. (1970). «Нерекурсивное алгебраическое решение дискретного уравнения Риккати». IEEE Transactions по автоматическому контролю. 15 (5): 597–599. Дои:10.1109 / TAC.1970.1099549.
  5. ^ Martin, C.F .; Аммар, Г. (1991). «Геометрия матричного уравнения Риккати и связанный с ним метод собственных значений». В Биттани; Лауб; Виллемс (ред.). Уравнение Риккати. Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-3-642-58223-3_5. ISBN  978-3-642-63508-3.