Матричное представление конических сечений - Matrix representation of conic sections

В математика, то матричное представление конических сечений позволяет инструменты линейная алгебра для использования при изучении конические секции. Он предоставляет простые способы расчета конического сечения ось, вершины, касательные и полюс и полярный Связь между точками и линиями плоскости определяется конусом. Методика не требует приведения уравнения конического сечения к стандартной форме, что упрощает исследование тех конических сечений, оси которых не параллельны конусу. система координат.

Конические сечения (в том числе вырожденные) - это множества точек, координаты которых удовлетворяют второй степени многочлен уравнение,

{ displaystyle Q (x, y) = Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0.}

Автор злоупотребление обозначениями, это коническое сечение также будем называть $Q$ когда не может возникнуть путаницы.

Это уравнение можно записать в виде матрица обозначение, в терминах симметричная матрица чтобы упростить некоторые последующие формулы, как^[1]

{ displaystyle left ({ begin {matrix} x & y end {matrix}} right) left ({ begin {matrix} A & B / 2 B / 2 & C end {matrix}} right) left ({ begin {matrix} x y end {matrix}} right) + left ({ begin {matrix} D&E end {matrix}} right) left ({ begin {matrix} x y end {matrix}} right) + F = 0.}

Сумма первых трех членов этого уравнения, а именно

{ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} = left ({ begin {matrix} x & y end {matrix}} right) left ({ begin {matrix} A & B / 2 B / 2 и C end {matrix}} right) left ({ begin {matrix} x y end {matrix}} right),}

это квадратичная форма связанный с уравнением, а матрица

{ displaystyle A_ {33} = left ({ begin {matrix} A & B / 2 B / 2 & C end {matrix}} right)}

называется матрица квадратичной формы. В след и детерминант из ${ displaystyle A_ {33}}$ оба инвариантны относительно вращения осей и перемещения плоскости (движение начала координат).^[2]^[3]

В квадратное уровненеие также можно записать как

{ Displaystyle mathbf {x} ^ {T} A_ {Q} mathbf {x} = 0,}

где ${ displaystyle mathbf {x}}$ это однородный вектор координат в трех переменных, ограниченных так, чтобы последняя переменная была 1, т.е.

{ displaystyle { begin {pmatrix} x y 1 end {pmatrix}}}

и где ${ displaystyle A_ {Q}}$ матрица

{ displaystyle A_ {Q} = { begin {pmatrix} A & B / 2 & D / 2 B / 2 & C & E / 2 D / 2 & E / 2 & F end {pmatrix}}.}

Матрица ${ displaystyle A_ {Q}}$ называется матрица квадратного уравнения.^[4] Как это ${ displaystyle A_ {33}}$ , его определитель инвариантен как относительно вращения, так и относительно сдвига.^[3]

Верхняя левая подматрица 2 × 2 (матрица порядка 2) матрицы $А Q$ , полученный удалением третьей (последней) строки и третьего (последнего) столбца из $А Q$ - матрица квадратичной формы. Приведенные выше обозначения $А 33$ используется в этой статье, чтобы подчеркнуть эту взаимосвязь.

Классификация

Собственный (невырожденный) и вырожденная коническая разделы можно выделить^[5]^[6] на основе детерминант из $А Q$ .

Если ${ displaystyle det A_ {Q} = 0}$ , коника вырождена.

Если ${ displaystyle det A_ {Q} neq 0}$ так что $Q$ не является вырожденным, мы можем увидеть, что это за коническое сечение, вычислив незначительный, ${ displaystyle det A_ {33}}$ :

$Q$ это гипербола если и только если ${ displaystyle det A_ {33} <0}$ ,
$Q$ это парабола если и только если ${ displaystyle det A_ {33} = 0}$ , и
$Q$ является эллипс если и только если ${ displaystyle det A_ {33}> 0}$ .

В случае эллипса мы можем выделить частный случай круга, сравнив два последних диагональных элемента, соответствующих коэффициентам $Икс 2$ и $у 2$ :

Если $А = C$ и $B = 0$ , тогда $Q$ это круг.

Более того, в случае невырожденного эллипса (с ${ displaystyle det A_ {33}> 0}$ и ${ displaystyle det A_ {Q} neq 0}$ ) имеем действительный эллипс, если ${ displaystyle (A + C) det A_ {Q} <0}$ но воображаемый эллипс, если ${ displaystyle (A + C) det A_ {Q}> 0}$ . Примером последнего является ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + 10 = 0}$ , который не имеет вещественных решений.

Если коническое сечение выродиться ( ${ displaystyle det A_ {Q} = 0}$ ), ${ displaystyle det A_ {33}}$ до сих пор позволяет различать его форму:

Две пересекающиеся прямые (гипербола выродилась в две свои асимптоты) тогда и только тогда, когда ${ displaystyle det A_ {33} <0}$ .
Две параллельные прямые (вырожденная парабола) тогда и только тогда, когда ${ displaystyle det A_ {33} = 0}$ . Эти линии различны и реальны, если ${ displaystyle D ^ {2} + E ^ {2}> 4 (A + C) F}$ , совпадают, если ${ Displaystyle D ^ {2} + E ^ {2} = 4 (A + C) F}$ , и не существует в реальной плоскости, если ${ Displaystyle D ^ {2} + E ^ {2} <4 (A + C) F}$ .
Единственная точка (вырожденный эллипс) тогда и только тогда, когда ${ displaystyle det A_ {33}> 0}$ .

Случай совпадающих линий имеет место тогда и только тогда, когда ранг матрицы 3 × 3 ${ displaystyle A_ {Q}}$ равно 1; во всех остальных вырожденных случаях его ранг равен 2.^[2]

Центральные коники

Когда ${ displaystyle det A_ {33} neq 0}$ а геометрический центр конического сечения существует, и такие конические сечения (эллипсы и гиперболы) называются центральные коники.^[7]

Центр

Центр коники, если он существует, - это точка, которая делит пополам все хорды коники, проходящие через нее. Это свойство можно использовать для вычисления координат центра, который может быть показан как точка, где градиент квадратичной функции $Q$ исчезает, то есть^[8]

{ displaystyle nabla Q = left [{ frac { partial Q} { partial x}}, { frac { partial Q} { partial y}} right] = [0,0].}

Это дает центр, как показано ниже.

Альтернативный подход, использующий матричную форму квадратного уравнения, основан на том факте, что, когда центр является началом системы координат, в уравнении нет линейных членов. Любой перевод в начало координат $(Икс 0, у 0)$ , с помощью $Икс *$ = $Икс$ – $Икс 0$ , $у *$ = $у$ – $у 0$ дает начало

{ displaystyle left ({ begin {matrix} x ^ {*} + x_ {0} & y ^ {*} + y_ {0} end {matrix}} right) left ({ begin {matrix} A & B / 2 B / 2 & C end {matrix}} right) left ({ begin {matrix} x ^ {*} + x_ {0} y ^ {*} + y_ {0} end {matrix}} right) + left ({ begin {matrix} D&E end {matrix}} right) left ({ begin {matrix} x ^ {*} + x_ {0} y ^ {*} + y_ {0} end {matrix}} right) + F = 0.}

Условие для $(Икс 0, у 0)$ быть центром коники $(Икс c, у c)$ состоит в том, что коэффициенты линейного $Икс*$ и $у *$ члены, когда это уравнение перемножается, равны нулю. Это условие дает координаты центра:

{ displaystyle { begin {pmatrix} x_ {c} y_ {c} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} A & B / 2 B / 2 & C end {pmatrix}} ^ {- 1 } { begin {pmatrix} -D / 2 - E / 2 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} (BE-2CD) / (4AC-B ^ {2}) (DB- 2AE) / (4AC-B ^ {2}) end {pmatrix}}.}

Этот расчет также можно выполнить, взяв первые две строки связанной матрицы. $А Q$ , умножая каждый на $(Икс, у, 1) ⊤$ и установив оба внутренних продукта равными 0, получив следующую систему:

{ Displaystyle Ax + (B / 2) y + D / 2 = 0,}

{ displaystyle (B / 2) x + Cy + E / 2 = 0.}

Это дает указанную выше центральную точку.

В случае параболы, то есть когда $4 AC - B 2 = 0$ , центра нет, так как указанные выше знаменатели обращаются в ноль (или, проективно интерпретируемый, центр находится на линия на бесконечности.)

Центрированное матричное уравнение

Центральная (непараболическая) коника ${ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0}$ можно переписать в виде центрированной матрицы как

{ displaystyle left ({ begin {matrix} x-x_ {c} & y-y_ {c} end {matrix}} right) left ({ begin {matrix} A & B / 2 B / 2 & C end {matrix}} right) left ({ begin {matrix} x-x_ {c} y-y_ {c} end {matrix}} right) = K,}

где

{ Displaystyle К = { гидроразрыва {- det (A_ {Q})} {AC- (B / 2) ^ {2}}} = { frac {- det (A_ {Q})} { det (A_ {33})}}.}

Тогда для случая эллипса $AC > (B /2) 2$ , эллипс действительный, если знак $K$ равно знаку $(А + C)$ (то есть знак каждого из $А$ и $C$ ), мнимые, если они имеют противоположные знаки, и вырожденный точечный эллипс, если $K = 0$ . В случае гиперболы $AC < (B /2) 2$ гипербола вырождена тогда и только тогда, когда $K = 0$ .

Стандартная форма центральной коники

В стандартная форма уравнения центрального конического сечения получается, когда коническое сечение перемещается и поворачивается так, чтобы его центр находился в центре системы координат, а его оси совпадали с осями координат. Это эквивалентно тому, что центр системы координат перемещается, а оси координат вращаются, чтобы удовлетворить этим свойствам. На схеме оригинал $ху$ -система координат с началом $О$ перемещен в $x'y '$ -система координат с началом координат $О '$ .

Перевод и поворот координат

Перевод по вектору ${ displaystyle { vec {t}} = { begin {pmatrix} x_ {c} y_ {c} end {pmatrix}}.}$

Вращение на угол $α$ можно осуществить, диагонализуя матрицу $А 33$ Таким образом, если ${ displaystyle lambda _ {1}}$ и ${ displaystyle lambda _ {2}}$ являются собственные значения матрицы А₃₃, центрированное уравнение можно переписать в новых переменных $Икс'$ и $y '$ так как^[9]

{ displaystyle lambda _ {1} x '^ {2} + lambda _ {2} y' ^ {2} = - { frac { det A_ {Q}} { det A_ {33}}} .}

Деление на ${ displaystyle K = - { frac { det A_ {Q}} { det A_ {33}}}}$ получаем стандартный канонический вид.

Например, для эллипса эта форма имеет вид

{ displaystyle { frac {{x '} ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {{y'} ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1.}

Отсюда получаем $а$ и $б$ , длины большой и малой полуосей в условных обозначениях.

Для центральных коник оба собственных значения отличны от нуля, и классификация конических сечений может быть получена путем их изучения.^[10]

Если $λ 1$ и $λ 2$ имеют тот же алгебраический знак, то $Q$ является реальным эллипсом, воображаемым эллипсом или реальной точкой, если $K$ имеет тот же знак, имеет противоположный знак или равно нулю соответственно.
Если $λ 1$ и $λ 2$ имеют противоположные алгебраические знаки, то $Q$ - гипербола или две пересекающиеся прямые в зависимости от того, $K$ ненулевой или нулевой соответственно.

Топоры

Посредством теорема о главной оси, два собственные векторы матрицы квадратичной формы центрального конического сечения (эллипса или гиперболы) равны перпендикуляр (ортогональный друг к другу), и каждый из них параллелен (в том же направлении, что и) либо большая или малая ось конической. Собственный вектор, имеющий наименьшее собственное значение (по модулю), соответствует большой оси.^[11]

В частности, если центральная коническая секция имеет центр $(Икс c, у c)$ и собственный вектор $А 33$ дан кем-то $v \to (v 1, v 2)$ тогда главная ось (большая или малая), соответствующая этому собственному вектору, имеет уравнение:

{ displaystyle { frac {x-x_ {c}} {v_ {1}}} = { frac {y-y_ {c}} {v_ {2}}}.}

Вершины

В вершины центральной коники можно определить путем вычисления пересечений коники и ее осей, другими словами, путем решения системы, состоящей из квадратного уравнения коники и линейного уравнения для попеременно одной или другой осей. Для каждой оси получается две вершины или нет, поскольку в случае гиперболы малая ось не пересекает гиперболу в точке с действительными координатами. Однако с более широкой точки зрения комплексная плоскость, малая ось гиперболы действительно пересекает гиперболу, но в точках с комплексными координатами.^[12]

Поляки и поляки

С помощью однородные координаты,^[13] точки^[14]

{ Displaystyle mathbf {p} = { begin {pmatrix} p_ {0} p_ {1} p_ {2} end {pmatrix}}}

и

{ Displaystyle mathbf {r} = { begin {pmatrix} r_ {0} r_ {1} r_ {2} end {pmatrix}}}

находятся сопрягать относительно коники $Q$ предоставлена

{ displaystyle mathbf {p} ^ {T} A_ {Q} mathbf {r} = 0.}

Сопряжение фиксированной точки $п$ либо образуют линию, либо состоят из всех точек плоскости коники. Когда конъюгаты $п$ образуют линию, линия называется полярный из $п$ и точка $п$ называется столб линии относительно коники. Эта связь между точками и линиями называется полярность.

Если коника невырожденная, сопряженные точки всегда образуют линию, а полярность, определяемая коникой, равна биекция между точками и прямыми расширенной плоскости, содержащей конику (т. е. плоскость вместе с точки и линия на бесконечности ).

Если точка $п$ лежит на конике $Q$ , полярная линия $п$ это касательная линия к $Q$ в $п$ .

Уравнение в однородных координатах полярной линии точки $п$ относительно невырожденной коники $Q$ дан кем-то

{ displaystyle mathbf {p} ^ {T} A_ {Q} { begin {pmatrix} x y z end {pmatrix}} = 0.}

Как только $п$ однозначно определяет свою полярную линию (относительно данной коники), поэтому каждая линия определяет уникальный полюс $п$ . Кроме того, точка $п$ на связи $L$ которая является полярной точкой $р$ , тогда и только тогда, когда полярность $п$ проходит через точку $р$ (La Hire теорема).^[15] Таким образом, это соотношение является выражением геометрического двойственность между точками и линиями на плоскости.

С этой полярностью напрямую связаны несколько знакомых понятий, касающихся конических сечений. В центр невырожденной коники можно определить как полюс бесконечно удаленной прямой. Парабола, касающаяся бесконечно удаленной линии, имела бы центр в точке на бесконечно удаленной прямой. Гиперболы пересекают бесконечно удаленную линию в двух различных точках, а полярные линии этих точек являются асимптотами гиперболы и касательными к гиперболе в этих бесконечно удаленных точках. Также полярная линия фокуса коники является соответствующей ей директрисой.^[16]

Касательные

Пусть линия $L$ быть полярной линией точки $п$ относительно невырожденной коники $Q$ . По теореме Ла Гира каждая прямая, проходящая через $п$ имеет свой полюс на $L$ . Если $L$ пересекает $Q$ в двух точках (максимально возможных), то поляры этих точек являются касательными линиями, проходящими через $п$ и такая точка называется внешний вид или внешний точка $Q$ . Если $L$ пересекает $Q$ только в одной точке, то это касательная линия и $п$ точка касания. Наконец, если $L$ не пересекается $Q$ тогда $п$ не имеет касательных, проходящих через него, и называется интерьер или внутренний точка.^[17]

Уравнение касательной (в однородных координатах) в точке $п$ на невырожденной конике $Q$ дан кем-то,

{ displaystyle mathbf {p} ^ {T} A_ {Q} { begin {pmatrix} x y z end {pmatrix}} = 0.}

Если $п$ является внешней точкой, сначала найдите уравнение ее полярности (уравнение выше), а затем пересечения этой прямой с коникой, скажем, в точках $s$ и $т$ . Поляры $s$ и $т$ будут касательными через $п$ .

Используя теорию полюсов и поляр, проблема нахождения четырех взаимных касательных двух коник сводится к нахождению пересечение двух коник.

Смотрите также

Примечания

^ Браннан, Эсплен и Грей 1999, п. 30
^ ^а ^б Петтофреццо 1978, п. 110
^ ^а ^б Испания 2007, стр. 59–62
^ Это также матрица квадратичной формы, но эта форма имеет три переменные и является ${ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dxz + Eyz + Fz ^ {2}}$ .
^ Лоуренс 1972, п. 63
^ Испания 2007, п. 70
^ Петтофреццо 1978, п. 105
^ Аюб 1993, п. 322
^ Аюб 1993, п. 324
^ Петтофреццо 1978, п. 108
^ Остерманн и Ваннер 2012, п. 311
^ Кендиг, Кит (2005), Коники, The Mathematical Association of America, стр. 89–102, ISBN 978-0-88385-335-1
^ Это позволяет алгебраически включить бесконечные точки и бесконечно удаленную прямую, которые необходимы для некоторых из следующих результатов
^ Этот раздел следует за Фишбэк, W.T. (1969), Проективная и евклидова геометрия (2-е изд.), Wiley, стр. 167–172.
^ Браннан, Эсплен и Грей 1999, п. 189
^ Акопян, А.В .; Заславский, А.А. (2007), Геометрия коник, Американское математическое общество, стр. 72, ISBN 978-0-8218-4323-9
^ В комплексной плоскости такая точка находится на двух сложных касательных, пересекающихся $Q$ в сложных точках.