Матрица Сильвестра - Sylvester matrix

В математика, а Матрица Сильвестра это матрица связаны с двумя одномерные многочлены с коэффициентами в поле или коммутативное кольцо. Элементы матрицы Сильвестра двух многочленов являются коэффициентами многочленов. В детерминант матрицы Сильвестра двух многочленов является их результирующий, который равен нулю, когда два многочлена имеют общий корень (в случае коэффициентов в поле) или непостоянный общий делитель (в случае коэффициентов в область целостности ).

Матрицы Сильвестра названы в честь Джеймс Джозеф Сильвестр.

Определение

Формально пусть п и q - два ненулевых многочлена степени м ип. Таким образом:

${\displaystyle p(z)=p_{0}+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots +p_{m}z^{m},\;q(z)=q_{0}+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots +q_{n}z^{n}.}$

В Матрица Сильвестра связано с п и q тогда ${\displaystyle (n+m)\times (n+m)}$ матрица строится следующим образом:

• если п > 0, первая строка:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.}$

• вторая строка - первая, сдвинутая на один столбец вправо; первый элемент строки равен нулю.
• следующее п - 2 строки получаются таким же образом, каждый раз смещая коэффициенты на один столбец вправо и устанавливая остальные записи в строке равными 0.
• если м > 0 (п + 1) -я строка:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}q_{n}&q_{n-1}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.}$

• следующие строки получаются так же, как и раньше.

Таким образом, если м = 4 и п = 3 матрица:

${\displaystyle S_{p,q}={\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\end{pmatrix}}.}$

Если одна из степеней равна нулю (то есть соответствующий многочлен является ненулевой константой), то есть нулевые строки, состоящие из коэффициентов другого многочлена, и матрица Сильвестра является диагональная матрица размерности степень непостоянного многочлена, со всеми диагональными коэффициентами, равными постоянному многочлену. Если м = п = 0, то матрица Сильвестра является пустая матрица с нулевыми строками и нулевыми столбцами.

Вариант

Вышеупомянутая матрица Сильвестра появляется в статье Сильвестра 1840 года. В статье 1853 года Сильвестр ввел следующую матрицу, которая с точностью до перестановки строк представляет собой матрицу Сильвестра п и q, которые считаются имеющими степень max (м, п).^[1]Таким образом, это ${\displaystyle 2\,\max(n,m)\times 2\,\max(n,m)}$-матрица, содержащая ${\displaystyle \max(n,m)}$ пары рядов. Предполагая ${\displaystyle m>n,}$ получается так:

• первая пара:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{n}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&q_{n}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.}$

• вторая пара - первая пара, сдвинутая на один столбец вправо; первые элементы в двух строках равны нулю.
• остальные ${\displaystyle max(n,m)-2}$ пары строк получаются так же, как и выше.

Таким образом, если м = 4 и п = 3 матрица:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\0&0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\\\end{pmatrix}}.}$

Определитель матрицы 1853 с точностью до знака является произведением определителя матрицы Сильвестра (которая называется результирующий из п и q) к ${\displaystyle p_{m}^{m-n}}$ (все еще предполагая ${\displaystyle m\geq n}$).

Приложения

Эти матрицы используются в коммутативная алгебра, например чтобы проверить, есть ли у двух многочленов (непостоянный) общий множитель. В таком случае детерминант связанных Матрица Сильвестра (который называется результирующий двух полиномов) равен нулю. Обратное также верно.

Решения одновременных линейных уравнений

${\displaystyle {S_{p,q}}^{\mathrm {T} }\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$

куда ${\displaystyle x}$ вектор размера ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle y}$ имеет размер ${\displaystyle m}$, составляют векторы коэффициентов тех и только тех пар ${\displaystyle x,y}$ полиномов (степеней ${\displaystyle n-1}$ и ${\displaystyle m-1}$соответственно), которые выполняют

${\displaystyle x(z)\cdot p(z)+y(z)\cdot q(z)=0,}$

где используется полиномиальное умножение и сложение. ядро транспонированной матрицы Сильвестра дает все решения Уравнение Безу куда ${\displaystyle \deg x<\deg q}$ и ${\displaystyle \deg y<\deg p}$.

Следовательно, классифицировать матрицы Сильвестра определяет степень наибольший общий делитель из п и q:

${\displaystyle \deg(\gcd(p,q))=m+n-\operatorname {rank} S_{p,q}}$

Более того, коэффициенты этого наибольшего общего делителя могут быть выражены как детерминанты подматриц матрицы Сильвестра (см. Субрезультант ).

Смотрите также

• Матрица передачи
• Матрица Безу

Рекомендации

1. Акритас, А.Г., Малашонок, Г.И., Вигклас, П.С.:Последовательности Штурма и модифицированные подрезультатные полиномиальные оставшиеся последовательности. Serdica Journal of Computing, Vol. 8, No 1, 29--46, 2014 г.

• Вайсштейн, Эрик В. "Матрица Сильвестра". MathWorld.