Матрица перехода состояний - State-transition matrix

В теория управления, то матрица переходов между состояниями - матрица, произведение которой на вектор состояния ${\displaystyle x}$ в начальное время ${\displaystyle t_{0}}$ дает ${\displaystyle x}$ позже ${\displaystyle t}$. Матрица переходов состояний может использоваться для получения общего решения линейных динамических систем.

Решения для линейных систем

Матрица переходов состояний используется для нахождения решения общей представление в пространстве состояний из линейная система в следующей форме

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t),\;\mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}}$,

куда ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ состояния системы, ${\displaystyle \mathbf {u} (t)}$ входной сигнал, ${\displaystyle \mathbf {A} (t)}$ и ${\displaystyle \mathbf {B} (t)}$ находятся матричные функции, и ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ начальное условие при ${\displaystyle t_{0}}$. Использование матрицы перехода состояний ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )}$, решение дается формулой:^[1][2]

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {x} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {B} (\tau )\mathbf {u} (\tau )d\tau }$

Первый член известен как реакция с нулевым входом а второй член известен как нулевой ответ.

Серия Пеано – Бейкера

Наиболее общая матрица перехода дается рядом Пеано – Бейкера

${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {I} +\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\int _{\tau }^{\sigma _{2}}\mathbf {A} (\sigma _{3})\,d\sigma _{3}\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+...}$

куда ${\displaystyle \mathbf {I} }$ это единичная матрица. Эта матрица сходится равномерно и абсолютно к существующему и единственному решению.^[2]

Другие свойства

Матрица перехода состояний ${\displaystyle \mathbf {\Phi } }$ удовлетворяет следующим отношениям:

1. Он непрерывен и имеет непрерывные производные.

2, это никогда не бывает единичным; по факту ${\displaystyle \mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )=\mathbf {\Phi } (\tau ,t)}$ и ${\displaystyle \mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )\mathbf {\Phi } (t,\tau )=I}$, куда ${\displaystyle I}$ - единичная матрица.

3. ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t)=I}$ для всех ${\displaystyle t}$ .^[3]

4. ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t_{2},t_{1})\mathbf {\Phi } (t_{1},t_{0})=\mathbf {\Phi } (t_{2},t_{0})}$ для всех ${\displaystyle t_{0}\leq t_{1}\leq t_{2}}$.

5. Он удовлетворяет дифференциальному уравнению ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}{\partial t}}=\mathbf {A} (t)\mathbf {\Phi } (t,t_{0})}$ с начальными условиями ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t_{0},t_{0})=I}$.

6. Матрица переходов между состояниями ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )}$, данный

${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )\equiv \mathbf {U} (t)\mathbf {U} ^{-1}(\tau )}$

где ${\displaystyle n\times n}$ матрица ${\displaystyle \mathbf {U} (t)}$ это матрица фундаментальных решений это удовлетворяет

${\displaystyle {\dot {\mathbf {U} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {U} (t)}$ с начальным условием ${\displaystyle \mathbf {U} (t_{0})=I}$.

7. Учитывая состояние ${\displaystyle \mathbf {x} (\tau )}$ в любое время ${\displaystyle \tau }$, состояние в любое другое время ${\displaystyle t}$ задается отображением

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {x} (\tau )}$

Оценка матрицы переходов состояний

в неизменный во времени случае, мы можем определить ${\displaystyle \mathbf {\Phi } }$, с использованием матричная экспонента, так как ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t_{0})=e^{\mathbf {A} (t-t_{0})}}$.

в временной вариант случае матрица перехода между состояниями ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}$ можно оценить из решений дифференциального уравнения ${\displaystyle {\dot {\mathbf {u} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {u} (t)}$ с начальными условиями ${\displaystyle \mathbf {u} (t_{0})}$ данный ${\displaystyle [1,\ 0,\ \ldots ,\ 0]^{T}}$, ${\displaystyle [0,\ 1,\ \ldots ,\ 0]^{T}}$, ..., ${\displaystyle [0,\ 0,\ \ldots ,\ 1]^{T}}$. Соответствующие решения обеспечивают ${\displaystyle n}$ столбцы матрицы ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}$. Теперь из свойства 4, ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {\Phi } (\tau ,t_{0})^{-1}}$ для всех ${\displaystyle t_{0}\leq \tau \leq t}$. Матрица перехода между состояниями должна быть определена до того, как можно будет продолжить анализ нестационарного решения.

Смотрите также

• Расширение Магнуса
• Формула Лиувилля

Рекомендации

1. Бааке, Майкл; Шлейгель, Ульрике (2011). «Серия Пеано Бейкера». Труды Математического института им. В. А. Стеклова.. 275: 155–159.
2. Ру, Уилсон (1996). Теория линейных систем. Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN  0-13-441205-2.
3. Брокетт, Роджер В. (1970). Конечномерные линейные системы. Джон Вили и сыновья. ISBN  978-0-471-10585-5.

дальнейшее чтение

• Baake, M .; Шлегель, У. (2011). «Серия Пеано Бейкера». Труды Математического института им. В. А. Стеклова.. 275: 155–159. Дои:10.1134 / S0081543811080098. S2CID  119133539.
• Brogan, W.L. (1991). Современная теория управления. Прентис Холл. ISBN  0-13-589763-7.