Формула отражения - Reflection formula

Эта статья посвящена размышлениям в теории чисел и исчислении. Формулы отражения в геометрии см. Отражение (математика).

В математика, а формула отражения или же отношение отражения для функция ж это отношения между ж(а − Икс) и ж(Икс). Это частный случай функциональное уравнение, и в литературе очень часто используется термин «функциональное уравнение», когда имеется в виду «формула отражения».

Формулы отражения полезны для числовое вычисление из специальные функции. По сути, приближение, которое имеет большую точность или сходится только на одной стороне точки отражения (обычно в положительной половине комплексная плоскость ) можно использовать для всех аргументов.

Известная формула

В четные и нечетные функции удовлетворять простым отношениям отражения вокруг а = 0. Для всех четных функций

${\displaystyle f(-x)=f(x),}$

и для всех нечетных функций

${\displaystyle f(-x)=-f(x).}$

Знаменитые отношения Формула отражения Эйлера

${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {(\pi z)}}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }$

для гамма-функция ${\displaystyle \Gamma (z)}$, из-за Леонард Эйлер.

Также существует формула отражения для общего п-й порядок полигамма функция ψ^(п)(z),

${\displaystyle \psi ^{(n)}(1-z)+(-1)^{n+1}\psi ^{(n)}(z)=(-1)^{n}\pi {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\cot {(\pi z)}}$

что тривиально проистекает из того факта, что полигамма-функции определяются как производные от ${\displaystyle \ln \Gamma }$ и, таким образом, наследуют формулу отражения.

В Дзета-функция Римана ζ (z) удовлетворяет

${\displaystyle {\frac {\zeta (1-z)}{\zeta (z)}}={\frac {2\,\Gamma (z)}{(2\pi )^{z}}}\cos \left({\frac {\pi z}{2}}\right),}$

и Функция Римана Кси ξ (z) удовлетворяет

${\displaystyle \xi (z)=\xi (1-z).}$

Рекомендации

• Вайсштейн, Эрик В. «Отражение отношения». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Полигамма-функция». MathWorld.