Алгебраическая поверхность - Algebraic surface

В математика, алгебраическая поверхность является алгебраическое многообразие из измерение два. В случае геометрии над полем сложные числа, алгебраическая поверхность имеет комплексную размерность два (как комплексное многообразие, когда он является неособый ) и размерности четыре как гладкое многообразие.

Теория алгебраических поверхностей намного сложнее, чем теория алгебраические кривые (в том числе компактный Римановы поверхности, которые являются подлинными поверхности (реального) измерения два). Однако многие результаты были получены в Итальянская школа алгебраической геометрии, и возрастом до 100 лет.

Классификация по размерности Кодаира

В случае размера один разновидности классифицируются только по топологический род, но размер два, разница между арифметический род ${ displaystyle p_ {a}}$ и геометрический род ${ displaystyle p_ {g}}$ оказывается важным, потому что мы не можем бирационально выделить только топологический род. Затем мы вводим неправильность для их классификации. Сводка результатов (подробно, для каждого типа поверхности относится к каждому перенаправлению):

Примеры алгебраических поверхностей включают (κ - Кодаира измерение ):

Дополнительные примеры см. список алгебраических поверхностей.

Первые пять примеров на самом деле бирационально эквивалентный. То есть, например, кубическая поверхность имеет функциональное поле изоморфен проективная плоскость, будучи рациональные функции в двух неопределенных. Декартово произведение двух кривых также дает примеры.

Бирациональная геометрия поверхностей

В бирациональная геометрия алгебраических поверхностей из-за взрыв (также известный как моноидальное преобразование ), под которым точка заменяется на кривая всех входящих в него предельных касательных направлений (a проективная линия ). Некоторые кривые также могут быть взорваны вниз, но есть ограничение (число самопересечения должно быть -1).

Теорема Кастельнуово

Одна из основных теорем бирациональной геометрии поверхностей - это Теорема Кастельнуово. Это утверждает, что любое бирациональное отображение между алгебраическими поверхностями задается конечной последовательностью раздутий и раздутий.

Свойства

В Критерий Накаи Говорит, что:

Делитель D на поверхности S обильно тогда и только тогда, когда D² > 0 и для всей неприводимой кривой C на S D • C> 0.

Обильные дивизоры обладают хорошим свойством, например, обратным движением некоторого гиперплоского расслоения проективного пространства, свойства которого хорошо известны. Позволять ${ Displaystyle { mathcal {D}} (S)}$ - абелева группа, состоящая из всех дивизоров на S. Тогда из-за теорема пересечения

{ Displaystyle { mathcal {D}} (S) times { mathcal {D}} (S) rightarrow mathbb {Z}: (X, Y) mapsto X cdot Y}

рассматривается как квадратичная форма. Позволять

{ displaystyle { mathcal {D}} _ {0} (S): = {D in { mathcal {D}} (S) | D cdot X = 0, { text {для всех}} X in { mathcal {D}} (S) }}

тогда ${ displaystyle { mathcal {D}} / { mathcal {D}} _ {0} (S): = Num (S)}$ становится числовой эквивалент группы классов из S и

{ displaystyle Num (S) times Num (S) mapsto mathbb {Z} = ({ bar {D}}, { bar {E}}) mapsto D cdot E}

также становится квадратичной формой на ${ displaystyle Num (S)}$ , где ${ displaystyle { bar {D}}}$ образ делителя D на S. (На изображении ниже ${ displaystyle { bar {D}}}$ сокращенно D.)

За обильный комплект ЧАС на S Определение

{ Displaystyle {H } ^ { perp}: = {D in Num (S) | D cdot H = 0 }.}

возглавляет Теорема Ходжа об индексе поверхностной версии.

для

{ Displaystyle D in { {H } ^ { perp} | D neq 0 }, D cdot D <0}

, т.е.

{ displaystyle {H } ^ { perp}}

является отрицательно определенной квадратичной формой.

Эта теорема доказывается с помощью критерия Накаи и теоремы Римана-Роха для поверхностей. Для всех делителей в ${ displaystyle {H } ^ { perp}}$ эта теорема верна. Эта теорема является не только инструментом для исследования поверхностей, но и используется для доказательства Гипотеза Вейля Делиня, потому что это верно на алгебраически замкнутом поле.

Основные результаты по алгебраическим поверхностям включают Теорема Ходжа об индексе, и разделение на пять групп классов бирациональной эквивалентности, называемых классификация алгебраических поверхностей. В общий тип класс Кодаира измерение 2, очень велика (степень 5 или больше для неособой поверхности в п³ лежит в нем, например).

Есть три основных Номер Ходжа инварианты поверхности. Из тех, час^1,0 был классически назван неправильность и обозначается q; и час^2,0 был назван геометрический род п_г. Третий, час^1,1, это не бирациональный инвариант, потому что взрыв можно добавлять целые кривые, с классами в ЧАС^1,1. Известно, что Циклы Ходжа являются алгебраическими, и что алгебраическая эквивалентность совпадает с гомологическая эквивалентность, так что час^1,1 является верхней оценкой ρ, ранг Группа Нерон-Севери. В арифметический род п_а разница

геометрический род - неправильность.

Фактически, это объясняет, почему нерегулярность получила свое название как своего рода «термин ошибки».

Теорема Римана-Роха для поверхностей

В Теорема Римана-Роха для поверхностей был впервые сформулирован Макс Нётер. Семейства кривых на поверхностях можно в некотором смысле классифицировать, и это дает начало их интересной геометрии.

использованная литература

Долгачев, И. (2001) [1994], «Алгебраическая поверхность», Энциклопедия математики, EMS Press
Зариски, Оскар (1995), Алгебраические поверхности, Классика по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58658-6, Г-Н 1336146

внешние ссылки

Бесплатная программа SURFER для визуализации алгебраических поверхностей в реальном времени, включая пользовательскую галерею.
SingSurf интерактивный 3D-просмотрщик алгебраических поверхностей.
Страница по алгебраическим поверхностям началась в 2008 году
Обзор и мысли о создании алгебраических поверхностей