Карта кошек Арнольда - Arnolds cat map

Изображение, показывающее, как линейная карта растягивает единичный квадрат и как его части меняются, когда операция по модулю выполняется. Линии со стрелками показывают направление сжатия и расширения. собственные подпространства

В математика, Карта кошек Арнольда это хаотичный карта из тор в себя, названный в честь Владимир Арнольд, который продемонстрировал его эффекты в 1960-х годах, используя изображение кошки, отсюда и название.^[1]

Думая о торе ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ как факторное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$, Карта кошки Арнольда - это преобразование ${\displaystyle \Gamma :\mathbb {T} ^{2}\to \mathbb {T} ^{2}}$ задается формулой

${\displaystyle \Gamma \,:\,(x,y)\to (2x+y,x+y){\bmod {1}}.}$

Эквивалентно в матрица обозначение, это

${\displaystyle \Gamma \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}{\bmod {1}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}{\bmod {1}}.}$

То есть с единицей измерения, равной ширине квадратного изображения, изображение будет стрижен на одну единицу вверх, затем на две единицы вправо, и все, что находится за пределами этого единичного квадрата, сдвигается на единицу назад, пока не окажется внутри квадрата.

Характеристики

• Γ - это обратимый потому что матрица имеет детерминант 1 и, следовательно, его инверсия имеет целочисленные записи,
• Γ - это сохранение территории,
• Γ имеет единственное гиперболическая неподвижная точка (в вершины площади). Линейное преобразование, определяющее карту, является гиперболическим: его собственные значения являются иррациональными числами, одно больше, а другое меньше единицы (по абсолютной величине), поэтому они связаны соответственно с расширяющимся и сужающимся собственное подпространство которые также являются устойчивые и неустойчивые многообразия. Собственное подпространство ортогонально, поскольку матрица симметричный. Поскольку собственные векторы имеют рационально независимый компоненты как собственные подпространства плотно накрыть тор. Карта кошек Арнольда - особенно известный пример гиперболический автоморфизм тора, что является автоморфизм из тор дан квадратом унимодулярная матрица не имея собственные значения абсолютного значения 1.^[2]
• Множество точек с периодическая орбита является плотный на торе. На самом деле точка является предпериодической тогда и только тогда, когда ее координаты равны рациональный.
• Γ - это топологически транзитивный (т.е. есть точка, орбита которой плотный, это происходит для любых точек на расширяющейся собственное подпространство )
• Количество точек с периодом ${\displaystyle n}$ точно ${\displaystyle |\lambda _{1}^{n}+\lambda _{2}^{n}-2|}$ (куда ${\displaystyle \lambda _{1}}$ и ${\displaystyle \lambda _{2}}$ - собственные значения матрицы). Например, первые несколько членов этого ряда: 1, 5, 16, 45, 121, 320, 841, 2205 ....^[3] (Это же уравнение справедливо для любого унимодулярного гиперболического автоморфизма тора, если заменить собственные значения.)
• Γ - это эргодический и смешивание,
• Γ является Диффеоморфизм Аносова и в частности это структурно стабильный.

Дискретная карта кошек

От порядка к хаосу и обратно. Пример отображения на картинке размером 150х150 пикселей. Число показывает шаг итерации; после 300 итераций возвращается исходное изображение.

Пример отображения на картинке пары вишен. Изображение имеет ширину 74 пикселя, и для его восстановления требуется 114 итераций, хотя в середине (57-я итерация) оно отображается перевернутым.

Можно определить дискретный аналог карты кошки. Одной из особенностей этой карты является то, что изображение, очевидно, рандомизированное преобразованием, но возвращающееся в исходное состояние после ряда шагов. Как видно на соседнем рисунке, исходное изображение кошки стрижен а затем завершился первой итерацией преобразования. После нескольких итераций полученное изображение выглядит довольно случайный или неупорядоченный, но после дальнейших итераций изображение, кажется, имеет дополнительный порядок - похожие на привидения изображения кошки, несколько меньших копий, расположенных в повторяющейся структуре, и даже перевернутые копии исходного изображения - и в конечном итоге возвращается к исходному изображению.

Дискретная карта кошек описывает фазовое пространство поток, соответствующий дискретной динамике прыжка шарика с площадки q_т (0 ≤ q_т < N) на сайт q_т+1 на круглом кольце с окружностью N, согласно уравнение второго порядка:

${\displaystyle q_{t+1}-3q_{t}+q_{t-1}=0\mod N}$

Определение переменной импульса п_т = q_т − q_т−1, указанная выше динамика второго порядка может быть переписана как отображение квадрата 0 ≤ q, п < N (в фазовое пространство дискретной динамической системы) на себя:

${\displaystyle q_{t+1}=2q_{t}+p_{t}\mod N}$

${\displaystyle p_{t+1}=q_{t}+p_{t}\mod N}$

Эта карта кошек Арнольда показывает смешивание поведение, характерное для хаотических систем. Однако, поскольку преобразование имеет детерминант равно единице, это сохраняющий территорию и поэтому обратимый обратное преобразование:

${\displaystyle q_{t-1}=q_{t}-p_{t}\mod N}$

${\displaystyle p_{t-1}=-q_{t}+2p_{t}\mod N}$

Для реальных переменных q и п, обычно устанавливают N = 1. В этом случае получается отображение единичного квадрата с периодическими граничными условиями на себя.

Когда N задано целочисленное значение, переменные положения и импульса могут быть ограничены целыми числами, и отображение становится отображением тороидальной квадратной сетки точек на себя. Такая целочисленная карта кошек обычно используется для демонстрации смешивание поведение с Повторение Пуанкаре использование цифровых изображений. Можно показать, что количество итераций, необходимых для восстановления изображения, никогда не превышает 3N.^[4]

Для изображения связь между итерациями может быть выражена следующим образом:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}n=0:\quad &T^{0}(x,y)&=&{\text{Input Image}}(x,y)\\n=1:\quad &T^{1}(x,y)&=&T^{0}\left({\bmod {(}}2x+y,N),{\bmod {(}}x+y,N)\right)\\&&\vdots \\n=k:\quad &T^{k}(x,y)&=&T^{k-1}\left({\bmod {(}}2x+y,N),{\bmod {(}}x+y,N)\right)\\&&\vdots \\n=m:\quad &{\text{Output Image}}(x,y)&=&T^{m}(x,y)\end{array}}}$

Смотрите также

• Математический портал

• Список хаотических карт
• Сюжет повторения

Рекомендации

1. Владимир Иванович Арнольд; А. Авез (1967). Problèmes Ergodiques de la Mécanique Classique (На французском). Париж: Готье-Виллар.;Английский перевод: В. И. Арнольд; А. Авез (1968). Эргодические задачи классической механики. Нью-Йорк: Бенджамин.
2. Франк, Джон М. (октябрь 1977 г.). «Инвариантные множества гиперболических автоморфизмов тора». Американский журнал математики. Издательство Университета Джона Хопкинса. 99 (5): 1089–1095. Дои:10.2307/2374001. ISSN  0002-9327.
3. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A004146». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.
4. Дайсон, Фриман Джон; Фальк, Гарольд (1992). «Период дискретного картирования кошек». Американский математический ежемесячник. Математическая ассоциация Америки. 99 (7): 603–614. Дои:10.2307/2324989. ISSN  0002-9890. JSTOR  2324989.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Карта кошки Арнольда". MathWorld.
• Влияние рандомизации начальных условий на время повторения
• Карта кошки Арнольда Энрике Зелени, Демонстрационный проект Wolfram.
• Карта кошки Арнольда: интерактивное графическое исследование