Касательное пространство Зарисского - Zariski tangent space

В алгебраическая геометрия, то Касательное пространство Зарисского конструкция, определяющая касательное пространство в какой-то момент п на алгебраическое многообразие V (и вообще). Он не использует дифференциальное исчисление, опираясь непосредственно на абстрактная алгебра, а в самых конкретных случаях просто теория система линейных уравнений.

Мотивация

Например, предположим, что задан плоская кривая C определяется полиномиальным уравнением

F (X, Y) = 0

и возьми п быть источником (0,0). Удаление членов более высокого порядка, чем 1, приведет к чтению «линеаризованного» уравнения.

L (X, Y) = 0

в котором все условия Икс^аY^б были отброшены, если а + Ь> 1.

У нас есть два случая: L может быть 0, или это может быть уравнение линии. В первом случае касательное пространство (Зарисского) к C at (0,0) - вся плоскость, рассматриваемая как двумерная аффинное пространство. Во втором случае касательное пространство - это линия, рассматриваемая как аффинное пространство. (Вопрос о происхождении возникает, когда мы берем п в качестве общей точки зрения на C; лучше сказать «аффинное пространство», а затем отметить, что п является естественным происхождением, вместо того, чтобы прямо утверждать, что это векторное пространство.)

Нетрудно заметить, что за реальное поле мы можем получить L с точки зрения первого частные производные из F. Когда они оба равны 0 в п, у нас есть особая точка (двойная точка, куспид или что-то посложнее). Общее определение таково: особые точки из C - это случаи, когда касательное пространство имеет размерность 2.

Определение

В котангенс пространство из местное кольцо р, с максимальный идеал ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ определяется как

{ displaystyle { mathfrak {m}} / { mathfrak {m}} ^ {2}}

куда ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ ² дается продукт идеалов. Это векторное пространство над поле вычетов k: = R / ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ . Его двойной (как k-векторное пространство) называется касательное пространство из р.^[1]

Это определение является обобщением приведенного выше примера на более высокие измерения: предположим, что дано аффинное алгебраическое многообразие V и точка v из V. Морально, моддинг аут ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ ² соответствует исключению нелинейных членов из уравнений, определяющих V внутри некоторого аффинного пространства, что дает систему линейных уравнений, определяющих касательное пространство.

Касательное пространство ${ displaystyle T_ {P} (X)}$ и котангенс пространство ${ displaystyle T_ {P} ^ {*} (X)}$ к схеме Икс в какой-то момент п является (ко) касательным пространством ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X, P}}$ . Из-за функториальность Spec, естественное фактор-отображение ${ displaystyle f: R rightarrow R / I}$ индуцирует гомоморфизм ${ displaystyle g: { mathcal {O}} _ {X, f ^ {- 1} (P)} rightarrow { mathcal {O}} _ {Y, P}}$ за Икс= Спецификация (р), п точка в Y= Спецификация (R / I). Это используется для вставки ${ displaystyle T_ {P} (Y)}$ в ${ displaystyle T_ {f ^ {- 1} P} (X)}$ .^[2] Поскольку морфизмы полей инъективны, сюръекция поля поля остатков индуцированный грамм является изоморфизмом. Тогда морфизм k кокасательных пространств индуцируется грамм, данный

{ displaystyle { mathfrak {m}} _ {P} / { mathfrak {m}} _ {P} ^ {2}}

{ displaystyle cong ({ mathfrak {m}} _ {f ^ {- 1} P} / I) / (({ mathfrak {m}} _ {f ^ {- 1} P} ^ {2} + I) / I)}

{ displaystyle cong { mathfrak {m}} _ {f ^ {- 1} P} / ({ mathfrak {m}} _ {f ^ {- 1} P} ^ {2} + I)}

{ displaystyle cong ({ mathfrak {m}} _ {f ^ {- 1} P} / { mathfrak {m}} _ {f ^ {- 1} P} ^ {2}) / mathrm { Ker} (k).}

Поскольку это сюръекция, транспонировать ${ displaystyle k ^ {*}: T_ {P} (Y) rightarrow T_ {f ^ {- 1} P} (X)}$ это инъекция.

(Часто определяют касательная и котангенсные пространства для многообразия аналогичным образом.)

Аналитические функции

Если V является подмногообразием п-мерное векторное пространство, определяемое идеалом я, тогда R = F_п/Я, куда F_п кольцо гладких / аналитических / голоморфных функций на этом векторном пространстве. Касательное пространство Зарисского в точке Икс является

м_п / (I + m_п² ),

куда м_п - максимальный идеал, состоящий из этих функций из F_п исчезает в Икс.

В приведенном выше плоском примере я = ⟨F⟩, и Я + м² = + м².

Характеристики

Если р это Нётерян локального кольца размер касательного пространства не меньше измерение из р:

тусклый м / м² ≧ тусклый р

р называется обычный если выполняется равенство. Говоря более геометрическим языком, когда р является локальным кольцом множества V в v, также говорится, что v - обычная точка. В противном случае это называется особая точка.

Касательное пространство имеет интерпретацию в терминах гомоморфизмы к двойные числа за K,

К [т] / т²:

на языке схемы, морфизмы Уд. К [т] / т² к схеме Икс над K соответствуют выбору рациональная точка x ∈ X (k) и элемент касательного пространства в точке Икс.^[3] Поэтому говорят и о касательные векторы. Смотрите также: касательное пространство к функтору.

Смотрите также

Книги

Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МИСТЕР 0463157
Дэвид Эйзенбуд; Джо Харрис (1998). Геометрия схем. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98637-5.

внешняя ссылка

Касательное пространство Зарисского. В.И. Данилов (составитель), Математическая энциклопедия.

[1] Эйзенбуд 1998, I.2.2, стр. 26

[2] Гладкость и касательное пространство Зарисского, Джеймс МакКернан, 18.726 Весна 2011 Лекция 5

[3] Хартсхорн 1977, Упражнение II 2.8

[1]

[2]

[3]