Структура уровней (алгебраическая геометрия) - Level structure (algebraic geometry)

В алгебраическая геометрия, а структура уровней на Космос Икс это дополнительная структура, прикрепленная к Икс что сжимает или устраняет группа автоморфизмов из Икс, требуя от автоморфизмов сохранения структуры уровней; прикрепление уровневой структуры часто выражается как ожесточение геометрия Икс.^[1][2]

В приложениях при построении пространства модулей; пространство модулей часто строится как фактор. Наличие автоморфизмов затрудняет формирование частное; таким образом, введение структур уровней помогает преодолеть эту трудность.

Единого определения уровневой структуры не существует; скорее, в зависимости от места Иксвводится понятие уровневой структуры. Классический - на эллиптическая кривая (видеть # Пример: абелева схема ). Есть многоуровневая структура, прикрепленная к формальная группа называется Структура уровней Дринфельда, введенный в (Дринфельд 1974 ).^[3]

Уровневые конструкции на эллиптических кривых

Классические структуры уровней на эллиптических кривых ${\displaystyle E=\mathbb {C} /\Lambda }$ задаются решеткой, содержащей определяющую решетку многообразия. Из теории модулей эллиптических кривых все такие решетки можно описать как решетку ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \cdot \tau }$ за ${\displaystyle \tau \in {\mathfrak {h}}}$ в верхней полуплоскости. Тогда решетка, порожденная ${\displaystyle 1/n,\tau /n}$ дает решетку, содержащую все ${\displaystyle n}$-точки кручения на эллиптической кривой обозначены ${\displaystyle E[n]}$. Фактически, данная решетка инвариантна относительно ${\displaystyle \Gamma (n)\subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ действие на ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, куда

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (n)&={\text{ker}}({\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\to {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} /n))\\&=\left\{M\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} ):M\equiv {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\text{ (mod n)}}\right\}\end{aligned}}}$

следовательно, это дает точку в ${\displaystyle \Gamma (n)\backslash {\mathfrak {h}}}$^[4] называется пространством модулей структур уровня N эллиптических кривых ${\displaystyle Y(n)}$, который является модульная кривая. Фактически, это пространство модулей содержит немного больше информации: Спаривание Вейля

${\displaystyle e_{n}\left({\frac {1}{n}},{\frac {\tau }{n}}\right)=e^{2\pi i/n}}$

дает точку в ${\displaystyle n}$-й корень из единства, следовательно, в ${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$.

Пример: абелева схема

Позволять ${\displaystyle X\to S}$ быть абелева схема чьи геометрические волокна имеют размер грамм.

Позволять п - натуральное число, простое с полем вычетов каждого s в S. За п ≥ 2, а уровень п-структура это набор разделов ${\displaystyle \sigma _{1},\dots ,\sigma _{2g}}$ такой, что^[5]

1. для каждой геометрической точки ${\displaystyle s:S\to X}$, ${\displaystyle \sigma _{i}(s)}$ составляют основу группы по порядку ведения заседания п в ${\displaystyle {\overline {X}}_{s}}$,
2. ${\displaystyle m_{n}\circ \sigma _{i}}$ - тождественное сечение, где ${\displaystyle m_{n}}$ это умножение на п.

Смотрите также: модульная кривая # Примеры, набор модулей эллиптических кривых.

Смотрите также

• Модульная форма Siegel
• Жесткость (математика)
• Местная жесткость

Примечания

1. Мамфорд, Фогарти и Кирван 1994, Гл. 7.
2. Кац и Мазур 1985, Вступление
3. Deligne, P .; Хусемёллер, Д. (1987). «Обзор модулей Дринфельда» (PDF). Contemp. Математика. 67 (1): 25–91. Дои:10.1090 / conm / 067/902591.
4. Сильверман, Джозеф Х., 1955- (2009). Арифметика эллиптических кривых (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 439–445. ISBN  978-0-387-09494-6. OCLC  405546184.
5. Мамфорд, Фогарти и Кирван 1994, Определение 7.1.

Рекомендации

• Дринфельд В. (1974). «Эллиптические модули». Математика СССР Сборник. 23 (4): 561–592. Bibcode:1974SbMat..23..561D. Дои:10.1070 / см1974v023n04abeh001731.
• Кац, Николас М.; Мазур, Барри (1985). Арифметические модули эллиптических кривых. Princeton University Press. ISBN  0-691-08352-5.
• Харрис, Майкл; Тейлор, Ричард (2001). Геометрия и когомологии некоторых простых многообразий Шимуры. Анналы математических исследований. 151. Издательство Принстонского университета. ISBN  978-1-4008-3720-5.
• Мамфорд, Дэвид; Fogarty, J .; Кирван, Ф. (1994). Геометрическая теория инвариантов. Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете (2) [Результаты по математике и смежным областям (2)]. 34 (3-е изд.). Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-56963-3. МИСТЕР  1304906.

дальнейшее чтение

• Примечания к основным пакетам
• Дж. Лурье, Уровневые структуры на эллиптических кривых.