Полигамма функция - Polygamma function

Для гамма-функции Барнса см. множественная гамма-функция.

Графики полигамма-функций ψ, ψ⁽¹⁾, ψ⁽²⁾ и ψ⁽³⁾ реальных аргументов

В математика, то полигамма функция порядка м это мероморфная функция на сложные числа ℂ определяется как (м + 1)th производная от логарифма из гамма-функция:

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z):={\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\psi (z)={\frac {d^{m+1}}{dz^{m+1}}}\ln \Gamma (z).}$

Таким образом

${\displaystyle \psi ^{(0)}(z)=\psi (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}}$

держит где ψ(z) это функция дигаммы и Γ (z) это гамма-функция. Они есть голоморфный на ℂ \ −ℕ₀. При всех неположительных целых числах эти полигамма-функции имеют столб порядка м + 1. Функция ψ⁽¹⁾(z) иногда называют функция тригаммы.

Логарифм гамма-функции и первые несколько полигамма-функций в комплексной плоскости

ln Γ (z)	ψ^(0)(z)	ψ^(1)(z)
ψ^(2)(z)	ψ^(3)(z)	ψ^(4)(z)

Интегральное представление

Смотрите также: Дигамма-функция § Интегральные представления

Когда м > 0 и Re z > 0, полигамма-функция равна

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi ^{(m)}(z)&=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\,dt\\&=-\int _{0}^{1}{\frac {t^{z-1}}{1-t}}(\ln t)^{m}\,dt.\end{aligned}}}$

Это выражает функцию полигаммы как Преобразование Лапласа из ${\displaystyle (-1)^{m+1}t^{m}/(1-e^{-t})}$. Это следует из Теорема Бернштейна о монотонных функциях это для м > 0 и Икс реальный и неотрицательный, ${\displaystyle (-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)}$ является полностью монотонной функцией.

Настройка м = 0 в приведенной выше формуле не дает интегрального представления дигамма-функции. Дигамма-функция имеет интегральное представление благодаря Гауссу, которое похоже на м = 0 случай выше, но в котором есть дополнительный термин ${\displaystyle e^{-t}/t}$.

Отношение рецидива

Это удовлетворяет отношение повторения

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+{\frac {(-1)^{m}\,m!}{z^{m+1}}}}$

что - рассматриваемое для положительного целочисленного аргумента - приводит к представлению суммы обратных степеней натуральных чисел:

${\displaystyle {\frac {\psi ^{(m)}(n)}{(-1)^{m+1}\,m!}}=\zeta (1+m)-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k^{m+1}}}=\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {1}{k^{m+1}}}\qquad m\geq 1}$

и

${\displaystyle \psi ^{(0)}(n)=-\gamma \ +\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}}$

для всех п ∈ ℕ. Как и функция log-gamma, функции polygamma могут быть обобщены из области ℕ однозначно положительным действительным числам только из-за их рекуррентного отношения и одного заданного значения функции, скажем ψ^(м)(1), кроме случая м = 0 где дополнительное условие строгого монотонность на ℝ⁺ по-прежнему нужен. Это тривиальное следствие Теорема Бора – Моллерупа для гамма-функции, где строго логарифмическая выпуклость на ℝ⁺ требуется дополнительно. Дело м = 0 нужно относиться по-другому, потому что ψ⁽⁰⁾ не нормализуется на бесконечности (сумма обратных величин не сходится).

Отношение отражения

${\displaystyle (-1)^{m}\psi ^{(m)}(1-z)-\psi ^{(m)}(z)=\pi {\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\cot {(\pi z)}=\pi ^{m+1}{\frac {P_{m}(\cos(\pi z))}{\sin ^{m+1}(\pi z)}}}$

где п_м поочередно является нечетным или четным многочленом степени |м − 1| с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом (−1)^м⌈2^{м − 1}⌉. Они подчиняются уравнению рекурсии

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}(x)&=x\\P_{m+1}(x)&=-\left((m+1)xP_{m}(x)+\left(1-x^{2}\right)P'_{m}(x)\right).\end{aligned}}}$

Теорема умножения

В теорема умножения дает

${\displaystyle k^{m+1}\psi ^{(m)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)\qquad m\geq 1}$

и

${\displaystyle k\psi ^{(0)}(kz)=k\log(k)+\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(0)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)}$

для функция дигаммы.

Представление серии

Полигамма-функция имеет представление в виде ряда

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\,m!\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}}$

что справедливо для м > 0 и любой комплекс z не равно отрицательному целому числу. Это представление можно записать более компактно в терминах Дзета-функция Гурвица так как

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\,m!\,\zeta (m+1,z).}$

С другой стороны, дзета Гурвица может пониматься как обобщение полигаммы до произвольного, нецелочисленного порядка.

Еще одна серия может быть разрешена для полигамма-функций. Как указано Schlömilch,

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}.}$

Это результат Теорема факторизации Вейерштрасса. Таким образом, теперь гамма-функцию можно определить как:

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{n}}.}$

Теперь натуральный логарифм гамма-функции легко представить:

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln(z)+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n}}-\ln \left(1+{\frac {z}{n}}\right)\right).}$

Наконец, мы приходим к суммированию для полигамма-функции:

${\displaystyle \psi ^{(n)}(z)={\frac {d^{n+1}}{dz^{n+1}}}\ln \Gamma (z)=-\gamma \delta _{n0}-{\frac {(-1)^{n}n!}{z^{n+1}}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}\delta _{n0}-{\frac {(-1)^{n}n!}{(k+z)^{n+1}}}\right)}$

Где δ_п0 это Дельта Кронекера.

Так же Лерх трансцендентный

${\displaystyle \Phi (-1,m+1,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(z+k)^{m+1}}}}$

можно обозначить через полигамма-функцию

${\displaystyle \Phi (-1,m+1,z)={\frac {1}{(-2)^{m+1}m!}}\left(\psi ^{(m)}\left({\frac {z}{2}}\right)-\psi ^{(m)}\left({\frac {z+1}{2}}\right)\right)}$

Серия Тейлор

В Серия Тейлор в z = 1 является

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}{\frac {(m+k)!}{k!}}\zeta (m+k+1)z^{k}\qquad m\geq 1}$

и

${\displaystyle \psi ^{(0)}(z+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\zeta (k+1)z^{k}}$

который сходится для |z| < 1. Вот, ζ это Дзета-функция Римана. Этот ряд легко выводится из соответствующего ряда Тейлора для дзета-функции Гурвица. Этот ряд может использоваться для получения ряда рациональная дзета-серия.

Асимптотическое разложение

Эти несходящиеся ряды можно использовать для быстрого получения значения приближения с определенной числовой точностью как минимум для больших аргументов:

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)\sim (-1)^{m+1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(k+m-1)!}{k!}}{\frac {B_{k}}{z^{k+m}}}\qquad m\geq 1}$

и

${\displaystyle \psi ^{(0)}(z)\sim \ln(z)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}}{kz^{k}}}}$

где мы выбрали B₁ = 1/2, т.е. Числа Бернулли второго рода.

Неравенства

В гиперболический котангенс удовлетворяет неравенству

${\displaystyle {\frac {t}{2}}\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}\geq 1,}$

откуда следует, что функция

${\displaystyle {\frac {t^{m}}{1-e^{-t}}}-\left(t^{m-1}+{\frac {t^{m}}{2}}\right)}$

неотрицательно для всех ${\displaystyle m\geq 1}$ и ${\displaystyle t\geq 0}$. Отсюда следует, что преобразование Лапласа этой функции полностью монотонно. Используя представленное выше интегральное представление, заключаем, что

${\displaystyle (-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)-\left({\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{2x^{m+1}}}\right)}$

полностью монотонный. Неравенство выпуклости ${\displaystyle e^{t}\geq 1+t}$ подразумевает, что

${\displaystyle \left(t^{m-1}+t^{m}\right)-{\frac {t^{m}}{1-e^{-t}}}}$

неотрицательно для всех ${\displaystyle m\geq 1}$ и ${\displaystyle t\geq 0}$, поэтому аналогичный аргумент преобразования Лапласа дает полную монотонность

${\displaystyle \left({\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{x^{m+1}}}\right)-(-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x).}$

Поэтому для всех м ≥ 1 и Икс > 0,

${\displaystyle {\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{2x^{m+1}}}\leq (-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)\leq {\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{x^{m+1}}}.}$

Смотрите также

• Факториал
• Гамма-функция
• Дигамма функция
• Тригамма функция
• Обобщенная полигамма-функция

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен А. (1964). «Раздел 6.4». Справочник по математическим функциям. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-61272-0.