Особая точка алгебраического многообразия - Singular point of an algebraic variety

в математический поле алгебраическая геометрия, а особая точка алгебраическое многообразие V это точка п это «особенное» (то есть особенное) в геометрическом смысле, что в этой точке касательное пространство у разновидности может не определяться регулярно. В случае многообразий, определенных над вещественными числами, это понятие обобщает понятие локальная неровность. Точка алгебраического многообразия, не являющаяся сингулярной, называется обычный. Алгебраическое многообразие, не имеющее особой точки, называется неособый или же гладкий.

В плоская алгебраическая кривая (а кубическая кривая ) уравнения у² − Икс²(Икс + 1) = 0 пересекает себя в начале координат (0,0). Происхождение - это двойная точка этой кривой. это единственное число потому что один касательная может быть неправильно определен там.

Определение

Плоская кривая, определяемая неявное уравнение

${\displaystyle F(x,y)=0}$,

куда F это гладкая функция как говорят единственное число в момент, если Серия Тейлор из F имеет порядок как минимум 2 на данный момент.

Причина этого в том, что в дифференциальное исчисление, касательная в точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$) такой кривой определяется уравнением

${\displaystyle (x-x_{0})F'_{x}(x_{0},y_{0})+(y-y_{0})F'_{y}(x_{0},y_{0})=0,}$

левая часть которого является членом первой степени разложения Тейлора. Таким образом, если этот член равен нулю, касательная не может быть определена стандартным способом либо потому, что она не существует, либо потому, что необходимо дать специальное определение.

В целом для гиперповерхность

${\displaystyle F(x,y,z,\ldots )=0}$

в особые точки те, в которых все частные производные одновременно исчезают. Генерал алгебраическое многообразие V определяется как общие нули нескольких многочлены, условие на точку п из V особой точкой является то, что Матрица якобиана частных производных первого порядка многочленов имеет классифицировать в п что ниже ранга в других точках разновидности.

Пункты V которые не являются единичными, называются неособый или же обычный. Всегда верно, что почти все точки неособые в том смысле, что неособые точки образуют множество, которое одновременно открыто и плотный в разнообразии (для Топология Зарисского, как и для обычной топологии, в случае многообразий, определенных над сложные числа ).^[1]

В случае действительного многообразия (то есть множества точек с действительными координатами множества, определяемого многочленами с действительными коэффициентами), многообразие является многообразие рядом с каждой регулярной точкой. Но важно отметить, что реальное многообразие может быть многообразием и иметь особые точки. Например, уравнение ${\displaystyle y^{3}+2x^{2}y-x^{4}=0}$ определяет настоящий аналитическое многообразие но имеет особую точку в начале координат.^[2] Это можно объяснить, сказав, что кривая имеет два комплексно сопряженный ветви которые срезают настоящую ветку в начале координат.

Особые точки гладких отображений

Поскольку понятие особых точек является чисто локальным свойством, приведенное выше определение может быть расширено для охвата более широкого класса гладкий сопоставления, (функции из M к ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ где существуют все производные). Анализ этих особых точек можно свести к случаю алгебраического многообразия, рассматривая струи отображения. В k-й жиклер Серия Тейлор отображения, усеченного на степени k и удаление постоянный срок.

Узлы

В классическая алгебраическая геометрия, некоторые особые особые точки также назывались узлы. Узел - это особая точка, в которой Матрица Гессе неособое число; это означает, что особая точка имеет кратность два, а касательный конус не является особенным вне своей вершины.

Смотрите также

• Карта Милнора
• Разрешение особенностей
• Особая точка кривой
• Теория сингулярности
• Плавная схема
• Касательное пространство Зарисского

Рекомендации

1. Хартсхорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 33. ISBN  978-0-387-90244-9. МИСТЕР  0463157. Zbl  0367.14001.
2. Милнор, Джон (1969). Особые точки сложных гиперповерхностей.. Анналы математических исследований. 61. Princeton University Press. С. 12–13. ISBN  0-691-08065-8.