Функциональное уравнение (L-функция) - Functional equation (L-function)
 | Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. (Декабрь 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) |
В математика, то L-функции из теория чисел ожидается, что они будут иметь несколько характерных свойств, одно из которых состоит в том, что они удовлетворяют определенным функциональные уравнения. Существует сложная теория того, какими должны быть эти уравнения, большая часть которой все еще остается предположительной.
Вступление
Типичный пример: Дзета-функция Римана имеет функциональное уравнение, связывающее его значение на комплексное число s со значением 1 - s. В любом случае это относится к некоторому значению ζ (s), который определяется только аналитическое продолжение от бесконечная серия определение. То есть запись - как принято - σ для действительной части s, функциональное уравнение связывает случаи
- σ> 1 и σ <0,
а также меняет случай с
- 0 <σ <1
в критическая полоса к другому подобному случаю, отраженному линией σ = ½. Таким образом, использование функционального уравнения является основным для изучения дзета-функции в целом. комплексная плоскость.
Рассматриваемое функциональное уравнение для дзета-функции Римана принимает простой вид
куда Z(s) есть ζ (s), умноженное на гамма-факторс участием гамма-функция. Теперь это считается «дополнительным» фактором в Произведение Эйлера для дзета-функции, соответствующей бесконечное простое число. Точно такой же вид функционального уравнения имеет место для Дзета-функция Дедекинда из числовое поле K, с подходящим гамма-фактором, зависящим только от вложений K (в алгебраических терминах на тензорное произведение из K с реальное поле ).
Аналогичное уравнение существует для L-функции Дирихле, но на этот раз связав их попарно:[1]
с χ a примитивный характер Дирихле, χ* его комплексно сопряженное, Λ - L-функция, умноженная на гамма-фактор, а ε - комплексное число абсолютная величина 1, формы
куда грамм(χ) является Сумма Гаусса образованный из χ. Это уравнение имеет одну и ту же функцию с обеих сторон тогда и только тогда, когда χ является настоящий персонаж, принимая значения в {0,1, −1}. Тогда ε должно быть 1 или −1, и случай значения −1 будет означать ноль Λ(s) в s = ½. Согласно теории (по сути, Гаусса) сумм Гаусса, значение всегда равно 1, поэтому таких сумм нет. просто ноль может существовать (функция четное о сути).
Теория функциональных уравнений
Единую теорию таких функциональных уравнений дал Эрих Хекке, и теория была снова рассмотрена в Тезис Тейта к Джон Тейт. Гекке нашел обобщенные символы числовых полей, которые теперь называются Гекке персонажи, для чего его доказательство (основанное на тета-функции ) тоже работал. Эти символы и связанные с ними L-функции теперь считаются строго связанными с комплексное умножение, как персонажи Дирихле циклотомические поля.
Существуют также функциональные уравнения для локальные дзета-функции, возникающие на фундаментальном уровне для (аналога) Двойственность Пуанкаре в этальные когомологии. Произведения Эйлера Дзета-функция Хассе – Вейля для алгебраическое многообразие V над числовым полем K, образованный уменьшением по модулю главные идеалы чтобы получить локальные дзета-функции, предполагается, что Глобальный функциональное уравнение; но в настоящее время это считается недостижимым, за исключением особых случаев. Это определение снова можно прочитать непосредственно из теории этальных когомологий; но в целом некоторые предположения исходят из автоморфное представление теория кажется необходимой для получения функционального уравнения. В Гипотеза Таниямы – Шимуры был частным случаем этого как общая теория. Связав аспект гамма-фактора с Теория Ходжа, и подробные исследования ожидаемого ε-фактора, теория, как эмпирическая, была доведена до довольно усовершенствованного состояния, даже если доказательства отсутствуют.
Смотрите также
- явная формула (L-функция)
- Формула Римана – Зигеля (частное приближенное функциональное уравнение)