Матрица Картана - Cartan matrix

В математика, период, термин Матрица Картана имеет три значения. Все они названы в честь французов. математик Эли Картан. Забавно, что матрицы Картана в контексте Алгебры Ли были впервые исследованы Вильгельм Киллинг, тогда как Форма убийства связано с Картаном.^{[нужна цитата ]}

Алгебры Ли

А обобщенная матрица Картана это квадратная матрица ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ с интеграл такие записи, что

1. Для диагональных входов ${\displaystyle a_{ii}=2}$.
2. Для недиагональных записей ${\displaystyle a_{ij}\leq 0}$.
3. ${\displaystyle a_{ij}=0}$ если и только если ${\displaystyle a_{ji}=0}$
4. ${\displaystyle A}$ можно записать как ${\displaystyle DS}$, куда ${\displaystyle D}$ это диагональная матрица, и ${\displaystyle S}$ это симметричная матрица.

Например, матрица Картана для грамм₂ можно разложить как таковые:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-3\\-1&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&-1\\-1&2\end{bmatrix}}.}$

Третье условие не является независимым, но на самом деле является следствием первого и четвертого условий.

Мы всегда можем выбрать D с положительными диагональными элементами. В том случае, если S в приведенном выше разложении положительно определенный, тогда А считается Матрица Картана.

Матрица Картана простого Алгебра Ли матрица, элементами которой являются скалярные произведения

${\displaystyle a_{ji}=2{(r_{i},r_{j}) \over (r_{j},r_{j})}}$ ^[1]

(иногда называют Целые числа Картана) куда р_я являются простые корни алгебры. Записи являются неотъемлемой частью одного из свойств корни. Первое условие следует из определения, второе - из того, что при ${\displaystyle i\neq j,r_{j}-{2(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}r_{i}}$ это корень, который является линейная комбинация простых корней р_я и р_j с положительным коэффициентом при р_j а значит, коэффициент при р_я должно быть неотрицательным. Третий верен, потому что ортогональность - это симметричное отношение. И на последок пусть ${\displaystyle D_{ij}={\delta _{ij} \over (r_{i},r_{i})}}$ и ${\displaystyle S_{ij}=2(r_{i},r_{j})}$. Поскольку простые корни охватывают Евклидово пространство, S положительно определена.

Наоборот, по обобщенной матрице Картана можно восстановить соответствующую ей алгебру Ли. (Видеть Алгебра Каца – Муди Больше подробностей).

Классификация

An ${\displaystyle n\times n}$ матрица А является разложимый если существует непустое собственное подмножество ${\displaystyle I\subset \{1,\dots ,n\}}$ такой, что ${\displaystyle a_{ij}=0}$ в любое время ${\displaystyle i\in I}$ и ${\displaystyle j\notin I}$. А является неразложимый если он не разложим.

Позволять А - неразложимая обобщенная матрица Картана. Мы говорим что А имеет конечный тип если все это основные несовершеннолетние положительно, что А имеет аффинный тип если его собственные основные несовершеннолетние положительны и А имеет детерминант 0, и что А имеет неопределенный тип иначе.

Неразложимые матрицы конечного типа классифицируют конечномерные простые алгебры Ли (типов ${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$), а неразложимые матрицы аффинного типа классифицируют аффинные алгебры Ли (скажем, над некоторым алгебраически замкнутым полем характеристики 0).

Определители матриц Картана простых алгебр Ли

Определители матриц Картана простых алгебр Ли, приведенные в следующей таблице (Наряду с A₁= B₁= C₁, B₂= C₂, D₃= А₃, D₂= А₁А₁, E₅= D₅, E₄= А₄, а E₃= А₂А₁)^[2]

Ап	Bп	Cп	Dп п ≥ 3	Eп 3 ≤ п ≤ 8	F4	грамм2
п + 1	2	2	4	9 − п	1	1

Еще одним свойством этого определителя является то, что он равен индексу связанной с ним корневой системы, т.е. равен ${\displaystyle |P/Q|}$ куда P, Q обозначим решетку весов и решетку корней соответственно.

Представления конечномерных алгебр

В модульная теория представлений и вообще в теории представлений конечномерных ассоциативные алгебры А которые нет полупростой, а Матрица Картана определяется рассмотрением (конечного) множества основные неразложимые модули и письмо серия композиций для них с точки зрения неприводимые модули, давая матрицу целых чисел, подсчитывающую количество вхождений неприводимого модуля.

Матрицы Картана в M-теории

В М-теория, можно рассматривать геометрию с двухцикловый которые пересекаются друг с другом в конечном числе точек, в пределе, когда площадь двух циклов обращается в ноль. На этом пределе появляется группа локальной симметрии. Матрица номера перекрестков базиса двух циклов предполагается матрица Картана Алгебра Ли этой локальной группы симметрии.^[3]

Это можно объяснить следующим образом. В М-теории есть солитоны которые представляют собой двумерные поверхности, называемые мембраны или же 2-браны. 2-брана имеет напряжение и, таким образом, имеет тенденцию к сжатию, но он может оборачиваться за два цикла, что предотвращает его сжатие до нуля.

Один может компактифицировать одно измерение, которое является общим для всех двух циклов и их точек пересечения, а затем принять предел, при котором это измерение сжимается до нуля, таким образом получая уменьшение размеров по этому измерению. Тогда возникает тип IIA. теория струн как предел М-теории, с 2-бранами, охватывающими два цикла, теперь описываемых открытой струной, натянутой между D-браны. Существует U (1) локальная группа симметрии для каждой D-браны, напоминающая степень свободы перемещать его без изменения его ориентации. Предел, при котором два цикла имеют нулевую площадь, является пределом, когда эти D-браны находятся друг над другом, так что получается улучшенная локальная группа симметрии.

Теперь открытая струна, натянутая между двумя D-бранами, представляет собой генератор алгебры Ли, а коммутатор из двух таких образующих является третий, представленный открытой струной, которую получают путем склеивания краев двух открытых струн. Последнее соотношение между различными открытыми струнами зависит от того, каким образом 2-браны могут пересекаться в исходной M-теории, то есть от числа пересечений двух циклов. Таким образом, алгебра Ли полностью зависит от этих чисел пересечений. Точная связь с матрицей Картана объясняется тем, что последняя описывает коммутаторы матрицы простые корни, которые связаны с двумя циклами в выбранном базисе.

Генераторы в Подалгебра Картана представлены открытыми струнами, которые натянуты между D-браной и самой собой.

Смотрите также

• Диаграмма Дынкина
• Исключительная йорданова алгебра
• Фундаментальное представление
• Форма убийства
• Простая группа Ли

Примечания

1. Джорджи, Ховард (1999-10-22). Алгебры Ли в физике элементарных частиц (2-е изд.). Westview Press. п. 115. ISBN  0-7382-0233-9.
2. Определители Картана-Грама для простых групп Ли Альфред К. Т. Ву, J. Math. Phys. Vol. 23, No. 11, ноябрь 1982 г.
3. Сен, Ашок (1997). «Заметка о расширенных калибровочных симметриях в M- и теории струн». Журнал физики высоких энергий. 1997 (9): 001. arXiv:hep-th / 9707123. Дои:10.1088/1126-6708/1997/09/001.

Рекомендации

• Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений: первый курс. Тексты для выпускников по математике. 129. Springer-Verlag. п. 334. ISBN  0-387-97495-4.
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений. Тексты для выпускников по математике. 9. Springer-Verlag. С. 55–56. Дои:10.1007/978-1-4612-6398-2. ISBN  0-387-90052-7.
• Кац, Виктор Г. (1990). Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-46693-6..

внешняя ссылка

• «Матрица Картана», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Матрица Картана». MathWorld.