Размерность алгебраического многообразия - Dimension of an algebraic variety

В математика и особенно в алгебраическая геометрия, то измерение из алгебраическое многообразие могут быть определены различными эквивалентными способами.

Некоторые из этих определений имеют геометрическую природу, а другие - чисто алгебраические и основываются на коммутативная алгебра. Некоторые из них ограничиваются алгебраическими многообразиями, а другие применимы также к любым алгебраический набор. Некоторые из них являются внутренними, поскольку не зависят от какого-либо вложения разнообразия в аффинный или же проективное пространство, а другие относятся к такому вложению.

Размерность аффинного алгебраического множества

Позволять K быть поле, и L ⊇ K - алгебраически замкнутое расширение. An аффинное алгебраическое множество V это набор общих нули в L^п элементов идеального я в кольце многочленов ${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$ Позволять ${\displaystyle A=R/I}$ - алгебра полиномиальных функций над V. Размер V любое из следующих целых чисел. Не меняется, если K увеличивается, если L заменяется другим алгебраически замкнутым расширением K и если я заменяется другим идеалом с такими же нулями (то есть с тем же радикальный ). Размер также не зависит от выбора координат; другими словами, он не меняется, если Икс_я заменяются линейно независимыми линейными их комбинациями. Размер V является

• Максимальная длина ${\displaystyle d}$ цепей ${\displaystyle V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{d}}$ различных непустых (неприводимых) подмногообразий V.

Это определение обобщает свойство размерности Евклидово пространство или векторное пространство. Таким образом, вероятно, именно определение дает наиболее простое интуитивное описание понятия.

• В Измерение Крулля координатного кольца А.

Это транскрипция предыдущего определения на языке коммутативная алгебра, размерность Крулля - максимальная длина цепочек ${\displaystyle p_{0}\subset p_{1}\subset \ldots \subset p_{d}}$ из главные идеалы из А.

• Максимальная размерность Крулля местные кольца в точках V.

Это определение показывает, что размер местная собственность, если ${\displaystyle V}$неприводимо. Если ${\displaystyle V}$неприводимо, оказывается, что все локальные кольца в замкнутых точках имеют одинаковую размерность Крулля (см. ^[1]).

• Если V многообразие, размерность Крулля локального кольца в любой точке V

Это перефразирует предыдущее определение на более геометрический язык.

• Максимальный размер касательные векторные пространства в не особые точки из V.

Это связывает размерность разнообразия с размером дифференцируемое многообразие. Точнее, если V если он определен над вещественными числами, то множество его действительных регулярных точек, если оно не пусто, является дифференцируемым многообразием, имеющим ту же размерность, что и многообразие, и как многообразие.

• Если V разнообразие, размерность касательное векторное пространство ни при каких условиях особая точка из V.

Это алгебраический аналог того факта, что связная многообразие имеет постоянную размерность. Это также можно вывести из результата, приведенного ниже третьего определения, и того факта, что размерность касательного пространства равна размерности Крулля в любой неособой точке (см. Касательное пространство Зарисского ).

• Количество гиперплоскости или же гиперповерхности в общая позиция которые необходимы для пересечения с V которое сводится к ненулевому конечному числу точек.

Это определение не является внутренним, поскольку оно применяется только к алгебраическим множествам, которые явно вложены в аффинное или проективное пространство.

• Максимальная длина регулярная последовательность в координатном кольце А.

Это алгебраический перевод предыдущего определения.

• Разница между п и максимальная длина регулярных последовательностей, содержащихся в я.

Это алгебраический перевод того факта, что пересечение п – d общие гиперповерхности - это алгебраический набор размерности d.

• Степень Полином Гильберта из А.
• Степень знаменателя Ряд Гильберта из А.

Это позволяет через Основа Грёбнера вычисление для вычисления размерности алгебраического множества, определяемого данным система полиномиальных уравнений.

• Размерность симплициального комплекса, у которого Кольцо Стэнли-Райснера является ${\displaystyle R/J}$ куда ${\displaystyle J}$ это радикальный любого исходного идеала I.

Взятие исходных идеалов сохраняет многочлен / ряд Гильберта, а взятие радикалов сохраняет размерность.^[2]

• Если я является простым идеалом (т.е. V является алгебраическим многообразием), степень трансцендентности над K из поле дробей из А.

Это позволяет легко доказать, что размерность инвариантна относительно бирациональная эквивалентность.

Размерность проективного алгебраического множества

Позволять V быть проективное алгебраическое множество определяется как множество общих нулей однородного идеала я в кольце многочленов ${\displaystyle R=K[x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ над полем K, и разреши А=р/я быть градуированная алгебра полиномов над V.

Применяются все определения из предыдущего раздела с тем изменением, что, когда А или же я явно присутствуют в определении, значение измерения должно быть уменьшено на единицу. Например, размер V на единицу меньше, чем размерность Крулля А.

Вычисление размера

Учитывая система полиномиальных уравнений над алгебраически замкнутым полем ${\displaystyle K}$, может быть трудно вычислить размерность алгебраического множества, которое оно определяет.

Без дополнительной информации о системе существует только один практический метод, который состоит из вычисления базиса Грёбнера и определения степени знаменателя Ряд Гильберта идеала, порожденного уравнениями.

Второй шаг, который обычно является самым быстрым, может быть ускорен следующим образом: во-первых, базис Грёбнера заменяется списком его ведущих мономов (это уже сделано для вычисления ряда Гильберта). Тогда каждый моном вида ${\displaystyle {x_{1}}^{e_{1}}\cdots {x_{n}}^{e_{n}}}$ заменяется произведением переменных в нем: ${\displaystyle x_{1}^{\min(e_{1},1)}\cdots x_{n}^{\min(e_{n},1)}.}$ Тогда размерность - это максимальный размер подмножества S переменных, так что ни одно из этих произведений переменных не зависит только от переменных в S.

Этот алгоритм реализован в нескольких системы компьютерной алгебры. Например в Клен, это функция Грёбнер [HilbertDimension], И в Маколей2, это функция тусклый.

Реальное измерение

Смотрите также: Комплексное измерение

В реальное измерение набора реальных точек, обычно полуалгебраическое множество, размер его Зариски закрытие. Для полуалгебраического множества S, действительное измерение - одно из следующих равных целых чисел:^[3]

• Настоящее измерение ${\displaystyle S}$ - размерность его замыкания Зарисского.
• Настоящее измерение ${\displaystyle S}$ это максимальное целое число ${\displaystyle d}$ так что есть гомеоморфизм из ${\displaystyle [0,1]^{d}}$ в ${\displaystyle S}$.
• Настоящее измерение ${\displaystyle S}$ максимальное целое число ${\displaystyle d}$ так что есть проекция из ${\displaystyle S}$ через ${\displaystyle d}$-мерное подпространство с непустым интерьер.

Для алгебраического множества, определенного над реалы (который определяется полиномами с действительными коэффициентами), может случиться так, что реальная размерность множества его реальных точек меньше, чем его размерность как полуалгебраического множества. Например, алгебраическая поверхность уравнения ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0}$ является алгебраическим многообразием размерности два, которое имеет только одну действительную точку (0, 0, 0) и, следовательно, имеет нулевую действительную размерность.

Реальную размерность вычислить труднее, чем алгебраическую размерность. гиперповерхность (то есть набор реальных решений одного полиномиального уравнения) существует вероятностный алгоритм для вычисления его реальной размерности.^[4]

Смотрите также

• Теория размерностей (алгебра)
• Размер схемы

Рекомендации

1. Глава 11 Атии, Майкл Фрэнсис; Макдональд, И. (1969), Введение в коммутативную алгебру, Westview Press, ISBN  978-0-201-40751-8.
2. Кокс, Дэвид А .; Литтл, Джон; О'Ши, Донал Идеалы, разновидности и алгоритмы. Введение в вычислительную алгебраическую геометрию и коммутативную алгебру. Четвертый выпуск. Тексты для бакалавриата по математике. Спрингер, Чам, 2015.
3. Басу, Саугата; Поллак, Ричард; Рой, Мари-Франсуаза (2003), Алгоритмы в реальной алгебраической геометрии (PDF), Алгоритмы и вычисления в математике, 10, Springer-Verlag
4. Иван, Баннварт; Мохаб, Сэйфей Эль Дин (2015), Вероятностный алгоритм вычисления размерности вещественных алгебраических множеств, Труды международного симпозиума 2015 года по символическим и алгебраическим вычислениям, ACM