Формула Римана – Зигеля - Riemann–Siegel formula

В математика, то Формула Римана – Зигеля является асимптотическая формула за ошибку приближенное функциональное уравнение из Дзета-функция Римана, приближение дзета-функции суммой двух конечных Серия Дирихле. Это было найдено Сигель (1932) в неопубликованных рукописях Бернхард Риманн датируется 1850-ми годами. Сигель заимствовал это из Интегральная формула Римана – Зигеля, выражение для дзета-функции, включающее контурные интегралы. Он часто используется для вычисления значений формулы Римана – Зигеля, иногда в сочетании с Алгоритм Одлыжко – Шёнхаге что значительно ускоряет его. При использовании вдоль критической линии часто бывает полезно использовать его в форме, в которой он становится формулой для Z функция.

Если M и N неотрицательные целые числа, то дзета-функция равна

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}+\gamma (1-s)\sum _{n=1}^{M}{\frac {1}{n^{1-s}}}+R(s)}$

куда

${\displaystyle \gamma (s)=\pi ^{{\tfrac {1}{2}}-s}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(1-s)\right)}}}$

множитель, входящий в функциональное уравнение ζ(s) = γ(1 − s) ζ(1 − s), и

${\displaystyle R(s)={\frac {-\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int {\frac {(-x)^{s-1}e^{-Nx}}{e^{x}-1}}dx}$

- контурный интеграл, контур которого начинается и заканчивается в + ∞ и огибает особенности с абсолютной величиной не более 2πM. Приближенное функциональное уравнение дает оценку размера ошибки. Сигель (1932) и Эдвардс (1974) вывести из этого формулу Римана – Зигеля, применяя способ наискорейшего спуска к этому интегралу, чтобы дать асимптотическое разложение для погрешности р(s) как серию отрицательных степеней Im (s). В приложениях s обычно находится на критической линии, а положительные целые числа M и N выбраны, чтобы быть о (2πЯ(s))^1/2. Габке (1979) нашли хорошие оценки погрешности формулы Римана – Зигеля.

Интегральная формула Римана

Риман показал, что

${\displaystyle \int _{0\searrow 1}{\frac {e^{-i\pi u^{2}+2\pi ipu}}{e^{\pi iu}-e^{-\pi iu}}}\,du={\frac {e^{i\pi p^{2}}-e^{i\pi p}}{e^{i\pi p}-e^{-i\pi p}}}}$

где контур интегрирования представляет собой линию наклона −1, проходящую между 0 и 1 (Эдвардс 1974, 7.9).

Он использовал это, чтобы получить следующую интегральную формулу для дзета-функции:

${\displaystyle \pi ^{-{\tfrac {s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{\tfrac {s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)\int _{0\swarrow 1}{\frac {x^{-s}e^{\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,dx+\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {1-s}{2}}\right)\int _{0\searrow 1}{\frac {x^{s-1}e^{-\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,dx}$

Рекомендации

• Берри, Майкл В. (1995), «Разложение Римана – Зигеля для дзета-функции: высокие порядки и остатки», Труды Лондонского королевского общества. Серия A: математические, физические и технические науки, 450 (1939): 439–462, Дои:10.1098 / rspa.1995.0093, ISSN  0962-8444, МИСТЕР  1349513, Zbl  0842.11030
• Эдвардс, Х. (1974), Дзета-функция Римана, Чистая и прикладная математика, 58, Нью-Йорк-Лондон: Academic Press, ISBN  0-12-232750-0, Zbl  0315.10035
• Габке, Вольфганг (1979), Neue Herleitung und Explizite Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel (на немецком языке), Георг-Август-Университет Геттингена, HDL:11858/00-1735-0000-0022-6013-8, Zbl  0499.10040
• Паттерсон, С.Дж. (1988), Введение в теорию дзета-функции Римана, Кембриджские исследования по высшей математике, 14, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-33535-3, Zbl  0641.10029
• Сигель, К. (1932), «Убер Риманс нахласс цур аналитишен Захлентеори», Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. Und Phys. Abt. B: Studien 2: 45–80, JFM  58.1037.07, Zbl  0004.10501 Перепечатано в Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Берлин: Springer-Verlag, 1966.

внешняя ссылка

• Гурдон, X., Численная оценка дзета-функции Римана
• Вайсштейн, Эрик В. «Формула Римана – Зигеля». MathWorld.