Программа Langlands - Langlands program

В математика, то Программа Langlands сеть далеко идущих и влиятельных догадки о связях между теория чисел и геометрия. Предложено Роберт Лэнглендс  (1967, 1970 ), он стремится связать Группы Галуа в алгебраическая теория чисел к автоморфные формы и теория представлений из алгебраические группы над местные поля и Адель. Программа Ленглендса, широко рассматриваемая как самый крупный проект в современных математических исследованиях, была описана Эдвард Френкель как «своего рода великую объединенную теорию математики».[1]

Задний план

В очень широком контексте программа строилась на существующих идеях: философия куспид-форм сформулированный несколькими годами ранее Хариш-Чандра и Гельфанд  (1963 ), работа и подход Хариш-Чандры к полупростые группы Ли, а с технической точки зрения формула следа из Сельберг и другие.

Что изначально было очень новым в работе Ленглендса, помимо технической глубины, так это предложенная прямая связь с теорией чисел вместе с предполагаемой богатой организационной структурой (так называемая функториальность ).

Например, в работе Хариш-Чандры можно найти принцип, согласно которому то, что можно сделать для одного полупростой (или редуктивный) Группа Ли, должно быть сделано для всех. Следовательно, как только роль некоторых низкоразмерных групп Ли, таких как GL (2), в теории модулярных форм была признана, и задним числом GL (1) в теория поля классов, была открыта дорога хотя бы к предположениям о GL (п) для общего п > 2.

В куспид идея вышла из порога на модульные кривые но также имел значение, видимое в спектральная теория так как "дискретный спектр ", в отличие от"непрерывный спектр " из Серия Эйзенштейна. Для больших групп Лжи это становится более техническим, потому что параболические подгруппы более многочисленны.

Во всех этих подходах не было недостатка в технических методах, часто индуктивных по своей природе и основанных на Разложения Леви помимо прочего, но эта область была и остается очень требовательной.[2]

А в части модульных форм были такие примеры, как Модульные формы Гильберта, Модульные формы Siegel, и тета-серия.

Объекты

Есть ряд связанных гипотез Ленглендса. Существует множество различных групп по множеству различных областей, для которых они могут быть сформулированы, и для каждой области существует несколько различных версий гипотез.[3] Некоторые версии[который? ] гипотез Ленглендса расплывчаты или зависят от таких объектов, как Группы Ленглендса, чье существование недоказано, или на L-группа, имеющая несколько неэквивалентных определений. Более того, гипотезы Ленглендса эволюционировали с тех пор, как Ленглендс впервые высказал их в 1967 году.

Существуют разные типы объектов, для которых могут быть сформулированы гипотезы Ленглендса:

  • Представления редуктивные группы над локальными полями (с разными подслучаями, соответствующими архимедовым локальным полям, п-адические локальные поля и дополнения функциональных полей)
  • Автоморфные формы на редуктивных группах над глобальными полями (с подслучаями, соответствующими числовым полям или функциональным полям).
  • Конечные поля. Ленглендс изначально не рассматривал этот случай, но его гипотезы имеют ему аналоги.
  • Более общие поля, такие как функциональные поля над комплексными числами.

Домыслы

Есть несколько различных способов сформулировать гипотезы Ленглендса, которые тесно связаны, но не очевидно эквивалентны.

Взаимность

Отправную точку программы можно рассматривать как Эмиль Артин с закон взаимности, который обобщает квадратичная взаимность. В Закон взаимности Артина относится к Расширение Галуа из поле алгебраических чисел чья Группа Галуа является абелевский; он назначает L-функции к одномерным представлениям этой группы Галуа, и утверждает, что эти L-функции идентичны определенным Дирихле L-серии или более общий ряд (т. е. некоторые аналоги Дзета-функция Римана ) построенный из Гекке персонажи. Точное соответствие между этими разными видами L-функции составляет закон взаимности Артина.

Для неабелевых групп Галуа и их многомерных представлений можно определить L-функционирует естественным образом: Артин L-функции.

Замысел Ленглендса заключался в том, чтобы найти правильное обобщение Дирихле. L-функции, которые позволили бы сформулировать утверждение Артина в этом более общем контексте. Гекке ранее связал Дирихле L-функции с автоморфные формы (голоморфные функции на верхней полуплоскости  ℂ  удовлетворяющие определенным функциональным уравнениям). Затем Ленглендс обобщил их на автоморфные каспидальные представления, которые являются некоторыми бесконечномерными неприводимыми представлениями общая линейная группа GL (п) над адель кольцо из  ℚ . (Это кольцо одновременно отслеживает все завершения  ℚ , увидеть п-адические числа.)

Ленглендс прикреплен автоморфный L-функции к этим автоморфным представлениям, и предположил, что каждый Артин L-функция, возникающая из конечномерного представления группы Галуа числовое поле равно одному, возникающему из автоморфного каспидального представления. Это известно как его "гипотеза взаимности ".

Грубо говоря, гипотеза взаимности устанавливает соответствие между автоморфными представлениями редуктивной группы и гомоморфизмами из Группа Ленглендс чтобы L-группа. Есть множество вариантов этого, отчасти потому, что определения группы Ленглендса и L-группа не фиксируется.

Над местные поля ожидается, что это даст параметризацию L-пакеты допустимых неприводимых представлений редуктивной группы над локальным полем. Например, по действительным числам это соответствие есть Классификация Ленглендса представлений действительных редуктивных групп. Над глобальные поля, он должен дать параметризацию автоморфных форм.

Функциональность

Гипотеза функториальности утверждает, что подходящий гомоморфизм L-группы должны давать соответствие между автоморфными формами (в глобальном случае) или представлениями (в локальном случае). Грубо говоря, гипотеза взаимности Ленглендса является частным случаем гипотезы функториальности, когда одна из редуктивных групп тривиальна.

Обобщенная функториальность

Ленглендс обобщил идею функториальности: вместо использования общей линейной группы GL (п), другие подключенные редуктивные группы может быть использован. Кроме того, учитывая такую ​​группу г, Ленглендс строит Лэнглендс двойной группа Lг, а затем для любого автоморфного каспидального представления г и всякое конечномерное представление Lг, он определяет L-функция. Одна из его гипотез гласит, что эти L-функции удовлетворяют определенному функциональному уравнению, обобщающему уравнения других известных L-функции.

Затем он формулирует очень общий «принцип функциональности». Учитывая две редуктивные группы и (хорошо себя ведет) морфизм между их соответствующими L-групп, эта гипотеза связывает их автоморфные представления способом, совместимым с их L-функции. Эта гипотеза функториальности влечет за собой все остальные выдвинутые до сих пор гипотезы. Это по природе индуцированное представление строительство - то, что в более традиционной теории автоморфные формы был назван 'подъем ', известна в частных случаях и поэтому ковариантна (тогда как ограниченное представительство контравариантно). Попытки указать прямую конструкцию дали лишь некоторые условные результаты.

Все эти гипотезы могут быть сформулированы для более общих полей вместо  ℚ : поля алгебраических чисел (оригинальный и самый главный случай), местные поля, и функциональные поля (конечные расширения из Fп(т) где п это премьер и Fп(т) - поле рациональных функций над конечное поле с п элементы).

Геометрические домыслы

Основная статья: Геометрическая корреспонденция Ленглендса

Так называемая геометрическая программа Ленглендса, предложенная Жерар Лаумон следующие идеи Владимир Дринфельд, возникает в результате геометрической переформулировки обычной программы Ленглендса, которая пытается связать больше, чем просто неприводимые представления. В простых случаях это относится л-адические представления этальная фундаментальная группа из алгебраическая кривая к объектам производная категория из л-адические связки на стек модулей из векторные пакеты по кривой.

Текущее состояние

Гипотезы Ленглендса для GL (1, K) следуют из (и по существу эквивалентны) теория поля классов.

Ленглендс доказал гипотезы Ленглендса для групп над архимедовыми локальными полями.  ℝ  и  ℂ  давая Классификация Ленглендса их неприводимых представлений.

Классификацию Люстига неприводимых представлений групп лиева типа над конечными полями можно рассматривать как аналог гипотез Ленглендса для конечных полей.

Эндрю Уайлс Доказательство модульности полустабильных эллиптических кривых над рациональными числами можно рассматривать как пример гипотезы взаимности Ленглендса, поскольку основная идея состоит в том, чтобы связать представления Галуа, возникающие из эллиптических кривых, с модулярными формами. Хотя результаты Уайлса были существенно обобщены во многих различных направлениях, полная гипотеза Ленглендса для GL (2,  ℚ  ) остается недоказанным.

В 1998 г. Лоран Лафорг доказано Теорема лафорга проверка гипотез Ленглендса для полной линейной группы GL (п, K) для функциональных полей K. Эта работа продолжила более ранние исследования Дринфельда, который доказал, что GL (2, K) в 1980-х гг.

В 2018 г. Винсент Лаффорг установил глобальное соответствие Ленглендса (направление от автоморфных форм к представлениям Галуа) для связных редуктивных групп над глобальными функциональными полями.[4][5][6]

Гипотезы местного Ленглендса

Основная статья: местные гипотезы Ленглендса

Филип Куцко  (1980 ) доказал местные гипотезы Ленглендса для полной линейной группы GL (2, K) над локальными полями.

Жерар Лаумон, Майкл Рапопорт, и Ульрих Штулер  (1993 ) доказал локальные гипотезы Ленглендса для полной линейной группы GL (п, K) для положительных характеристических локальных полей K. В их доказательстве используется глобальный аргумент.

Ричард Тейлор и Майкл Харрис  (2001 ) доказал локальные гипотезы Ленглендса для полной линейной группы GL (п, K) для локальных полей характеристики 0 K. Гай Хенниарт  (2000 ) дал еще одно доказательство. Оба доказательства используют глобальный аргумент. Питер Шольце  (2013 ) дал еще одно доказательство.

Основная лемма

Основная статья: Основная лемма (программа Ленглендса)

В 2008, Нго Бо Чау доказал "основная лемма ", который был первоначально выдвинут Ленглендсом и Шелстадом в 1983 году и необходим для доказательства некоторых важных гипотез в программе Ленглендса.[7][8]

Примечания

  1. ^ «Математический квартет объединяет усилия в области единой теории». Quanta. 8 декабря 2015 года.
  2. ^ Френкель, Эдвард (2013). Любовь и математика. ISBN  978-0-465-05074-1. Все это, как сказал папа, довольно тяжелое: у нас есть пространства модулей Хитчина, зеркальная симметрия, А-браны, B-браны, автоморфные связки ... От одной попытки уследить за ними может заболеть голова. Поверьте, даже среди специалистов мало кто знает гайки и болты всех элементов этой конструкции.
  3. ^ Френкель, Эдвард (2013), Любовь и математика: сердце скрытой реальности, Основные книги, стр. 77, ISBN  9780465069958, Программа Ленглендса теперь стала обширной темой. Над ним работает большое сообщество людей в разных областях: теория чисел, гармонический анализ, геометрия, теория представлений, математическая физика. Хотя они работают с очень разными объектами, все они наблюдают похожие явления.
  4. ^ Лафорг, В. «Штука для редуктивных групп и соответствие Ленглендса для функциональных полей». icm2018.org. arXiv:1803.03791. "альтернативный источник" (PDF). math.cnrs.fr.
  5. ^ Лаффорг, В. (2018). "Chtoucas pour les raductifs et paramétrisation de Langlands". Журнал Американского математического общества. 31: 719–891. arXiv:1209.5352.
  6. ^ Стро, Б. (январь 2016 г.). La paramétrisation de Langlands globale sur les corps des fonctions (d'après Vincent Lafforgue) (PDF). Séminaire Bourbaki 68ème année, 2015–2016, вып. 1110, Янвье 2016.
  7. ^ Чау, Нго Био (2010). "Lemme fondamental pour les algèbres de Lie". Публикации Mathématiques de l'IHES. 111: 1–169.
  8. ^ Лэнглендс, Роберт П. (1983). "Les débuts d'une formule des traces stable". U.E.R. de Mathématiques. Publications Mathématiques de l'Université Paris [Математические публикации Парижского университета]. Париж: Парижский университет. VII (13). Г-Н  0697567.

использованная литература

внешняя ссылка