Коразмерность - Codimension

В математика, коразмерность это основная геометрическая идея, которая применяется к подпространства в векторные пространства, к подмногообразия в коллекторы, и подходит подмножества из алгебраические многообразия.

За аффинный и проективные алгебраические многообразия коразмерность равна высота определяющих идеальный. По этой причине высоту идеала часто называют его коразмерностью.

Двойственная концепция относительный размер.

Определение

Коразмерность - это относительный концепция: определена только для одного объекта внутри еще один. Не существует «коразмерности векторного пространства (изолированно)», только коразмерность вектора субКосмос.

Если W это линейное подпространство из конечномерный векторное пространство V, то коразмерность из W в V разница между размерами:

{ displaystyle operatorname {codim} (W) = dim (V) - dim (W).}

Это дополнение к измерению W, в этом, с размером W, это складывается в размер окружающее пространство V:

{ displaystyle dim (W) + operatorname {codim} (W) = dim (V).}

Аналогично, если N является подмногообразием или подмногообразием в M, то коразмерность N в M является

{ displaystyle operatorname {codim} (N) = dim (M) - dim (N).}

Так же, как размерность подмногообразия - это размерность касательный пучок (количество измерений, которые вы можете переместить на подмногообразия) коразмерность - это размерность нормальный комплект (количество измерений, которые вы можете переместить выключенный подмногообразие).

В более общем смысле, если W это линейное подпространство (возможно, бесконечномерного) векторное пространство V то коразмерность W в V размерность (возможно, бесконечная) факторное пространство V/W, который более абстрактно известен как коядро включения. Для конечномерных векторных пространств это согласуется с предыдущим определением

{ displaystyle operatorname {codim} (W) = dim (V / W) = dim operatorname {coker} (W to V) = dim (V) - dim (W),}

и двойственен относительному измерению как размерность ядро.

Конечно-коразмерные подпространства бесконечномерных пространств часто полезны при изучении топологические векторные пространства.

Аддитивность коразмерности и подсчета размерностей

Основное свойство коразмерности заключается в ее отношении к пересечение: если W₁ имеет коразмерность k₁, и W₂ имеет коразмерность k₂, то если U является их пересечением с коразмерностью j у нас есть

Максимум (k₁, k₂) ≤ j ≤ k₁ + k₂.

Фактически j может принять любой целое число значение в этом диапазоне. Это заявление более наглядно, чем перевод, с точки зрения размеров, потому что RHS это просто сумма коразмерностей. Прописью

коразмерности (максимум) добавить.

Если подпространства или подмногообразия пересекаются поперечно (что происходит в целом ) коразмерности складываются точно.

Это заявление называется подсчет размеров, особенно в теория пересечений.

Двойное толкование

Что касается двойное пространство, совершенно очевидно, почему прибавляются размеры. Подпространства могут быть определены обращением в нуль некоторого числа линейные функционалы, который, если принять линейно независимый, их число - коразмерность. Таким образом, мы видим, что U определяется взятием союз наборов линейных функционалов, определяющих W_я. Этот союз может ввести некоторую степень линейная зависимость: возможные значения j выражают эту зависимость, причем сумма RHS соответствует случаю, когда зависимости нет. Это определение коразмерности в терминах числа функций, необходимых для вырезания подпространства, распространяется на ситуации, в которых как объемлющее пространство, так и подпространство бесконечномерны.

На другом языке, который является основным для любого вида теория пересечений, мы берем объединение некоторого количества ограничения. У нас есть два явления, на которые следует обратить внимание:

два набора ограничений не могут быть независимыми;
два набора ограничений могут быть несовместимы.

Первый из них часто выражается как принцип подсчета ограничения: если у нас есть номер N из параметры для корректировки (т.е. у нас есть N степени свободы ), а ограничение означает, что мы должны `` потреблять '' параметр, чтобы удовлетворить его, тогда коразмерность набор решений является в большинстве количество ограничений. Мы не ожидаем, что сможем найти решение, если предсказанная коразмерность, то есть количество независимый ограничения, превышает N (в случае линейной алгебры всегда есть банальный, нулевой вектор решение, которое поэтому не учитывается).

Второй вопрос геометрии, на модели параллельные линии; это то, что можно обсудить линейные задачи методами линейной алгебры, а для нелинейных задач в проективное пространство, над комплексное число поле.

В геометрической топологии

Коразмерность также имеет ясное значение в геометрическая топология: на многообразии коразмерность 1 - это размерность топологической несвязности подмногообразием, а коразмерность 2 - размерность разветвление и теория узлов. Фактически, теория многомерных многообразий, которая начинается с размерности 5 и выше, альтернативно можно сказать, что она начинается с коразмерности 3, потому что более высокие коразмерности избегают явления узлов. С теория хирургии требует проработки до среднего измерения, когда человек находится в измерении 5, среднее измерение имеет коразмерность больше 2, и, следовательно, можно избежать узлов.

Это замечание не лишено смысла: изучение вложений в коразмерности 2 является теорией узлов и сложно, в то время как изучение вложений в коразмерности 3 или более поддается инструментам геометрической топологии большой размерности и, следовательно, значительно проще.

Смотрите также

Глоссарий дифференциальной геометрии и топологии