Функция Римана Кси - Riemann Xi function

Кси-функция Римана ${\displaystyle \xi (s)}$ в комплексная плоскость. Цвет точки ${\displaystyle s}$ кодирует значение функции. Более темные цвета обозначают значения, близкие к нулю, а оттенок кодирует значения аргумент.

В математика, то Функция Римана Кси это вариант Дзета-функция Римана, и определяется так, чтобы иметь особенно простой функциональное уравнение. Функция названа в честь Бернхард Риманн.

Определение

Оригинальная строчная "xi" -функция Римана, ${\displaystyle \xi }$ был переименован с заглавной буквы ${\displaystyle ~\Xi ~}$ (Греческая буква «си» ) к Эдмунд Ландау. Строчные буквы Ландау ${\displaystyle ~\xi ~}$ ("xi") определяется как^[1]

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$

за ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$. Здесь ${\displaystyle \zeta (s)}$ обозначает Дзета-функция Римана и ${\displaystyle \Gamma (s)}$ это Гамма-функция. Функциональное уравнение (или формула отражения ) для Ландау ${\displaystyle ~\xi ~}$ является

${\displaystyle \xi (1-s)=\xi (s)~.}$

Оригинальная функция Римана, переименованная в верхний регистр ${\displaystyle ~\Xi ~}$ Ландау,^[1] удовлетворяет

${\displaystyle \Xi (z)=\xi \left({\tfrac {1}{2}}+zi\right)}$,

и подчиняется функциональному уравнению

${\displaystyle \Xi (-z)=\Xi (z)~.}$

Обе функции весь и чисто реально для реальных аргументов.

Значения

Общая форма положительных четных целых чисел:

${\displaystyle \xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {n!}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n-1)}$

куда B_п обозначает п-й Число Бернулли. Например:

${\displaystyle \xi (2)={\frac {\pi }{6}}}$

Представления серий

В ${\displaystyle \xi }$ функция имеет расширение в ряд

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n},}$

куда

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right],}$

где сумма продолжается по ρ, нетривиальным нулям дзета-функции, в порядке ${\displaystyle |\Im (\rho )|}$.

Это расширение играет особенно важную роль в Критерий Ли, в котором говорится, что Гипотеза Римана равносильно тому, что λ_п > 0 для всех положительных п.

Произведение Адамара

Простой бесконечный продукт расширение

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right),\!}$

где ρ пробегает корни ξ.

Чтобы гарантировать сходимость в разложении, произведение должно быть взято по «совпадающим парам» нулей, т.е. множители для пары нулей вида ρ и 1 − ρ должны быть сгруппированы вместе.

Рекомендации

1. Ландау, Эдмунд (1974) [1909]. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen [Справочник по изучению распределения простых чисел] (Третье изд.). Нью-Йорк: Челси. §70-71 и стр. 894.

Дальнейшие ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Си-функция». MathWorld.
• Кейпер, Дж. Б. (1992). "Разложения в степенной ряд xi-функции Римана". Математика вычислений. 58 (198): 765–773. Bibcode:1992MaCom..58..765K. Дои:10.1090 / S0025-5718-1992-1122072-5.

В этой статье использован материал из функции Римана по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.