Основная гипотеза теории Ивасавы - Main conjecture of Iwasawa theory

Основная гипотеза теории Ивасавы
ПолеАлгебраическая теория чисел
Теория Ивасавы
ПредполагаетсяКенкичи Ивасава
Предполагается в1969
Первое доказательствоБарри Мазур
Эндрю Уайлс
Первое доказательство в1984

В математика, то основная гипотеза теории Ивасавы это глубокие отношения между п-адический L-функции и идеальные группы классов из циклотомические поля, доказано Кенкичи Ивасава для простых чисел, удовлетворяющих Гипотеза Куммера – Вандивера и доказано для всех простых чисел Мазуром и Уайлсом (1984 ). В Теорема Эрбрана – Рибета. и Гипотеза Гра оба являются простыми следствиями основной гипотезы. Есть несколько обобщений основной гипотезы, чтобы полностью реальные поля, Поля CM, эллиптические кривые, и так далее.

Мотивация

Ивасава (1969a) частично мотивировано аналогией с Описание Вейля дзета-функции алгебраической кривой над конечное поле в терминах собственных значений Эндоморфизм Фробениуса на его Якобиева многообразие. По этой аналогии

  • Действие Фробениуса соответствует действию группы Γ.
  • Якобиан кривой соответствует модулю Икс над Γ, определенным в терминах групп классов идеалов.
  • Дзета-функция кривой над конечным полем соответствует п-адический L-функция.
  • Теорема Вейля, связывающая собственные значения Фробениуса с нулями дзета-функции кривой, соответствует основной гипотезе Ивасавы, касающейся действия Алгебра Ивасавы на Икс к нулям п-адическая дзета-функция.

История

Основная гипотеза теории Ивасавы была сформулирована как утверждение, что два метода определения п-адический L-функции (по теории модулей, по интерполяции) должны совпадать, насколько это четко определено. Это было доказано Мазур и Уайлс (1984) за Q, и для всех поля полностью действительных чисел к Уайлс (1990). Эти доказательства были построены по образцу Кен Рибет доказательство обратного к теореме Эрбрана ( Теорема Эрбрана – Рибета. ).

Карл Рубин нашел более элементарное доказательство теоремы Мазура – ​​Уайлса, используя Метод Тейна и Колывагина Системы Эйлера, описанный в Ланг (1990) и Вашингтон (1997), а позже доказал другие обобщения основной гипотезы для мнимых квадратичных полей.[1]

В 2014, Кристофер Скиннер и Эрик Урбан доказали несколько случаев основных гипотез для большого класса модульные формы.[2] Как следствие, для модульная эллиптическая кривая над рациональное число, они доказывают, что исчезновение Хассе-Вайль L-функция L(E, s) из E в s = 1 следует, что p-адический Группа Сельмера из E бесконечно. В сочетании с теоремами Валовой -Загир и Колывагин, это дало условное доказательство (на Гипотеза Тейта – Шафаревича ) гипотезы о том, что E имеет бесконечно много рациональных точек тогда и только тогда, когда L(E, 1) = 0, (слабая) форма Гипотеза Берча – Суиннертона-Дайера. Эти результаты были использованы Манджул Бхаргава, Скиннер и Вэй Чжан чтобы доказать, что положительная доля эллиптических кривых удовлетворяет Гипотеза Берча – Суиннертона-Дайера.[3][4]

Заявление

  • п - простое число.
  • Fп это поле Q(ζ) где ζ - корень из единицы порядка пп+1.
  • Γ - наибольшая подгруппа абсолютной группы Галуа группы F∞ изоморфен п-адические целые числа.
  • γ - топологическая образующая Γ
  • Lп это п-Поле класса Гильберта Fп.
  • ЧАСп группа Галуа Gal (Lп/Fп), изоморфная подгруппе элементов группы классов идеалов Fп чей порядок - сила п.
  • ЧАС∞ является обратным пределом групп Галуа ЧАСп.
  • V это векторное пространство ЧАС∞⊗ZпQп.
  • ω - это Teichmüller персонаж.
  • Vя является ωя собственное подпространство V.
  • часп(ωя,Т) - характеристический многочлен γ, действующий в векторном пространстве Vя
  • Lп это p-адическая L функция с Lп(ωя,1–k) = –Bk(ωя–k)/k, куда B это обобщенное число Бернулли.
  • ты - единственное p-адическое число, для которого γ (ζ) = ζты для всех p-степенных корней из единицы ζ
  • граммп это степенной ряд с граммп(ωя,тыs–1) = Lп(ωя,s)

Основная гипотеза теории Ивасавы, доказанная Мазуром и Уайлсом, гласит, что если я нечетное целое число, не конгруэнтное 1 mod п–1 то идеалы Zп – Т - создано часп(ωя,Т) и граммп(ω1–я,Т) равны.

Примечания

  1. ^ Манин и Панчишкин 2007, п. 246.
  2. ^ Скиннер и Урбан 2014 С. 1–277.
  3. ^ Бхаргава, Скиннер и Чжан 2014.
  4. ^ Бейкер 2014.

Источники