Дефектная матрица - Defective matrix

В линейная алгебра, а дефектная матрица это квадратная матрица что не имеет полного основа из собственные векторы, и поэтому не диагонализуемый. В частности, п × п матрица неисправна тогда и только тогда, когда в ней нет п линейно независимый собственные векторы.^[1] Полный базис образуется добавлением собственных векторов к обобщенные собственные векторы, которые необходимы для решения неисправных систем обыкновенные дифференциальные уравнения и другие проблемы.

An п × п дефектная матрица всегда имеет меньше чем п отчетливый собственные значения, так как разные собственные значения всегда имеют линейно независимые собственные векторы. В частности, дефектная матрица имеет одно или несколько собственных значений λ с алгебраическая кратность м > 1 (т. Е. Являются кратными корнями характеристический многочлен ), но меньше чем м линейно независимые собственные векторы, связанные с λ. Если алгебраическая кратность λ превышает его геометрическая кратность (то есть количество линейно независимых собственных векторов, связанных с λ), тогда λ считается дефектное собственное значение.^[1] Однако каждое собственное значение с алгебраической кратностью м всегда есть м линейно независимые обобщенные собственные векторы.

А Эрмитова матрица (или частный случай реального симметричная матрица ) или унитарная матрица никогда не бывает бракованным; в более общем плане нормальная матрица (который включает эрмитский и унитарный как частные случаи) никогда не бывает дефектным.

Иорданский блок

Любые нетривиальные Иорданский блок размером 2 × 2 или больше (то есть не полностью диагональный) неисправен. (Диагональная матрица является частным случаем жордановой нормальной формы и не является дефектной.) Например, жорданова клетка размера n × n,

${displaystyle J={egin{bmatrix}lambda &1&;&;;&lambda &ddots &;;&;&ddots &1;&;&;&lambda end{bmatrix}},}$

имеет собственное значение, λ, с алгебраической кратностью n, но только с одним отличным собственным вектором,

${displaystyle v={egin{bmatrix}1�vdots �end{bmatrix}}.}$

Фактически любая дефектная матрица имеет нетривиальную Нормальная форма Джордана, что максимально близко к диагонализация такой матрицы.

Пример

Простой пример неисправной матрицы:

${displaystyle {egin{bmatrix}3&1�&3end{bmatrix}}}$

который имеет двойной собственное значение из 3, но только один отдельный собственный вектор

${displaystyle {egin{bmatrix}1�end{bmatrix}}}$

(и его постоянные кратные).

Смотрите также

• Нормальная форма Джордана

Примечания

1. Голуб и Ван Лоан (1996), п. 316)

Рекомендации

• Golub, Gene H .; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996), Матричные вычисления (3-е изд.), Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса, ISBN  978-0-8018-5414-9
• Стрэнг, Гилберт (1988). Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.). Сан-Диего: Харкорт. ISBN  978-970-686-609-7.