Гипотезы Вейля - Weil conjectures

В математика, то Гипотезы Вейля были некоторые очень влиятельные предложения от Андре Вайль (1949 ), что привело к успешной многолетней программе их доказательства, в которой многие ведущие исследователи разработали рамки современных алгебраическая геометрия и теория чисел.

Предположения касаются производящие функции (известный как локальные дзета-функции ), полученный из подсчета количества точек на алгебраические многообразия над конечные поля. Разнообразие $V$ над конечным полем с $q$ элементов имеет конечное число рациональные точки (с координатами в исходном поле), а также точки с координатами в любом конечное расширение исходного поля. Производящая функция имеет коэффициенты, полученные из чисел $N k$ точек над полем расширения с $q k$ элементы.

Вейль предположил, что такие дзета-функции для гладких сортов следует рациональные функции, должен удовлетворять форме функциональное уравнение, а нули должны быть в ограниченных местах. Последние две части были сознательно смоделированы на основе Дзета-функция Римана, своего рода производящая функция для простых целых чисел, которая подчиняется функциональному уравнению и (предположительно) имеет свои нули, ограниченные Гипотеза Римана. Рациональность была доказана Бернард Дворк (1960 ) функциональное уравнение в виде Александр Гротендик (1965 ), и аналог гипотезы Римана по Пьер Делинь (1974 ).

Предпосылки и история

Самый ранний предшественник гипотез Вейля принадлежит Карл Фридрих Гаусс и появляется в разделе VII его Disquisitiones Arithmeticae (Мазур 1974 ), обеспокоен корни единства и Гауссовские периоды. В статье 358 он переходит от периодов строительства башен квадратной формы к построению правильных многоугольников; и предполагает, что $п$ такое простое число, что $п - 1$ делится на 3. Тогда существует циклическое кубическое поле внутри кругового поля $п$ корни единства, и нормальный интегральный базис периодов для целых чисел этого поля (экземпляр Теорема Гильберта-Шпайзера ). Гаусс строит периоды порядка 3, соответствующие циклическая группа $(Z / п Z) \times$ ненулевых вычетов по модулю $п$ при умножении и его единственная подгруппа индекса три. Гаусс позволяет ${ Displaystyle { mathfrak {R}}}$ , ${ displaystyle { mathfrak {R}} '}$ , и ${ displaystyle { mathfrak {R}} ''}$ быть его смежными классами. Взяв периоды (суммы корней из единицы), соответствующие этим смежным классам, применительно к $ехр (2 πi / п)$ , он отмечает, что для этих периодов есть таблица умножения, доступная для расчета. Продукты представляют собой линейные комбинации периодов, и он определяет коэффициенты. Он устанавливает, например, ${ Displaystyle ({ mathfrak {R}} { mathfrak {R}})}$ равное количеству элементов $Z / п Z$ которые находятся в ${ Displaystyle { mathfrak {R}}}$ и которые после увеличения на единицу также находятся в ${ Displaystyle { mathfrak {R}}}$ . Он доказывает, что это число и связанные с ним являются коэффициентами произведений периодов. Чтобы увидеть связь этих множеств с гипотезами Вейля, заметьте, что если $α$ и $α + 1$ оба в ${ Displaystyle { mathfrak {R}}}$ , то существуют $Икс$ и $у$ в $Z / п Z$ такой, что $Икс 3 = α$ и $у 3 = α + 1$ ; как следствие, $Икс 3 + 1 = у 3$ . Следовательно ${ Displaystyle ({ mathfrak {R}} { mathfrak {R}})}$ количество решений $Икс 3 + 1 = у 3$ в конечном поле $Z / п Z$ . Остальные коэффициенты имеют аналогичную интерпретацию. Поэтому определение Гауссом коэффициентов произведений периодов подсчитывает количество точек на этих эллиптические кривые, и в качестве побочного продукта он доказывает аналог гипотезы Римана.

Гипотезы Вейля в частном случае алгебраические кривые были предположены Эмиль Артин (1924 ). Случай кривых над конечными полями доказал Вейль, завершив проект, начатый Теорема Хассе об эллиптических кривых над конечными полями. Их интерес был достаточно очевиден изнутри теория чисел: они подразумевали верхние оценки для экспоненциальные суммы, основная проблема в аналитическая теория чисел (Морено 2001 ).

Что действительно привлекало внимание с точки зрения других областей математики, так это предполагаемая связь с алгебраическая топология. Учитывая, что конечные поля дискретный в природе, а топология говорит только о непрерывныйдетальная формулировка Вейля (основанная на разработке некоторых примеров) была поразительной и новой. Он предположил, что геометрия над конечными полями должна соответствовать хорошо известным шаблонам, относящимся к Бетти числа, то Теорема Лефшеца о неподвижной точке и так далее.

Аналогия с топологией предложила создать новую гомологическую теорию, применимую в алгебраическая геометрия. На это ушло два десятилетия (это была центральная цель работы и школы Александр Гротендик ) на основе первоначальных предложений от Серр. Часть гипотез о рациональности была сначала доказана Бернард Дворк (1960 ), с помощью $п$ -адический методы. Гротендик (1965) и его сотрудники установили гипотезу рациональности, функциональное уравнение и связь с числами Бетти, используя свойства этальные когомологии, новая теория когомологий, разработанная Гротендиком и Артином для атаки на гипотезы Вейля, как изложено в Гротендик (1960). Из четырех гипотез труднее всего было доказать аналог гипотезы Римана. Мотивировано доказательством Серр (1960) аналога гипотез Вейля для Кэлеровы многообразия, Гротендик представил доказательство, основанное на его стандартные гипотезы об алгебраических циклах (Клейман 1968 ). Однако стандартные гипотезы Гротендика остаются открытыми (за исключением жесткая теорема Лефшеца, что было доказано Делинем путем расширения его работы над гипотезами Вейля), а аналог гипотезы Римана доказал Делинь (1974 ), используя теорию этальных когомологий, но обходя использование стандартных гипотез остроумным аргументом.

Делинь (1980) нашел и доказал обобщение гипотез Вейля, ограничивая веса прямого толчка пучка.

Формулировка гипотез Вейля.

Предположим, что $Икс$ это неособый $п$ -размерный проективное алгебраическое многообразие над полем $F q$ с $q$ элементы. В дзета-функция $ζ (Икс, s)$ из $Икс$ по определению

{ displaystyle zeta (X, s) = exp left ( sum _ {m = 1} ^ { infty} { frac {N_ {m}} {m}} q ^ {- ms} right )}

куда $N м$ количество точек $Икс$ определяется по степени $м$ расширение $F q м$ из $F q$ .

Гипотезы Вейля гласят:

(Рациональность) $ζ (Икс, s)$ это рациональная функция из $Т = q - s$ . Точнее, $ζ (Икс, s)$ можно записать как конечное чередующееся произведение
${ displaystyle prod _ {i = 0} ^ {2n} P_ {i} (q ^ {- s}) ^ {(- 1) ^ {i + 1}} = { frac {P_ {1} ( T) dotsb P_ {2n-1} (T)} {P_ {0} (T) dotsb P_ {2n} (T)}},}$
где каждый $п я (Т)$ - целочисленный многочлен. Более того, $п 0 (Т) = 1 - Т$ , $п 2 п (Т) = 1 - q п Т$ , и для $1 \leq я \leq 2n - 1$ , $п я (Т)$ факторы сверх $C$ в качестве ${ displaystyle textstyle prod _ {j} (1- alpha _ {ij} T)}$ для некоторых номеров $α ij$ .
(Функциональное уравнение и двойственность Пуанкаре) Дзета-функция удовлетворяет
${ displaystyle zeta (X, n-s) = pm q ^ {{ frac {nE} {2}} - Es} zeta (X, s)}$
или эквивалентно
${ displaystyle zeta (X, q ^ {- n} T ^ {- 1}) = pm q ^ { frac {nE} {2}} T ^ {E} zeta (X, T)}$
куда $E$ это Эйлерова характеристика из $Икс$ . В частности, для каждого $я$ , цифры $α 2 п - я,1$ , $α 2 п - я,2$ ,… Равны числам $q п / α я,1$ , $q п / α я,2$ ,… В некотором порядке.
(Гипотеза Римана) $| α я, j | = q я /2$ для всех $1 \leq я \leq 2 п - 1$ и все $j$ . Это означает, что все нули $п k (Т)$ лежат на «критической линии» комплексных чисел $s$ с реальной частью $k /2$ .
(Числа Бетти) Если $Икс$ хороший) "редуцирующий мод $п$ "из неособый проективное разнообразие $Y$ определяется над числовым полем, встроенным в поле комплексных чисел, тогда степень $п я$ это $я$ ^th Бетти число пространства комплексных точек $Y$ .

Примеры

Проективная линия

Самый простой пример (кроме точки) - взять $Икс$ быть проективной линией. Количество точек $Икс$ над полем с $q м$ элементы просто $N м = q м + 1$ (где " $+ 1$ "исходит из"точка в бесконечности "). Дзета-функция просто

1/(1 - q - s)(1 - q 1- s)

.

Все части гипотез Вейля легко проверить напрямую. Например, соответствующая комплексная разновидность - это Сфера Римана и его начальные числа Бетти - 1, 0, 1.

Проективное пространство

Это сделать не намного сложнее $п$ -мерное проективное пространство. количество точек $Икс$ над полем с $q м$ элементы просто $N м = 1 + q м + q 2 м + \dots + q нм$ . Дзета-функция просто

1/(1 - q - s)(1 - q 1- s)(1 - q 2- s)\dots(1 - q п - s)

.

Снова легко проверить все части гипотез Вейля напрямую. (Комплексное проективное пространство дает соответствующие числа Бетти, которые почти определяют ответ.)

Количество точек на проективной прямой и проективном пространстве так легко вычислить, потому что они могут быть записаны как непересекающиеся объединения конечного числа копий аффинных пространств. Также легко доказать гипотезы Вейля для других пространств, таких как грассманианы и многообразия флагов, которые обладают тем же свойством «прокладывания».

Эллиптические кривые

Они дают первые нетривиальные случаи гипотез Вейля (доказанные Хассе). $E$ эллиптическая кривая над конечным полем с $q$ элементов, то количество точек $E$ определяется над полем с $q м$ элементы $1 - α м - β м + q м$ , куда $α$ и $β$ комплексно сопряженные с абсолютным значением $\sqrt q$ .Дзета-функция

ζ (E, s) = (1 - αq - s)(1 - βq - s) / (1 - q - s)(1 - q 1- s)

.

Когомологии Вейля

Вейль предположил, что эти предположения будут вытекать из существования подходящего "Теория когомологий Вейля "для многообразий над конечными полями, подобно обычным когомологиям с рациональными коэффициентами для комплексных многообразий. Его идея заключалась в том, что если $F$ это Автоморфизм Фробениуса над конечным полем, то количество точек многообразия $Икс$ над полем заказа $q м$ количество неподвижных точек $F м$ (действует по всем точкам многообразия $Икс$ определенный над алгебраическим замыканием). В алгебраической топологии количество неподвижных точек автоморфизма может быть вычислено с помощью Теорема Лефшеца о неподвижной точке, заданная как чередующаяся сумма следов на группы когомологий. Итак, если бы существовали похожие группы когомологий для многообразий над конечными полями, то дзета-функция могла бы быть выражена через них.

Первая проблема заключается в том, что поле коэффициентов теории когомологий Вейля не может быть рациональными числами. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим случай суперсингулярный эллиптическая кривая над конечным полем характеристики $п$ . Кольцо эндоморфизмов этого является порядком в кватернионная алгебра над рациональными числами и должен действовать на первую группу когомологий, которая должна быть двумерным векторным пространством над полем коэффициентов по аналогии со случаем комплексной эллиптической кривой. Однако кватернионная алгебра над рациональными числами не может действовать в двумерном векторном пространстве над рациональными числами. Тот же аргумент исключает возможность того, что поле коэффициентов является действительным числом или $п$ -адические числа, потому что алгебра кватернионов по-прежнему является алгеброй с делением над этими полями. Однако это не исключает возможности того, что поле коэффициентов является полем $л$ -адические числа для некоторых простых чисел $л \neq п$ , потому что над этими полями алгебра с делением разделяется и становится матричной алгеброй, которая может действовать в двумерном векторном пространстве. Гротендик и Майкл Артин удалось построить подходящие теории когомологий над полем $л$ -адические числа для каждого простого числа $л \neq п$ , называется $л$ -адические когомологии.

Доказательства Гротендиком трех из четырех гипотез

К концу 1964 года Гротендик вместе с Артином и Жан-Луи Вердье (и более ранняя работа Дворка 1960 года) доказали гипотезы Вейля помимо самой сложной третьей гипотезы, приведенной выше (гипотеза «гипотеза Римана») (Grothendieck 1965). Общие теоремы об этальных когомологиях позволили Гротендику доказать аналог формулы Лефшеца для неподвижной точки л-адическая теория когомологий и, применяя ее к автоморфизму Фробениуса F он смог доказать предполагаемую формулу для дзета-функции:

{ displaystyle zeta (s) = { frac {P_ {1} (T) cdots P_ {2n-1} (T)} {P_ {0} (T) P_ {2} (T) cdots P_ {2n} (T)}}}

где каждый многочлен п_я является определителем I - TF на л-адическая группа когомологий ЧАС^я.

Отсюда следует рациональность дзета-функции. Функциональное уравнение для дзета-функции следует из двойственности Пуанкаре для л-адические когомологии, а связь с комплексными числами Бетти лифта следует из теоремы сравнения между л-адические и обыкновенные когомологии сложных многообразий.

В более общем плане Гротендик доказал аналогичную формулу для дзета-функции (или «обобщенной L-функции») пучка F₀:

{ Displaystyle Z (X_ {0}, F_ {0}, t) = prod _ {x in | X_ {0} |} det (1-F_ {x} ^ {*} t ^ { deg (x)} | F_ {0}) ^ {- 1}}

как произведение над группами когомологий:

{ Displaystyle Z (X_ {0}, F_ {0}, t) = prod _ {i} det (1-F ^ {*} t | H_ {c} ^ {i} (F)) ^ { (-1) ^ {я + 1}}}

Частный случай постоянного пучка дает обычную дзета-функцию.

Первое доказательство гипотезы гипотезы Римана Делинем

Вердье (1974), Серр (1975), Кац (1976) и Фрайтаг и Киль (1988) дал пояснительные отчеты о первом доказательстве Делинь (1974). Большая часть фона в л-адические когомологии описаны в (Делинь 1977 ).

Первое доказательство Делиня оставшейся третьей гипотезы Вейля («гипотеза Римана») состояло из следующих шагов:

Использование карандашей Lefschetz

Гротендик выразил дзета-функцию в терминах следа Фробениуса на л-адические группы когомологий, поэтому гипотезы Вейля для d-размерное разнообразие V над конечным полем с q элементы зависят от показа того, что собственные значения α Фробениуса, действующего на яth л-адическая группа когомологий ЧАС^я(V) из V имеют абсолютные значения |α|=q^я/2 (для вложения алгебраических элементов Q_л в комплексные числа).
После взрыв V и расширяя базовое поле, можно считать, что многообразие V имеет морфизм на проективную прямую п¹, с конечным числом особых слоев с очень мягкими (квадратичными) особенностями. Теория монодромии Карандаши Lefschetz, введенный для комплексных многообразий (и обычных когомологий) формулой Лефшец (1924), и продлен Гротендик (1972) и Делинь и Кац (1973) к л-адические когомологии связывает когомологии V к его волокнам. Отношение зависит от пространства E_Икс из исчезающие циклыподпространство когомологий ЧАС^d−1(V_Икс) неособого слоя V_Икс, натянутые на классы, обращающиеся в нуль на особых слоях.
В Спектральная последовательность Лере связывает среднюю группу когомологий V когомологиям слоя и базы. Сложнее всего иметь дело с более или менее группой ЧАС¹(п¹, j_*E) = ЧАС¹
_c(U,E), куда U - точки проективной прямой с неособыми слоями, а j это включение U в проективную линию, и E пучок со слоями пространств E_Икс исчезающих циклов.

Ключевая оценка

Суть доказательства Делиня - показать, что сноп E над U чистым, другими словами, чтобы найти абсолютные значения собственных значений Фробениуса на его стеблях. Это делается путем изучения дзета-функций четных степеней E^k из E и применение формулы Гротендика для дзета-функций как альтернированных произведений над группами когомологий. Важнейшая идея рассмотреть даже k полномочия E был вдохновлен бумагой Ранкин (1939 ), который использовал аналогичную идею с k= 2 для ограничения Рамануджан тау функция. Ленглендс (1970, раздел 8) указал, что обобщение результата Ранкина для более высоких четных значений k означало бы Гипотеза Рамануджана, и Делинь понял, что в случае дзета-функций многообразий теория дзета-функций пучков Гротендика обеспечивает аналог этого обобщения.

Полюса дзета-функции E^k находятся по формуле Гротендика

{ Displaystyle Z (U, E ^ {k}, T) = { frac { det (1-F ^ {*} T | H_ {c} ^ {1} (E ^ {k}))} { det (1-F ^ {*} T | H_ {c} ^ {0} (E ^ {k})) det (1-F ^ {*} T | H_ {c} ^ {2} (E ^ {k}))}}}

и явно вычислить группы когомологий в знаменателе. В ЧАС⁰
_c срок обычно равен 1 как U обычно не компактный, и ЧАС²
_c можно вычислить явно следующим образом. Двойственность Пуанкаре связывает ЧАС²
_c(E^k) к ЧАС⁰
(E^k), которая, в свою очередь, является пространством ковариантов группы монодромии, которая является геометрической фундаментальной группой U действуя на волокна E^k в момент. Волокно E имеет билинейную форму, индуцированную чашка продукта, который антисимметричен, если d четный, и делает E в симплектическое пространство. (Это немного неточно: Делинь позже показал, что E∩E^⊥ = 0 с помощью жесткая теорема Лефшеца, для этого требуются гипотезы Вейля, а доказательство гипотез Вейля действительно должно использовать несколько более сложное рассуждение с E/E∩E^⊥ скорее, чем E.) Рассуждение Каждана и Маргулиса показывает, что образ группы монодромии, действующей на E, предоставленный Формула Пикара – Лефшеца, плотно по Зарискому в симплектической группе и, следовательно, имеет те же инварианты, которые хорошо известны из классической теории инвариантов. Отслеживание действия Фробениуса в этом вычислении показывает, что все его собственные значения равны q^k(d−1)/2+1, поэтому дзета-функция Z(E^k,Т) имеет полюса только на Т=1/q^k(d−1)/2+1.

Произведение Эйлера для дзета-функции E^k является

{ Displaystyle Z (E ^ {k}, T) = prod _ {x} { frac {1} {Z (E_ {x} ^ {k}, T)}}}

Если k является четное тогда все коэффициенты при множителях справа (рассматриваемые как степенные ряды в Т) находятся неотрицательный; это следует путем написания

{ displaystyle { frac {1} { det (1-T ^ { deg (x)} F_ {x} | E ^ {k})}} = exp left ( sum _ {n> 0 } { frac {T ^ {n}} {n}} { text {Trace}} (F_ {x} ^ {n} | E) ^ {k} right)}

и используя тот факт, что следы сил F рациональны, поэтому их k степени неотрицательны, поскольку k даже. Делинь доказывает рациональность следов, связывая их с количеством точек разнообразия, которые всегда являются (рациональными) целыми числами.

Серия степеней для Z(E^k, Т) сходится при Т меньше абсолютного значения 1 /q^k(d−1)/2+1 его единственно возможного полюса. Когда k является даже коэффициенты всех его факторов Эйлера неотрицательными, так что каждый из факторов Эйлера имеет коэффициенты, ограниченные константой, умноженной на коэффициенты Z(E^k, Т) и поэтому сходится в той же области и не имеет полюсов в этой области. Таким образом, для k даже многочлены Z(E^k
_Икс, Т) не имеют нулей в этой области, или, другими словами, собственных значений Фробениуса на стеблях E^k иметь абсолютное значение не более q^k(d−1)/2+1.
Эта оценка может использоваться, чтобы найти абсолютное значение любого собственного значения α Фробениуса на волокне E следующее. Для любого целого числа k, α^k - собственное значение Фробениуса на стебле E^k, который для k даже ограничен q^1+k(d−1)/2. Так

{ Displaystyle | альфа ^ {к} | leq q ^ {к (d-1) / 2 + 1}}

Поскольку это верно для произвольно больших даже k, это означает, что

{ Displaystyle | альфа | Leq q ^ {(d-1) / 2}.}

Двойственность Пуанкаре тогда следует, что

{ Displaystyle | альфа | = q ^ {(d-1) / 2}.}

Завершение доказательства

Вывод гипотезы Римана из этой оценки в основном представляет собой довольно прямое использование стандартных методов и выполняется следующим образом.

Собственные значения Фробениуса на ЧАС¹
_c(U,E) теперь можно оценить, поскольку они являются нулями дзета-функции пучка E. Эта дзета-функция может быть записана как произведение Эйлера дзета-функций стеблей E, а использование оценки собственных значений на этих стеблях показывает, что этот продукт сходится при |Т|<q^−d/2−1/2, так что в этой области нет нулей дзета-функции. Отсюда следует, что собственные значения Фробениуса на E самое большее q^d/2+1/2 по абсолютной величине (фактически скоро будет видно, что они имеют абсолютное значение именно q^d/2). Этот шаг аргументации очень похож на обычное доказательство того, что дзета-функция Римана не имеет нулей с действительной частью больше 1, путем записи ее в виде произведения Эйлера.
Вывод из этого состоит в том, что собственные значения α Фробениуса множества четных измерений d на средней группе когомологий удовлетворяют

{ Displaystyle | альфа | Leq д ^ {д / 2 + 1/2}}

Чтобы получить гипотезу Римана, нужно исключить 1/2 из экспоненты. Это можно сделать следующим образом. Применяя эту оценку к любой четной мощности V^k из V и используя Формула Кюннета показывает, что собственные значения Фробениуса на средних когомологиях многообразия V любого измерения d удовлетворить

{ Displaystyle | альфа ^ {к} | leq q ^ {kd / 2 + 1/2}}

Поскольку это верно для произвольно больших даже k, это означает, что

{ Displaystyle | альфа | leq q ^ {d / 2}}

Двойственность Пуанкаре тогда следует, что

{ Displaystyle | альфа | = q ^ {d / 2}.}

Это доказывает гипотезы Вейля для средних когомологий многообразия. Гипотезы Вейля для когомологий ниже средней размерности вытекают из этого с применением слабая теорема Лефшеца, а гипотезы для когомологий выше среднего измерения вытекают из двойственности Пуанкаре.

Второе доказательство Делиня

Делинь (1980) нашел и доказал обобщение гипотез Вейля, ограничивая веса прямого толчка пучка. На практике именно это обобщение, а не исходные гипотезы Вейля чаще всего используется в приложениях, таких как жесткая теорема Лефшеца. По большей части второе доказательство представляет собой перестановку идей его первого доказательства. Основная необходимая дополнительная идея - это аргумент, тесно связанный с теоремой Жак Адамар и Шарль Жан де ла Валле Пуссен, использованный Делинем, чтобы показать, что различные L-серии не имеют нулей с действительной частью 1.

Конструктивный пучок на многообразии над конечным полем называется чистым веса. β если по всем пунктам Икс собственные значения Фробениуса при Икс все имеют абсолютную ценность N(Икс)^β/2, и называется смешанной массой ≤β если его можно записать в виде повторяющихся расширений чистыми пучками с весами ≤β.

Теорема Делиня утверждает, что если ж является морфизмом схем конечного типа над конечным полем, то р^яж_! принимает смешанные пучки веса ≤β смешанным связкам массой ≤β+я.

Исходные гипотезы Вейля вытекают из того, что ж быть морфизмом из гладкого проективного многообразия в точку и учитывая постоянный пучок Q_л по разнообразию. Это дает верхнюю границу абсолютных значений собственных значений Фробениуса, а двойственность Пуанкаре показывает, что это также нижняя граница.

В целом р^яж_! не относит чистые связки к чистым связкам. Однако это происходит, когда имеет место подходящая форма двойственности Пуанкаре, например, если ж гладко и правильно, или если работает с извращенные снопы а не снопы, как в Бейлинсон, Бернштейн и Делинь (1982).

Вдохновленный работой Виттен (1982) на Теория Морса, Лаумон (1987) нашел другое доказательство, используя Делиня л-адическое преобразование Фурье, что позволило ему упростить доказательство Делиня, избегая использования метода Адамара и де ла Валле Пуссена. Его доказательство обобщает классический расчет абсолютной величины Суммы Гаусса используя тот факт, что норма преобразования Фурье имеет простую связь с нормой исходной функции. Киль и Вайссауэр (2001) использовали доказательство Лаумона как основу для изложения теоремы Делиня. Кац (2001) дал дальнейшее упрощение доказательства Лаумона, используя монодромию в духе первого доказательства Делиня. Кедлая (2006) дал другое доказательство с использованием преобразования Фурье, заменив этальные когомологии на жесткие когомологии.

Приложения

Делинь (1980) смог доказать жесткая теорема Лефшеца над конечными полями, используя его второе доказательство гипотез Вейля.
Делинь (1971) ранее показал, что Гипотеза Рамануджана-Петерсона следует из гипотез Вейля.
Делинь (1974), раздел 8) использовал гипотезы Вейля для доказательства оценок экспоненциальных сумм.
Ник Кац и Уильям Мессинг (1974 ) смогли доказать Стандартная гипотеза типа Кюннета над конечными полями, используя доказательство Делиня гипотез Вейля.

L-функции в теория чисел
Аналитические примеры	Дзета-функция Римана Дирихле L-функции L-функции персонажей Гекке Автоморфный L-функции Класс Сельберга
Алгебраические примеры	Дзета-функции Дедекинда Артин L-функции Хассе-Вайль L-функции Мотивный L-функции
Теоремы	Формула числа аналитических классов Формула Римана – фон Мангольдта Гипотезы Вейля
Аналитические догадки	Гипотеза Римана Обобщенная гипотеза Римана Гипотеза Линделёфа Гипотеза Рамануджана – Петерсона Гипотеза Артина
Алгебраические гипотезы	Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера Гипотеза Делиня Гипотезы Бейлинсона Гипотеза Блоха – Като Гипотеза Ленглендса
п-адический L-функции	Основная гипотеза теории Ивасавы Группа Сельмера Система Эйлера