Ветвление (математика) - Ramification (mathematics)

Для использования в других целях см. Разветвление.

Схематическое изображение разветвления: волокна почти всех точек в Y ниже состоят из трех пунктов, кроме двух пунктов в Y отмечены точками, где волокна состоят из одной и двух точек (отмечены черным цветом) соответственно. Карта ж считается разветвленным в этих точках Y.

В геометрия, разветвление "разветвляется" так, как квадратный корень функция, для сложные числа, можно увидеть, что есть два ветви различаются знаком. Этот термин также используется с противоположной точки зрения (ветви сходятся вместе), когда карта покрытия вырождается в точке пространства с некоторым схлопыванием слоев отображения.

В комплексном анализе

С использованием Риманова поверхность квадратного корня

В комплексный анализ, базовую модель можно принять за z → z^п отображение в комплексной плоскости, околоz = 0. Это стандартная локальная картинка в Риманова поверхность теория разветвления порядкап. Это происходит, например, в Формула Римана – Гурвица для влияния сопоставлений на род. Смотрите также точка ветвления.

В алгебраической топологии

На покрывающей карте Характеристика Эйлера – Пуанкаре следует умножить на количество листов; разветвление, следовательно, можно обнаружить по некоторому отбрасыванию от него. В z → z^п отображение показывает это как локальный образец: если мы исключаем 0, глядя на 0 <|z| <1 скажем, мы имеем (из гомотопия точка зрения) круг сопоставлен с собой п-го степенного отображения (характеристика Эйлера – Пуанкаре 0), но с целым диск характеристика Эйлера – Пуанкаре равна 1, п - 1 - это «потерянные» баллы как п листы собираются вместе вz = 0.

С геометрической точки зрения ветвление - это то, что происходит в коразмерность два (любить теория узлов, и монодромия ); поскольку настоящий коразмерность два сложный коразмерности один, локальный комплексный пример устанавливает образец для многомерного комплексные многообразия. В комплексном анализе листы не могут просто складываться вдоль линии (одна переменная) или подпространства коразмерности один в общем случае. Набор ветвления (место ветвления на основании, двойная точка, установленная выше) будет на два реальных измерения ниже, чем окружающий многообразие, и поэтому не будет разделять его на две «стороны», локально будут пути, огибающие локус ветвления, как в примере. В алгебраическая геометрия по любому поле по аналогии это происходит и в алгебраической коразмерности один.

В алгебраической теории чисел

В алгебраических расширениях ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Смотрите также: Расщепление простых идеалов в расширениях Галуа

Разветвление в алгебраическая теория чисел означает разложение на множители простого идеала в расширении, чтобы получить несколько повторяющихся факторов простого идеала. А именно пусть ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ быть кольцо целых чисел из поле алгебраических чисел ${\displaystyle K}$, и ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ а главный идеал из ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$. Для расширения поля ${\displaystyle L/K}$ мы можем рассматривать кольцо целых чисел ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ (какой целостное закрытие из ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ в ${\displaystyle L}$), а идеальный ${\displaystyle {\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}}$ из ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$. Этот идеал может быть, а может и не быть простым, но для конечных ${\displaystyle [L:K]}$, он разлагается на простые идеалы:

${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cdot {\mathcal {O}}_{L}={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{e_{k}}}$

где ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ различные простые идеалы ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$. потом ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ говорят разветвляться в ${\displaystyle L}$ если ${\displaystyle e_{i}>1}$ для некоторых ${\displaystyle i}$; в противном случае это неразветвленный. Другими словами, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ разветвляется в ${\displaystyle L}$ если индекс ветвления ${\displaystyle e_{i}}$ больше единицы для некоторых ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$. Эквивалентным условием является то, что ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}}$ имеет ненулевой нильпотентный элемент: это не продукт конечные поля. На аналогию со случаем римановой поверхности указывал еще Ричард Дедекинд и Генрих М. Вебер В девятнадцатом веке.

Ветвление закодировано в ${\displaystyle K}$ посредством относительный дискриминант И в ${\displaystyle L}$ посредством относительно разные. Первый - идеал ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ и делится на ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ если и только если какой-то идеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ из ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ разделение ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ разветвлен. Последний является идеалом ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ и делится на простой идеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ из ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ именно когда ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ разветвлен.

Разветвление приручить когда показатели ветвления ${\displaystyle e_{i}}$ все взаимно просты с характеристикой вычета п из ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$, в противном случае дикий. Это условие важно в Модуль Галуа теория. Конечное обобщенно этальное расширение ${\displaystyle B/A}$ из Дедекиндовские домены ручная тогда и только тогда, когда след ${\displaystyle \operatorname {Tr} :B\to A}$ сюръективно.

В местных полях

Основная статья: Разветвление локальных полей

Более детальный анализ разветвления в числовых полях можно провести с помощью расширений p-адические числа, потому что это местный вопрос. В этом случае количественная мера ветвления определяется для Расширения Галуа, в основном спрашивая, как далеко Группа Галуа перемещает элементы поля относительно метрики. Последовательность группы ветвления определяется, овеществляет (среди прочего) дикий (неприрученное) разветвление. Это выходит за рамки геометрического аналога.

В алгебре

Основная статья: Теория ветвления оценок

В теория оценки, то теория разветвления оценок изучает набор расширения из оценка из поле K чтобы поле расширения из K. Это обобщает понятия алгебраической теории чисел, локальных полей и дедекиндовских областей.

В алгебраической геометрии

Также существует соответствующее понятие неразветвленный морфизм в алгебраической геометрии. Он служит для определения этальные морфизмы.

Позволять ${\displaystyle f:X\to Y}$ быть морфизмом схем. Опора квазикогерентного пучка ${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$ называется место ветвления из ${\displaystyle f}$ и образ локуса ветвления, ${\displaystyle f\left(\operatorname {Supp} \Omega _{X/Y}\right)}$, называется место ветвления из ${\displaystyle f}$. Если ${\displaystyle \Omega _{X/Y}=0}$ мы говорим, что ${\displaystyle f}$ является формально неразветвленный и если ${\displaystyle f}$ также имеет локально конечное представление, мы говорим, что ${\displaystyle f}$ является неразветвленный (увидеть Вакиль 2017 ).

Смотрите также

• Полином Эйзенштейна
• Многоугольник Ньютона
• Расширение Puiseux
• Разветвленное покрытие

использованная литература

• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 322. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-65399-8. Г-Н  1697859. Zbl  0956.11021.
• Вакил, Рави (18 ноября 2017 г.). Восходящее море: основы алгебраической геометрии (PDF). Получено 5 июн 2019.

внешние ссылки

• «Разветвление в числовых полях». PlanetMath.