Матричное дифференциальное уравнение - Matrix differential equation

А дифференциальное уравнение представляет собой математическое уравнение для неизвестной функции одной или нескольких переменных, которое связывает значения самой функции и ее производных различных порядков. А матричное дифференциальное уравнение содержит более одной функции, объединенной в векторную форму с матрицей, связывающей функции с их производными.

Например, матрица первого порядка обыкновенное дифференциальное уравнение является

${displaystyle mathbf {dot {x}} (t)=mathbf {A} (t)mathbf {x} (t)}$

куда ${displaystyle mathbf {x} (t)}$ является ${displaystyle n imes 1}$ вектор функций базовой переменной ${displaystyle t}$, ${displaystyle mathbf {dot {x}} (t)}$ - вектор первых производных этих функций, а ${displaystyle mathbf {A} (t)}$ является ${displaystyle n imes n}$ матрица коэффициентов.

В случае, когда ${displaystyle mathbf {A} }$ постоянно и имеет п линейно независимые собственные векторы, это дифференциальное уравнение имеет следующее общее решение:

${displaystyle mathbf {x} (t)=c_{1}e^{lambda _{1}t}mathbf {u} _{1}+c_{2}e^{lambda _{2}t}mathbf {u} _{2}+cdots +c_{n}e^{lambda _{n}t}mathbf {u} _{n}~,}$

куда λ₁, λ₂, ..., λ_п являются собственные значения из А; ты₁, ты₂, ..., ты_п соответствующие собственные векторы из А ; и c₁, c₂, ...., c_п являются константами.

В более общем смысле, если ${displaystyle mathbf {A} (t)}$ коммутирует со своим интегралом ${displaystyle int _{a}^{t}mathbf {A} (s)ds}$ то общее решение дифференциального уравнения есть

${displaystyle mathbf {x} (t)=e^{int _{a}^{t}mathbf {A} (s)ds}mathbf {c} ~,}$

куда ${displaystyle mathbf {c} }$ является ${displaystyle n imes 1}$ постоянный вектор.^{[нужна цитата ]}

Используя Теорема Кэли – Гамильтона и Матрицы типа Вандермонда, это формальное матрица экспонента решение может быть сведено к простому виду.^[1] Ниже это решение показано в терминах алгоритма Путцера.^[2]

Устойчивость и установившееся состояние матричной системы

Матричное уравнение

${displaystyle mathbf {dot {x}} (t)=mathbf {Ax} (t)+mathbf {b} }$

с п× 1 постоянный вектор параметра б является стабильный если и только если все собственные значения постоянной матрицы А иметь отрицательную действительную часть.

Устойчивое состояние Икс* к которому он сходится, если стабильный найден, установив

${displaystyle mathbf {dot {x}} ^{*}(t)=mathbf {0} ~,}$

таким образом давая

${displaystyle mathbf {x} ^{*}=-mathbf {A} ^{-1}mathbf {b} ~,}$

предполагая А обратимо.

Таким образом, исходное уравнение может быть записано в однородной форме через отклонения от стационарного состояния:

${displaystyle mathbf {dot {x}} (t)=mathbf {A} [mathbf {x} (t)-mathbf {x} ^{*}]~.}$

Эквивалентный способ выразить это так: Икс* является частным решением неоднородного уравнения, а все решения имеют вид

${displaystyle mathbf {x} _{h}+mathbf {x} ^{*}~,}$

с ${displaystyle mathbf {x} _{h}}$ решение однородного уравнения (б=0).

Устойчивость случая двух переменных состояния

в п = 2 (с двумя переменными состояния), условия устойчивости, при которых два собственных значения матрицы перехода А у каждого есть отрицательная действительная часть, эквивалентны условиям, что след из А быть отрицательным и его детерминант быть положительным.

Решение в матричной форме

Формальное решение ${displaystyle mathbf {dot {x}} (t)=mathbf {A} [mathbf {x} (t)-mathbf {x} ^{*}]}$ имеет матрица экспонента форма

${displaystyle mathbf {x} (t)=mathbf {x} ^{*}+e^{mathbf {A} t}[mathbf {x} (0)-mathbf {x} ^{*}]~,}$

оценивается с использованием любого из множества методов.

Алгоритм Путцера для вычислений е^Ат

Учитывая матрицу А с собственными значениями ${displaystyle lambda _{1},lambda _{2},dots ,lambda _{n}}$,

${displaystyle e^{mathbf {A} t}=sum _{j=0}^{n-1}r_{j+1}{left(tight)}mathbf {P} _{j}}$

куда

${displaystyle mathbf {P} _{0}=mathbf {I} }$

${displaystyle mathbf {P} _{j}=prod _{k=1}^{j}left(mathbf {A} -lambda _{k}mathbf {I} ight)=mathbf {P} _{j-1}left(mathbf {A} -lambda _{j}mathbf {I} ight),qquad j=1,2,dots ,n-1}$

${displaystyle {dot {r}}_{1}=lambda _{1}r_{1}}$

${displaystyle r_{1}{left(0ight)}=1}$

${displaystyle {dot {r}}_{j}=lambda _{j}r_{j}+r_{j-1},qquad j=2,3,dots ,n}$

${displaystyle r_{j}{left(0ight)}=0,qquad j=2,3,dots ,n}$

Уравнения для ${displaystyle r_{i}{left(tight)}}$ представляют собой простые неоднородные ОДУ первого порядка.

Обратите внимание, что алгоритм не требует, чтобы матрица А быть диагонализуемый и обходит сложности Иорданские канонические формы обычно используется.

Деконструированный пример матричного обыкновенного дифференциального уравнения

Однородное матричное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с двумя функциями х (т) и у (т)в вынутом виде из матрицы имеет следующий вид:

${displaystyle {frac {dx}{dt}}=a_{1}x+b_{1}y,quad {frac {dy}{dt}}=a_{2}x+b_{2}y}$

куда ${displaystyle a_{1},a_{2},b_{1},!}$ и ${displaystyle b_{2},!}$ могут быть любыми произвольными скалярами.

Матричные ОДУ более высокого порядка могут иметь гораздо более сложную форму.

Решение деконструированных матричных обыкновенных дифференциальных уравнений

Процесс решения приведенных выше уравнений и поиска требуемых функций этого конкретного порядка и формы состоит из 3 основных шагов. Краткое описание каждого из этих шагов приведено ниже:

• Нахождение собственные значения
• Нахождение собственные векторы
• Поиск нужных функций

Последний, третий шаг в решении подобных проблем. обыкновенные дифференциальные уравнения обычно выполняется путем вставки значений, рассчитанных на двух предыдущих шагах, в специализированное уравнение общей формы, упомянутое далее в этой статье.

Решенный пример матричного ОДУ

Смотрите также: Матрица экспоненциальная § Линейные дифференциальные уравнения

Чтобы решить матричное ОДУ в соответствии с тремя шагами, подробно описанными выше, используя в процессе простые матрицы, давайте найдем, скажем, функцию Икс и функция у как с точки зрения единственной независимой переменной т, в следующих однородных линейное дифференциальное уравнение первого порядка,

${displaystyle {frac {dx}{dt}}=3x-4y,quad {frac {dy}{dt}}=4x-7y~.}$

Чтобы решить эту конкретную обыкновенное дифференциальное уравнение системы, в какой-то момент процесса решения нам понадобится набор из двух начальные значения (соответствует двум переменным состояния в начальной точке). В этом случае выберем Икс(0)=у(0)=1.

Первый шаг

Первый шаг, уже упомянутый выше, - это поиск собственные значения из А в

${displaystyle {egin{pmatrix}x'y'end{pmatrix}}={egin{pmatrix}3&-44&-7end{pmatrix}}{egin{pmatrix}xyend{pmatrix}}~.}$

В производная обозначение Икс' и т.д., видимые в одном из векторов выше, известны как обозначения Лагранжа (впервые введены Жозеф Луи Лагранж. Это эквивалентно производной записи dx / dt использованное в предыдущем уравнении, известное как Обозначения Лейбница, в честь имени Готфрид Лейбниц.)

Однажды коэффициенты двух переменных были записаны в матрица форма А показанный выше, можно оценить собственные значения. С этой целью можно найти детерминант из матрица который образуется, когда единичная матрица, ${displaystyle I_{n},!}$, умноженное на некоторую постоянную λ, вычитается из указанной выше матрицы коэффициентов, чтобы получить характеристический многочлен из этого,

${displaystyle det left({egin{bmatrix}3&-44&-7end{bmatrix}}-lambda {egin{bmatrix}1&0�&1end{bmatrix}}ight)~,}$

и найти его нули.

Применяя дальнейшее упрощение и основные правила матрица сложения дает

${displaystyle det {egin{bmatrix}3-lambda &-44&-7-lambda end{bmatrix}}~.}$

Применяя правила нахождения определителя единственной матрицы 2 × 2, получаем следующий элементарный квадратное уровненеие,

${displaystyle det {egin{bmatrix}3-lambda &-44&-7-lambda end{bmatrix}}=0}$

${displaystyle -21-3lambda +7lambda +lambda ^{2}+16=0,!}$

который может быть сокращен дополнительно, чтобы получить более простую версию вышеуказанного,

${displaystyle lambda ^{2}+4lambda -5=0~.}$

Теперь найдя два корня, ${displaystyle lambda _{1},!}$ и ${displaystyle lambda _{2},!}$ данного квадратное уровненеие применяя факторизация метод дает

${displaystyle lambda ^{2}+5lambda -lambda -5=0,!}$

${displaystyle lambda (lambda +5)-1(lambda +5)=0,!}$

${displaystyle (lambda -1)(lambda +5)=0,!}$

${displaystyle lambda =1,-5~.}$

Ценности ${displaystyle lambda _{1}=1,!}$ и ${displaystyle lambda _{2}=-5,!}$, рассчитанные выше, являются обязательными собственные значения из АВ некоторых случаях, скажем, в других матричных ОДУ, собственные значения может быть сложный, в этом случае следующий этап процесса решения, а также окончательная форма и решение могут резко измениться.

Второй шаг

Как упоминалось выше, этот шаг включает в себя поиск собственные векторы из А из первоначально предоставленной информации.

Для каждого из собственные значения подсчитано у нас есть физическое лицо собственный вектор. Во-первых собственное значение, который ${displaystyle lambda _{1}=1,!}$, у нас есть

${displaystyle {egin{pmatrix}3&-44&-7end{pmatrix}}{egin{pmatrix}alpha eta end{pmatrix}}=1{egin{pmatrix}alpha eta end{pmatrix}}.}$

Упростив приведенное выше выражение, применив основные матричное умножение правила доходности

${displaystyle 3alpha -4eta =alpha }$

${displaystyle alpha =2eta ~.}$

Все эти вычисления были проделаны только для получения последнего выражения, которое в нашем случае имеет вид α=2β. Теперь возьмем какое-то произвольное значение, предположительно небольшое незначительное значение, с которым намного легче работать, для любого α или же β (в большинстве случаев это не имеет особого значения), мы подставляем его в α=2β. В результате получается простой вектор, который является необходимым собственным вектором для этого конкретного собственного значения. В нашем случае мы выбираем α= 2, что, в свою очередь, определяет, что β= 1 и, используя стандарт векторные обозначения, наш вектор выглядит как

${displaystyle mathbf {hat {v}} _{1}={egin{pmatrix}21end{pmatrix}}.}$

Выполнение той же операции со вторым собственное значение мы рассчитали, что ${displaystyle ,!,lambda =-5}$, мы получаем наш второй собственный вектор. Процесс разработки этого вектор не отображается, но конечный результат

${displaystyle mathbf {hat {v}} _{2}={egin{pmatrix}12end{pmatrix}}.}$

Третий шаг

Этот последний шаг фактически находит необходимые функции, которые «спрятаны» за производные дан нам изначально. Есть две функции, потому что наши дифференциальные уравнения имеют дело с двумя переменными.

Уравнение, которое включает в себя всю информацию, которую мы ранее нашли, имеет следующую форму:

${displaystyle {egin{pmatrix}xyend{pmatrix}}=Ae^{lambda _{1}t}mathbf {hat {v}} _{1}+Be^{lambda _{2}t}mathbf {hat {v}} _{2}.}$

Подставляя значения собственные значения и собственные векторы дает

${displaystyle {egin{pmatrix}xyend{pmatrix}}=Ae^{t}{egin{pmatrix}21end{pmatrix}}+Be^{-5t}{egin{pmatrix}12end{pmatrix}}.}$

Применяя дальнейшее упрощение,

${displaystyle {egin{pmatrix}xyend{pmatrix}}={egin{pmatrix}2&11&2end{pmatrix}}{egin{pmatrix}Ae^{t}Be^{-5t}end{pmatrix}}.}$

Дальнейшее упрощение и запись уравнений для функций ${displaystyle x,!}$ и ${displaystyle y,!}$ раздельно,

${displaystyle x=2Ae^{t}+Be^{-5t},!}$

${displaystyle y=Ae^{t}+2Be^{-5t}.,!}$

Вышеупомянутые уравнения, по сути, являются искомыми общими функциями, но они имеют общий вид (с неопределенными значениями А и B), в то время как мы действительно хотим найти их точные формы и решения. Итак, теперь мы рассматриваем заданные начальные условия задачи (задача, включающая заданные начальные условия, является так называемым проблема начального значения ). Предположим, нам даны ${displaystyle x(0)=y(0)=1,!}$, который играет роль отправной точки для нашего обыкновенного дифференциального уравнения; применение этих условий определяет константы, А и B. Как видно из ${displaystyle x(0)=y(0)=1,!}$ условия, когда т= 0, левые части приведенных выше уравнений равны 1. Таким образом, мы можем построить следующую систему линейные уравнения,

${displaystyle 1=2A+B}$

${displaystyle 1=A+2B~.}$

Решая эти уравнения, мы обнаруживаем, что обе константы А и B равно 1/3. Поэтому подстановка этих значений в общую форму этих двух функций определяет их точные формы,

${displaystyle x={frac {2}{3}}e^{t}+{frac {1}{3}}e^{-5t}}$

${displaystyle y={frac {1}{3}}e^{t}+{frac {2}{3}}e^{-5t}~,}$

две искомые функции.

Смотрите также

• Неоднородные уравнения
• Матричное разностное уравнение
• Закон охлаждения Ньютона
• Последовательность Фибоначчи
• Разностные уравнения
• Волновое уравнение

Рекомендации

1. Moya-Cessa, H .; Сото-Эгибар, Ф. (2011). Дифференциальные уравнения: операционный подход. Нью-Джерси: Ринтон Пресс. ISBN  978-1-58949-060-4.
2. Путцер, Э. Дж. (1966). «Избегание канонической формы Иордана при обсуждении линейных систем с постоянными коэффициентами». Американский математический ежемесячник. 73 (1): 2–7. Дои:10.1080/00029890.1966.11970714. JSTOR  2313914.