Теорема лафорга - Lafforgues theorem

В математика, Теорема лафорга, из-за Лоран Лафорг, завершает Программа Langlands за общие линейные группы над поля алгебраических функций, давая соответствие между автоморфные формы на этих группах и представлениях Группы Галуа.

Гипотезы Ленглендса были введены Ленглендсом (1967, 1970 ) и описать соответствие между представлениями Группа Вейля из поле алгебраических функций и представления алгебраические группы над полем функций, обобщая теория поля классов функциональных полей от абелевых групп Галуа до неабелевых групп Галуа.

Гипотезы Ленглендса для GL1

Гипотезы Ленглендса для GL1(K) следуют из (и по существу эквивалентны) теория поля классов. Точнее Карта Артина дает отображение из группы классов идеелей в абелианизацию группы Вейля.

Автоморфные представления GLп(F)

Представления GLп(F), входящие в соответствие Ленглендса, являются автоморфными представлениями.

Теорема Лафорга для GLп(F)

Здесь F глобальное поле некоторой положительной характеристики п, а ℓ - некоторое простое число, не равное п.

Теорема Лафорга утверждает, что существует биекция σ между:

  • Классы эквивалентности каспидальных представлений π группы GLп(F), и
  • Классы эквивалентности неприводимых ℓ-адических представлений σ (π) размерности п абсолютной группы Галуа F

что сохраняет L-функция в любом месте F.

Доказательство теоремы Лафорга включает построение представления σ (π) абсолютной группы Галуа для каждого каспидального представления π. Идея сделать это - заглянуть в ℓ-адические когомологии набора модулей штукас ранга п которые имеют совместимые уровень N структуры для всех N. Когомологии содержат подфакторы вида

π⊗σ (π) ⊗σ (π)∨

которое можно использовать для построения σ (π) из π. Основная проблема состоит в том, что набор модулей не является конечным типом, что означает огромные технические трудности при изучении его когомологий.

Приложения

Из теоремы Лафорга следует Гипотеза Рамануджана – Петерсона что если автоморфная форма для GLп(F) имеет центральный характер конечного порядка, то соответствующие собственные значения Гекке в каждом неразветвленном месте имеют модуль 1.

Из теоремы Лафорга следует гипотеза Делинь (1980, 1.2.10), что неприводимая конечномерная л-адическое представление абсолютной группы Галуа с детерминантным характером конечного порядка чисто веса 0.

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка