Функциональное уравнение - Functional equation

В математика, а функциональное уравнение^[1][2][3][4] любое уравнение, в котором неизвестно представляет функция.Часто уравнение связывает значение функции (или функций) в одной точке с ее значениями в других точках. Например, свойства функций можно определить, рассматривая типы функциональных уравнений, которым они удовлетворяют. Период, термин функциональное уравнение обычно относится к уравнениям, которые нельзя просто свести к алгебраические уравнения или дифференциальные уравнения.

Примеры

• Функциональное уравнение

${\displaystyle f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)}$

удовлетворен Дзета-функция Римана. Столица Γ обозначает гамма-функция.

• Гамма-функция является единственным решением следующей системы трех уравнений:

${\displaystyle f(x)={f(x+1) \over x}\,\!}$

${\displaystyle f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)}$

${\displaystyle f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}\,\!\,\,\,}$       (Эйлера формула отражения )

• Функциональное уравнение

${\displaystyle f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)\,\!}$

где а, б, c, d находятся целые числа удовлетворение объявление − до н.э = 1, т.е. ${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}$ = 1, определяет ж быть модульная форма порядка k.

• Разные примеры, не обязательно связанные со стандартными или именованными функциями:

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\,\!}$ (Функциональное уравнение Коши )

${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y),\,\!}$ доволен всеми экспоненциальные функции

${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)\,\!}$, доволен всеми логарифмический функции

${\displaystyle f(xy)=f(x)f(y)\,\!}$, доволен всеми степенные функции

${\displaystyle f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]\,\!}$ (квадратное уравнение или закон параллелограмма )

${\displaystyle f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2\,\!}$ (Дженсен)

${\displaystyle g(x+y)+g(x-y)=2[g(x)g(y)]\,\!}$ (Даламбер)

${\displaystyle f(h(x))=h(x+1)\,\!}$ (Уравнение Абеля )

${\displaystyle f(h(x))=cf(x)\,\!}$ (Уравнение Шредера ).

${\displaystyle f(h(x))=(f(x))^{c}\,\!}$ (Уравнение Бёттхера ).

${\displaystyle f(h(x))=h'(x)f(x)\,\!}$ (Уравнение Юлии ).

${\displaystyle \omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)}$ (Уравнение перевода)

${\displaystyle f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)\,\!}$ (формула сложения синуса ).

${\displaystyle g(x+y)=g(x)g(y)-f(y)f(x)\,\!}$ (формула сложения косинуса ).

${\displaystyle f(xy)=\sum g_{l}(x)h_{l}(y)\,\!}$ (Леви-Чивита).

• Простая форма функционального уравнения - это отношение повторения. Это, формально говоря, включает в себя неуказанные функции для целых чисел, а также операторы сдвига. Одним из таких примеров рекуррентного отношения является

${\displaystyle a(n)=3a(n-1)+4a(n-2)\,\!}$

• Коммутативные и ассоциативные законы являются функциональными уравнениями. Когда ассоциативный закон выражен в его знакомой форме, можно позволить некоторому символу между двумя переменными представлять бинарную операцию

${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)~.}$

Но если бы мы написали ƒ(а, б) вместо того а ○ б тогда ассоциативный закон будет больше походить на то, что принято считать функциональным уравнением,

${\displaystyle f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)).\,\!}$

Общей чертой всех приведенных выше примеров является то, что в каждом случае две или более известные функции (иногда умножение на константу, иногда сложение двух переменных, иногда функция идентичности) находятся внутри аргумента неизвестных функций. для решения.

Когда дело доходит до запроса все решений, возможно, условия из математический анализ следует применять; например, в случае Уравнение Коши упомянутые выше решения, которые непрерывные функции являются «разумными», в то время как другие решения, которые вряд ли найдут практическое применение, могут быть построены Основа Гамеля для действительные числа так как векторное пространство над рациональное число ). В Теорема Бора – Моллерупа еще один известный пример.

Решение

Решение функциональных уравнений может быть очень сложным, но есть несколько распространенных методов их решения. Например, в динамическое программирование разнообразные методы последовательного приближения^[5][6] используются для решения Функциональное уравнение Беллмана, в том числе методы, основанные на итерации с фиксированной точкой. Некоторые классы функциональных уравнений могут быть решены с помощью компьютерных технологий.^[7]

Основным методом решения элементарных функциональных уравнений является подстановка. Часто бывает полезно доказать сюръективность или инъективность и, если возможно, доказать нечетность или четность. Также полезно угадывать возможные решения. Индукция - полезный метод, который можно использовать, когда функция определена только для рациональных или целочисленных значений.

Обсуждение инволютивный функции актуально. Например, рассмотрим функцию

${\displaystyle f(x)=1-x\,.}$

Составление ж с собой дает Бэббиджа функциональное уравнение (1820),^[8]

${\displaystyle f(f(x))=1-(1-x)=x\,.}$

Некоторые другие функции также удовлетворяют функциональному уравнению

${\displaystyle f(f(x))=x}$

в том числе

${\displaystyle f(x)=-x\,,}$

${\displaystyle f(x)={\frac {a}{x}}\,,}$ и

${\displaystyle f(x)={\frac {b-x}{1+cx}}~,}$

который включает предыдущие три как особые случаи или ограничения.

Пример 1. Найти все функции ж это удовлетворяет

${\displaystyle f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2}\,}$

для всех х, у ∈ ℝ, предполагая ƒ это функция с действительным знаком.

Позволять Икс = у = 0,

${\displaystyle f(0)^{2}=f(0)^{2}+f(0)^{2}.\,}$

Так ƒ(0)² = 0 и ƒ(0) = 0.

Теперь позвольте у = −Икс,

${\displaystyle f(x-x)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}\,}$

${\displaystyle f(0)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}\,}$

${\displaystyle 0=f(x)^{2}+f(-x)^{2}~.}$

Квадрат действительного числа неотрицателен, а сумма неотрицательных чисел равна нулю. если только оба числа равны 0.

Так ƒ(Икс)² = 0 для всех Икс и ƒ(Икс) = 0 это единственное решение.

Смотрите также

• Функциональное уравнение (L-функция)
• Уравнение беллмана
• Динамическое программирование
• Неявная функция
• Функционально-дифференциальное уравнение

Заметки

1. Рассиас, Фемистокл М. (2000). Функциональные уравнения и неравенства. 3300 AA Дордрехт, Нидерланды: Kluwer Academic Publishers. п. 335. ISBN  0-7923-6484-8.
2. Hyers, D. H .; Isac, G .; Рассиас, Th. М. (1998). Устойчивость функциональных уравнений от нескольких переменных. Бостон: Birkhäuser Verlag. п.313. ISBN  0-8176-4024-X.
3. Юнг, Сун-Мо (2001). Устойчивость Хайерса-Улама-Рассиаса функциональных уравнений в математическом анализе. 35246 US 19 North # 115, Палм-Харбор, Флорида 34684 США: Hadronic Press, Inc. п. 256. ISBN  1-57485-051-2.
4. Червик, Стефан (2002). Функциональные уравнения и неравенства от нескольких переменных. P O Box 128, Farrer Road, Сингапур 912805: World Scientific Publishing Co. п.410. ISBN  981-02-4837-7.
5. Беллман, Р. (1957). Динамическое программирование, Princeton University Press.
6. Снидович, М. (2010). Динамическое программирование: основы и принципы, Тейлор и Фрэнсис.
7. Хази, Аттила (2004-03-01). «Решение линейных функциональных уравнений с двумя переменными на компьютере». Aequationes Mathematicae. 67 (1): 47–62. Дои:10.1007 / s00010-003-2703-9. ISSN  1420-8903.
8. Ритт, Дж. Ф. (1916). «О некоторых реальных решениях функционального уравнения Бэббиджа». Анналы математики. 17 (3): 113–122. Дои:10.2307/2007270. JSTOR  2007270.

использованная литература

• Янош Акзель, Лекции по функциональным уравнениям и их приложениям, Академическая пресса, 1966, перепечатано Dover Publications, ISBN  0486445232 .
• Янош Акзель и Дж. Домбрес, Функциональные уравнения с несколькими переменными, Издательство Кембриджского университета, 1989.
• К. Эфтимиу, Введение в функциональные уравнения, АПП, 2011 г., ISBN  978-0-8218-5314-6 ; онлайн.
• Pl. Каннаппан, Функциональные уравнения и неравенства с приложениями, Springer, 2009.
• Марек Кучма, Введение в теорию функциональных уравнений и неравенств, второе издание, Birkhäuser, 2009.
• Хенрик Штеткер, Функциональные уравнения на группах, первое издание, World Scientific Publishing, 2013.
• Кристофер Г. Смолл (3 апреля 2007 г.). Функциональные уравнения и способы их решения. Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-48901-8.

внешние ссылки

• Функциональные уравнения: точные решения в EqWorld: мир математических уравнений.
• Функциональные уравнения: указатель в EqWorld: мир математических уравнений.
• Текст Компендиума ИМО (в архиве) по функциональным уравнениям в решении задач.