Центрирующая матрица - Centering matrix

В математика и многомерная статистика, то центрирующая матрица^[1] это симметричный и идемпотентная матрица, который при умножении на вектор дает тот же эффект, что и вычитание иметь в виду компонентов вектора из каждого компонента этого вектора.

Определение

В центрирующая матрица размера п определяется как п-к-п матрица

${displaystyle C_{n}=I_{n}-{ frac {1}{n}}mathbb {O} }$

куда ${displaystyle I_{n},}$ это единичная матрица размера п и ${displaystyle mathbb {O} }$ является п-к-п матрица всех единиц. Это также можно записать как:

${displaystyle C_{n}=I_{n}-{ frac {1}{n}}mathbf {1} mathbf {1} ^{ ext{T}}}$

куда ${displaystyle mathbf {1} }$ вектор-столбец п те и где ${displaystyle {}^{ ext{T}}}$ обозначает матрица транспонировать.

Например

${displaystyle C_{1}={egin{bmatrix}0end{bmatrix}}}$,

${displaystyle C_{2}=left[{egin{array}{rrr}1&0�&1end{array}}ight]-{frac {1}{2}}left[{egin{array}{rrr}1&11&1end{array}}ight]=left[{egin{array}{rrr}{frac {1}{2}}&-{frac {1}{2}}-{frac {1}{2}}&{frac {1}{2}}end{array}}ight]}$ ,

${displaystyle C_{3}=left[{egin{array}{rrr}1&0&0�&1&0�&0&1end{array}}ight]-{frac {1}{3}}left[{egin{array}{rrr}1&1&11&1&11&1&1end{array}}ight]=left[{egin{array}{rrr}{frac {2}{3}}&-{frac {1}{3}}&-{frac {1}{3}}-{frac {1}{3}}&{frac {2}{3}}&-{frac {1}{3}}-{frac {1}{3}}&-{frac {1}{3}}&{frac {2}{3}}end{array}}ight]}$

Характеристики

Учитывая вектор-столбец, ${displaystyle mathbf {v} ,}$ размера п, то центрирующее свойство из ${displaystyle C_{n},}$ можно выразить как

${displaystyle C_{n},mathbf {v} =mathbf {v} -({ frac {1}{n}}mathbf {1} 'mathbf {v} )mathbf {1} }$

куда ${displaystyle { frac {1}{n}}mathbf {1} 'mathbf {v} }$ среднее значение компонентов ${displaystyle mathbf {v} ,}$.

${displaystyle C_{n},}$ симметричен положительный полуопределенный.

${displaystyle C_{n},}$ является идемпотент, так что ${displaystyle C_{n}^{k}=C_{n}}$, за ${displaystyle k=1,2,ldots }$. После удаления среднего оно становится нулевым, и его повторное удаление не имеет никакого эффекта.

${displaystyle C_{n},}$ является единственное число. Эффекты от применения трансформации ${displaystyle C_{n},mathbf {v} }$ не может быть отменен.

${displaystyle C_{n},}$ имеет собственное значение 1 кратности п - 1 и собственное значение 0 кратности 1.

${displaystyle C_{n},}$ имеет пустое пространство размерности 1 вдоль вектора ${displaystyle mathbf {1} }$.

${displaystyle C_{n},}$ является ортогональная проекционная матрица. То есть, ${displaystyle C_{n}mathbf {v} }$ это проекция ${displaystyle mathbf {v} ,}$ на (п - 1) -мерный подпространство который ортогонален нулевому пространству ${displaystyle mathbf {1} }$. (Это подпространство всех п-векторы, сумма компонентов которых равна нулю.)

Заявление

Хотя умножение на матрицу центрирования не является эффективным с вычислительной точки зрения способом удаления среднего из вектора, оно формирует аналитический инструмент, который удобно и лаконично выражает удаление среднего. Его можно использовать не только для удаления среднего значения одного вектора, но и нескольких векторов, хранящихся в строках или столбцах матрицы. м-к-п матрица ${displaystyle X,}$, умножение ${displaystyle C_{m},X}$ удаляет средства из каждого п столбцы, а ${displaystyle X,C_{n}}$ удаляет средства из каждого м рядов. п-к-п матрица ${displaystyle X,}$, умножение ${displaystyle C_{n},X,C_{n}}$ создает дважды центрированную матрицу, в которой средние по строкам и столбцам равны нулю. Следовательно: ${displaystyle X'=C_{n},X,C_{n}=X-{ frac {1}{n}}mathbb {O} ,X-X,{ frac {1}{n}}mathbb {O} +{ frac {1}{n}}mathbb {O} ,X,{ frac {1}{n}}mathbb {O} }$.

Центрирующая матрица дает, в частности, лаконичный способ выразить матрица рассеяния, ${displaystyle S=(X-mu mathbf {1} ')(X-mu mathbf {1} ')'}$ образца данных ${displaystyle X,}$, куда ${displaystyle mu ={ frac {1}{n}}Xmathbf {1} }$ это выборочное среднее. Матрица центрирования позволяет более компактно выразить матрицу рассеяния как

${displaystyle S=X,C_{n}(X,C_{n})'=X,C_{n},C_{n},X,'=X,C_{n},X,'.}$

${displaystyle C_{n}}$ это ковариационная матрица из полиномиальное распределение, в частном случае, когда параметры этого распределения равны ${displaystyle k=n}$, и ${displaystyle p_{1}=p_{2}=cdots =p_{n}={frac {1}{n}}}$.

Рекомендации

1. Джон И. Марден, Анализ и моделирование ранговых данных, Чепмен и Холл, 1995, ISBN  0-412-99521-2, стр.59.