Симметричная матрица - Symmetric matrix

Для матриц с симметрией над комплексное число поле, см. Эрмитова матрица.

Симметрия матрицы 5 × 5

В линейная алгебра, а симметричная матрица это квадратная матрица что равно его транспонировать. Формально,

${\displaystyle A{\text{ is symmetric}}\iff A=A^{\textsf {T}}.}$

Поскольку одинаковые матрицы имеют одинаковые размеры, симметричными могут быть только квадратные матрицы.

Элементы симметричной матрицы симметричны относительно главная диагональ. Так что если ${\displaystyle a_{ij}}$ обозначает запись в ${\displaystyle i}$-й ряд и ${\displaystyle j}$-й столбец, затем

${\displaystyle A{\text{ is symmetric}}\iff {\text{ for every }}i,j,\quad a_{ji}=a_{ij}}$

по всем показателям ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j.}$

Каждый квадрат диагональная матрица симметрично, так как все недиагональные элементы равны нулю. Аналогично в характеристика отличается от 2, каждый диагональный элемент кососимметричная матрица должен быть равен нулю, так как каждое из них является отрицательным.

В линейной алгебре a настоящий симметричная матрица представляет собой самосопряженный оператор^[1] через настоящий внутреннее пространство продукта. Соответствующий объект для сложный внутреннее пространство продукта - это Эрмитова матрица с комплексными элементами, что равно его сопряженный транспонировать. Поэтому в линейной алгебре комплексных чисел часто предполагается, что симметричная матрица относится к матрице, имеющей действительные значения. Симметричные матрицы естественным образом появляются во множестве приложений, и типичное программное обеспечение численной линейной алгебры делает для них специальные приспособления.

пример

Следующее ${\displaystyle 3\times 3}$ матрица симметрична:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&-5\\3&-5&6\end{bmatrix}}}$

Свойства

Основные свойства

• Сумма и разность двух симметричных матриц снова симметричны

• Это не всегда верно для товар: заданные симметричные матрицы ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, тогда ${\displaystyle AB}$ симметричен тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ ездить, т.е. если ${\displaystyle AB=BA}$.

• Для целого числа ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle A^{n}}$ симметричен, если ${\displaystyle A}$ симметрично.

• Если ${\displaystyle A^{-1}}$ существует, он симметричен тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A}$ симметрично.

Разложение на симметричные и кососимметричные

Любую квадратную матрицу можно однозначно записать как сумму симметричной и кососимметричной матрицы. Это разложение известно как разложение Теплица. ${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}}$ обозначим пространство ${\displaystyle n\times n}$ матрицы. Если ${\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}}$ обозначает пространство ${\displaystyle n\times n}$ симметричные матрицы и ${\displaystyle {\mbox{Skew}}_{n}}$ пространство ${\displaystyle n\times n}$ кососимметричные матрицы, то ${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}+{\mbox{Skew}}_{n}}$ и ${\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}\cap {\mbox{Skew}}_{n}=\{0\}}$, т.е.

${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}\oplus {\mbox{Skew}}_{n},}$

где ${\displaystyle \oplus }$ обозначает прямая сумма. Позволять ${\displaystyle X\in {\mbox{Mat}}_{n}}$ тогда

${\displaystyle X={\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)}$.

Заметить, что ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}}$ и ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Skew}}_{n}}$. Это верно для каждого квадратная матрица ${\displaystyle X}$ с записями из любых поле чья характеристика отличается от 2.

Симметричный ${\displaystyle n\times n}$ матрица определяется ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n+1)}$ скаляры (количество записей на или выше главная диагональ ). Аналогично кососимметричная матрица определяется ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-1)}$ скаляры (количество элементов выше главной диагонали).

Матрица, конгруэнтная симметричной матрице

Любая матрица конгруэнтный симметричной матрице снова симметрично: если ${\displaystyle X}$ является симметричной матрицей, то также ${\displaystyle AXA^{\mathrm {T} }}$ для любой матрицы ${\displaystyle A}$.

Симметрия подразумевает нормальность

(Действительная) симметричная матрица обязательно является нормальная матрица.

Действительные симметричные матрицы

Обозначим через ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ стандарт внутренний продукт на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Реальность ${\displaystyle n\times n}$ матрица ${\displaystyle A}$ симметричен тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle \quad \forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$

Поскольку это определение не зависит от выбора основа, симметрия - это свойство, зависящее только от линейный оператор А и выбор внутренний продукт. Эта характеристика симметрии полезна, например, в дифференциальная геометрия, для каждого касательное пространство к многообразие могут быть наделены внутренним продуктом, что дает начало тому, что называется Риманово многообразие. Другая область, где используется этот состав, - это Гильбертовы пространства.

Конечномерный спектральная теорема говорит, что любая симметричная матрица, элементы которой настоящий может быть диагонализованный по ортогональная матрица. Более подробно: для каждой симметричной вещественной матрицы ${\displaystyle A}$ существует вещественная ортогональная матрица ${\displaystyle Q}$ такой, что ${\displaystyle D=Q^{\mathrm {T} }AQ}$ это диагональная матрица. Таким образом, каждая симметричная матрица вплоть до выбор ортонормированный базис, диагональная матрица.

Если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ находятся ${\displaystyle n\times n}$ вещественные симметричные матрицы, которые коммутируют, то их можно одновременно диагонализовать: существует базис ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ такой, что каждый элемент базиса является собственный вектор для обоих ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$.

Каждая вещественная симметричная матрица Эрмитский, а значит, и все его собственные значения настоящие. (Фактически, собственные значения являются элементами диагональной матрицы ${\displaystyle D}$ (выше), и поэтому ${\displaystyle D}$ однозначно определяется ${\displaystyle A}$ вплоть до порядка его записей.) По существу, свойство быть симметричным для вещественных матриц соответствует свойству быть эрмитовым для комплексных матриц.

Комплексные симметричные матрицы

Сложную симметричную матрицу можно «диагонализовать» с помощью унитарная матрица: таким образом, если ${\displaystyle A}$ - комплексная симметричная матрица, существует унитарная матрица ${\displaystyle U}$ такой, что ${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }}$ - вещественная диагональная матрица с неотрицательными элементами. Этот результат называется Факторизация Autonne – Takagi. Первоначально это было доказано Леон Отон (1915) и Тейджи Такаги (1925) и был заново открыт с различными доказательствами несколькими другими математиками.^[2][3] Фактически матрица ${\displaystyle B=A^{\dagger }A}$ эрмитский и положительный полуопределенный, поэтому существует унитарная матрица ${\displaystyle V}$ такой, что ${\displaystyle V^{\dagger }BV}$ диагональна с неотрицательными действительными элементами. Таким образом ${\displaystyle C=V^{\mathrm {T} }AV}$ комплексно симметричен с ${\displaystyle C^{\dagger }C}$ настоящий. Письмо ${\displaystyle C=X+iY}$ с участием ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ вещественные симметричные матрицы, ${\displaystyle C^{\dagger }C=X^{2}+Y^{2}+i(XY-YX)}$. Таким образом ${\displaystyle XY=YX}$. поскольку ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ коммутируют, существует вещественная ортогональная матрица ${\displaystyle W}$ так что оба ${\displaystyle WXW^{\mathrm {T} }}$ и ${\displaystyle WYW^{\mathrm {T} }}$ диагональные. Настройка ${\displaystyle U=WV^{\mathrm {T} }}$ (унитарная матрица) матрица ${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }}$ сложная диагональ. Предварительное умножение ${\displaystyle U}$ подходящей диагональной унитарной матрицей (которая сохраняет унитарность ${\displaystyle U}$) диагональные элементы ${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }}$ можно сделать реальным и неотрицательным по желанию. Чтобы построить эту матрицу, мы выразим диагональную матрицу как ${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }={\textrm {Diag}}(r_{1}e^{i\theta _{1}},r_{2}e^{i\theta _{2}},\dots ,r_{n}e^{i\theta _{n}})}$. Матрица, которую мы ищем, просто дается формулой ${\displaystyle D={\textrm {Diag}}(e^{-i\theta _{1}/2},e^{-i\theta _{2}/2},\dots ,e^{-i\theta _{n}/2})}$. Ясно ${\displaystyle DUAU^{\mathrm {T} }D={\textrm {Diag}}(r_{1},r_{2},\dots ,r_{n})}$ по желанию, поэтому вносим модификацию ${\displaystyle U'=DU}$. Поскольку их квадраты являются собственными значениями ${\displaystyle A^{\dagger }A}$, они совпадают с сингулярные значения из ${\displaystyle A}$. (Обратите внимание на собственное разложение комплексной симметричной матрицы ${\displaystyle A}$, жорданова нормальная форма ${\displaystyle A}$ не может быть диагональным, поэтому ${\displaystyle A}$ не могут быть диагонализованы никаким преобразованием подобия.)

Разложение

С использованием Нормальная форма Джордана, можно доказать, что каждая квадратная вещественная матрица может быть записана как произведение двух действительных симметричных матриц, а каждая квадратная комплексная матрица может быть записана как произведение двух комплексных симметричных матриц.^[4]

Каждый настоящий невырожденная матрица можно однозначно рассматривать как результат ортогональная матрица и симметричный положительно определенная матрица, который называется полярное разложение. Сингулярные матрицы также можно разложить на множители, но не однозначно.

Разложение Холецкого утверждает, что каждая действительная положительно определенная симметричная матрица ${\displaystyle A}$ является произведением нижнетреугольной матрицы ${\displaystyle L}$ и его транспонировать,

${\displaystyle A=LL^{\textsf {T}}}$.

Если матрица симметричная неопределенная, ее можно разложить как ${\displaystyle PAP^{\textsf {T}}=LDL^{\textsf {T}}}$ где ${\displaystyle P}$ матрица перестановок (возникающая из-за необходимости поворот ), ${\displaystyle L}$ нижняя единичная треугольная матрица, и ${\displaystyle D}$^{[соответствующие? ]} прямая сумма симметричных ${\displaystyle 1\times 1}$ и ${\displaystyle 2\times 2}$ блоков, которое называется разложением Банча – Кауфмана ^[5]

Сложная симметричная матрица не может быть диагонализована по подобию; каждая вещественная симметричная матрица диагонализуема действительным ортогональным подобием.

Каждая комплексная симметричная матрица ${\displaystyle A}$ можно диагонализовать с помощью унитарного сравнения

${\displaystyle A=Q\Lambda Q^{\textsf {T}}}$

где ${\displaystyle Q}$ это унитарная матрица. Если A вещественно, матрица ${\displaystyle Q}$ настоящий ортогональная матрица, (столбцы которых собственные векторы из ${\displaystyle A}$), и ${\displaystyle \Lambda }$ действительный и диагональный (имеющий собственные значения из ${\displaystyle A}$ по диагонали). Чтобы увидеть ортогональность, предположим ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ являются собственными векторами, соответствующими различным собственным значениям ${\displaystyle \lambda _{1}}$, ${\displaystyle \lambda _{2}}$. потом

${\displaystyle \lambda _{1}\langle x,y\rangle =\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle =\lambda _{2}\langle x,y\rangle .}$

поскольку ${\displaystyle \lambda _{1}}$ и ${\displaystyle \lambda _{2}}$ различны, у нас есть ${\displaystyle \langle x,y\rangle =0}$.

Гессен

Симметричный ${\displaystyle n\times n}$ матрицы действительных функций выглядят как Гессен дважды непрерывно дифференцируемых функций от ${\displaystyle n}$ реальные переменные.

Каждые квадратичная форма ${\displaystyle q}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ можно однозначно записать в виде ${\displaystyle q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}A\mathbf {x} }$ с симметричным ${\displaystyle n\times n}$ матрица ${\displaystyle A}$. В силу приведенной выше спектральной теоремы можно сказать, что каждая квадратичная форма с точностью до выбора ортонормированного базиса ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, "выглядит как"

${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}^{2}}$

с реальными числами ${\displaystyle \lambda _{i}}$. Это значительно упрощает изучение квадратичных форм, а также изучение множеств уровней. ${\displaystyle \left\{\mathbf {x} :q(\mathbf {x} )=1\right\}}$ которые являются обобщениями конические секции.

Это важно отчасти потому, что поведение второго порядка каждой гладкой функции с несколькими переменными описывается квадратичной формой, принадлежащей гессиану функции; это следствие Теорема Тейлора.

Симметризуемая матрица

An ${\displaystyle n\times n}$ матрица ${\displaystyle A}$ как говорят симметризуемый если существует обратимый диагональная матрица ${\displaystyle D}$ и симметричная матрица ${\displaystyle S}$ такой, что ${\displaystyle A=DS.}$

Транспонирование симметризуемой матрицы симметризуемо, поскольку ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=(DS)^{\mathrm {T} }=SD=D^{-1}(DSD)}$ и ${\displaystyle DSD}$ симметрично. Матрица ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ симметризуема тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1. ${\displaystyle a_{ij}=0}$ подразумевает ${\displaystyle a_{ji}=0}$ для всех ${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n.}$
2. ${\displaystyle a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}}\dots a_{i_{k}i_{1}}=a_{i_{2}i_{1}}a_{i_{3}i_{2}}\dots a_{i_{1}i_{k}}}$ для любой конечной последовательности ${\displaystyle \left(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}\right).}$

Смотрите также

Другие виды симметрия или узоры в квадратных матрицах имеют специальные названия; см. например:

• Антиметрическая матрица
• Центросимметричная матрица
• Циркулянтная матрица
• Ковариационная матрица
• Матрица Кокстера
• Матрица Ганкеля
• Матрица Гильберта
• Персимметричная матрица
• Кососимметричная матрица
• Закон инерции Сильвестра
• Матрица Теплица

Смотрите также симметрия в математике.

Заметки

1. Хесус Рохо Гарсия (1986). Álgebra lineal (на испанском языке) (2-е изд.). Редакция AC. ISBN  84-7288-120-2.
2. Horn, R.A .; Джонсон, C.R. (2013). Матричный анализ (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. С. 263, 278. Г-Н  2978290.
3. Увидеть:
   • Autonne, L. (1915), "Sur les matrices hypohermitiennes et sur les matrices unitaires", Анна. Univ. Лион, 38: 1–77
   • Такаги, Т. (1925), "Об одной алгебраической проблеме, связанной с аналитической теоремой Каратеодори и Фейера и о родственной теореме Ландау", Jpn. J. Math., 1: 83–93, Дои:10.4099 / jjm1924.1.0_83
   • Сигель, Карл Людвиг (1943), «Симплектическая геометрия», Американский журнал математики, 65 (1): 1–86, Дои:10.2307/2371774, JSTOR  2371774, Лемма 1, стр.12
   • Хуа, Л.-К. (1944), «К теории автоморфных функций матричного переменного I - геометрический базис», Амер. J. Math., 66 (3): 470–488, Дои:10.2307/2371910, JSTOR  2371910
   • Шур И. (1945), «Ein Satz über quadratische formen mit komplexen koeffizienten», Амер. J. Math., 67 (4): 472–480, Дои:10.2307/2371974, JSTOR  2371974
   • Бенедетти, Р .; Крагнолини, П. (1984), "Об одновременной диагонализации одной эрмитовой и одной симметричной формы", Линейная алгебра Appl., 57: 215–226, Дои:10.1016/0024-3795(84)90189-7
4. Босх, А. Дж. (1986). «Факторизация квадратной матрицы на две симметричные матрицы». Американский математический ежемесячный журнал. 93 (6): 462–464. Дои:10.2307/2323471. JSTOR  2323471.
5. G.H. Голуб, К.Ф. van Loan. (1996). Матричные вычисления. Издательство Университета Джона Хопкинса, Балтимор, Лондон.

использованная литература

• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (2013), Матричный анализ (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-54823-6

внешние ссылки

• «Симметричная матрица», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Краткое введение и доказательство свойств собственных значений вещественной симметричной матрицы
• Как реализовать симметричную матрицу на C ++