Алгебра Ивасавы - Iwasawa algebra

В математике Алгебра Ивасавы Λ (грамм) из проконечная группа грамм это вариант групповое кольцо из грамм с п-адический коэффициенты, которые принимают топологию грамм в учетную запись. Точнее, Λ (грамм) это обратный предел групповых колец Z_п(грамм/ЧАС) в качестве ЧАС проходит через открыто нормальные подгруппы из грамм. Коммутативные алгебры Ивасавы были введены Ивасава  (1959 ) в своем исследовании Z_п расширения в Теория Ивасавы, и некоммутативные алгебры Ивасавы компактных п-адические аналитические группы были представлены Лазард (1965).

Алгебра Ивасавы п-адические целые числа

В частном случае, когда проконечная группа грамм изоморфна аддитивной группе кольца п-адические целые числа Z_п, алгебра Ивасавы Λ (грамм) изоморфно кольцу формальный степенной ряд Z_п[[Т]] одной переменной над Z_п. Изоморфизм задается отождествлением 1 +Т с топологическим генератором грамм. Это кольцо является двумерным полный Нётерян обычное местное кольцо, и в частности уникальная область факторизации.

Это следует из Подготовительная теорема Вейерштрасса для формальных степенных рядов над полным локальным кольцом первичные идеалы этого кольца следующие:

• Высота 0: нулевой идеал.
• Рост 1: идеальный (п), а идеалы, порожденные неприводимыми выделенные многочлены (многочлены со старшим коэффициентом 1 и всеми остальными коэффициентами, кратными п).
• Рост 2: максимальный идеал (п,Т).

Конечно порожденные модули

В классифицировать конечно порожденного модуля - это количество раз, когда модуль Z_п[[Т]] происходит в нем. Это хорошо определено и аддитивно для коротких точных последовательностей конечно порожденных модулей. Ранг конечно порожденного модуля равен нулю тогда и только тогда, когда модуль является торсионным модулем, что происходит тогда и только тогда, когда размер носителя не превышает 1.

Многие из модулей над этой алгеброй, которые встречаются в теории Ивасавы, являются конечно порожденными модулями кручения. Строение таких модулей можно описать следующим образом. Квазиизоморфизм модулей - это гомоморфизм, ядро ​​и коядро которого являются конечными группами, другими словами, модули с носителем либо пустым, либо первичным идеалом высоты 2. Для любого конечно порожденного модуля кручения существует квазиизоморфизм конечной суммы модулей вида Z_п[[Т]]/(ж^п) куда ж является генератором простого идеала высоты 1. Более того, сколько раз любой модуль Z_п[[Т]]/(ж) входит в модуль, определен корректно и не зависит от композиционного ряда. Таким образом, торсионный модуль имеет характеристический степенной ряд, формальный степенной ряд, задаваемый произведением степенного ряда ж^п, которая определяется однозначно с точностью до умножения на единицу. Идеал, порожденный характеристическим степенным рядом, называется характерный идеал модуля Ивасава. В более общем смысле любой генератор характеристического идеала называется характеристическим степенным рядом.

В μ-инвариантный конечно-порожденного модуля кручения - это количество раз, когда модуль Z_п[[Т]]/(п) происходит в нем. Этот инвариант аддитивен на коротких точных последовательностях конечно порожденных модулей кручения (хотя он не аддитивен на коротких точных последовательностях конечно порожденных модулей). Он обращается в нуль тогда и только тогда, когда конечно порожденный модуль кручения конечно порожден как модуль над подкольцом Z_п. В λ-инвариантный - сумма степеней встречающихся выделенных многочленов. Другими словами, если модуль псевдоизоморфен

${\displaystyle \bigoplus _{i}\mathbf {Z} _{p}[\![T]\!]/(p^{\mu _{i}})\oplus \bigoplus _{j}\mathbf {Z} _{p}[\![T]\!]/(f_{j}^{m_{j}})}$

где ж_j - выделенные многочлены, то

${\displaystyle \mu =\sum _{i}\mu _{i}}$

и

${\displaystyle \lambda =\sum _{j}m_{j}\deg(f_{j}).}$

В терминах характеристического степенного ряда μ-инвариант является минимумом (п-адические) нормирования коэффициентов и λ-инварианта есть степень Т при котором этот минимум возникает впервые.

Если ранг, μ-инвариант и λ-инвариант конечно порожденного модуля равны нулю, то модуль конечен (и наоборот); другими словами, его основная абелева группа является конечной абелевой п-группа. Это конечно порожденные модули, размер носителя которых не превосходит 0. Такие модули артиновы и имеют точно определенную длину, которая конечна и аддитивна на коротких точных последовательностях.

Теорема Ивасавы

Напишите ν_п для элемента 1 + γ + γ²+ ... + γ^пп–1 где γ - топологическая образующая графа Γ. Ивасава (1959 ) показал, что если Икс - конечно порожденный модуль кручения над алгеброй Ивасавы и Икс/ ν_пИкс есть заказ п^е_п тогда

${\displaystyle e_{n}=\mu p^{n}+\lambda n+c}$

за п достаточно большие, где μ, λ и c зависеть только от Икс а не на п. Первоначальный аргумент Ивасавы был ad hoc, и Серр (1958) указал, что результат Ивасавы может быть выведен из стандартных результатов о структуре модулей над целозамкнутыми нётеровыми кольцами, такими как алгебра Ивасавы.

В частности, это относится к случаю, когда е_п это самая большая сила п деление порядка идеальной группы классов кругового поля, порожденного корнями из единицы порядка п^п+1. В Теорема Ферреро – Вашингтона утверждает, что в этом случае μ = 0.

Более высокие ранги и некоммутативные алгебры Ивасавы

Более общие алгебры Ивасавы имеют вид

${\displaystyle \Lambda (G):=\varprojlim _{H}\mathbf {Z} _{p}[G/H]}$

куда грамм компактный п-адическая группа Ли. Приведенный выше случай соответствует ${\displaystyle G=\mathbf {Z} _{p}}$. Классификация модулей над ${\displaystyle \Lambda (G)}$ с точностью до псевдоизоморфизма возможно в случае ${\displaystyle G=\mathbf {Z} _{p}^{n}.}$^[1]

Для некоммутативных грамм, ${\displaystyle \Lambda (G)}$-модули классифицируются до так называемых псевдо-нулевых модулей.^[2]

Рекомендации

1. Бурбаки, Николас (1972), Коммутативная алгебра, Париж: Герман, Теоремы 4, 5, §VII.4.4.
2. Коутс, Джон; Шнайдер, Питер; Суджата, Рамдораи (2003), "Модули над алгебрами Ивасавы", J. Inst. Математика. Жасси, 2 (1): 73–108, arXiv:математика / 0110342, Дои:10.1017 / S1474748003000045, Zbl  1061.11060

• Ардаков, К .; Браун, К. А. (2006), "Теоретико-кольцевые свойства алгебр Ивасавы: обзор", Documenta Mathematica: 7–33, arXiv:математика / 0511345, Bibcode:2005математика ..... 11345A, ISSN  1431-0635, МИСТЕР  2290583
• Ивасава, Кенкичи (1959), "О Г-расширениях полей алгебраических чисел", Бюллетень Американского математического общества, 65 (4): 183–226, Дои:10.1090 / S0002-9904-1959-10317-7, ISSN  0002-9904, МИСТЕР  0124316
• Лазар, Мишель (1965), "Groupes analytiques p-adiques", Публикации Mathématiques de l'IHÉS, 26 (26): 389–603, ISSN  1618-1913, МИСТЕР  0209286
• Нойкирх, Юрген; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), «Глава 5», Когомологии числовых полей, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323 (1-е изд.), Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66671-4, МИСТЕР  1737196, Zbl  0948.11001
• Серр, Жан-Пьер (1958), "Классы циклотомических исследований (d'après K. Iwasawa) Exp.174", Séminaire Bourbaki, Vol. 5, Париж: Société Mathématique de France, стр. 83–93, МИСТЕР  1603459