Рациональная зависимость - Rational dependence

В математика, собрание действительные числа является рационально независимый если ни один из них не может быть записан как линейная комбинация других чисел в коллекции с рациональный коэффициенты. Набор чисел, который не является рационально независимым, называется рационально зависимый. Например, у нас есть следующий пример.

${displaystyle {egin{matrix}{mbox{independent}}qquad underbrace {overbrace {3,quad {sqrt {8}}quad } ,1+{sqrt {2}}} {mbox{dependent}}end{matrix}}}$

Потому что если мы позволим ${displaystyle x=3,y={sqrt {8}}}$, тогда ${displaystyle 1+{sqrt {2}}={frac {1}{3}}x+{frac {1}{2}}y}$.

Формальное определение

В действительные числа ω₁, ω₂, ..., ω_п как говорят рационально зависимый если существуют целые числа k₁, k₂, ... , k_п, не все из которых равны нулю, так что

${displaystyle k_{1}omega _{1}+k_{2}omega _{2}+cdots +k_{n}omega _{n}=0.}$

Если таких целых чисел не существует, то векторы называются рационально независимый. Это условие можно переформулировать следующим образом: ω₁, ω₂, ..., ω_п рационально независимы, если только п-набор целых чисел k₁, k₂, ... , k_п такой, что

${displaystyle k_{1}omega _{1}+k_{2}omega _{2}+cdots +k_{n}omega _{n}=0}$

это простое решение в котором каждый k_я равно нулю.

Действительные числа образуют векторное пространство над рациональное число, и это эквивалентно обычному определению линейная независимость в этом векторном пространстве.

Смотрите также

• Линейное течение на торе

Библиография

• Анатоль Каток и Борис Хассельблатт (1996). Введение в современную теорию динамических систем. Кембридж. ISBN  0-521-57557-5.