Модульная форма Гильберта - Hilbert modular form

В математика, а Модульная форма Гильберта является обобщением модульные формы к функциям двух или более переменных. Это (комплекс) аналитическая функция на м-складчатое произведение верхние полуплоскости ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ удовлетворение определенного вида функциональное уравнение.

Определение

Позволять F быть поле полностью действительных чисел степени м над рациональным полем. Позволять ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{m}}$ быть настоящие вложения из F. Через них у нас есть карта

${\displaystyle GL_{2}(F)\to GL_{2}(\mathbb {R} )^{m}.}$

Позволять ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$ быть кольцо целых чисел из F. Группа ${\displaystyle GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})}$ называется полная гильбертова модульная группа.Для каждого элемента ${\displaystyle z=(z_{1},\ldots ,z_{m})\in {\mathcal {H}}^{m}}$, есть групповое действие ${\displaystyle GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})}$ определяется ${\displaystyle \gamma \cdot z=(\sigma _{1}(\gamma )z_{1},\ldots ,\sigma _{m}(\gamma )z_{m})}$

За

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in GL_{2}(\mathbb {R} ),}$

определять:

${\displaystyle j(g,z)=\det(g)^{-1/2}(cz+d)}$

Модулярная форма веса Гильберта ${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{m})}$ является аналитической функцией на ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$ так что для каждого ${\displaystyle \gamma \in GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})}$

${\displaystyle f(\gamma z)=\prod _{i=1}^{m}j(\sigma _{i}(\gamma ),z_{i})^{k_{i}}f(z).}$

В отличие от случая модульной формы, для выступов не требуется дополнительных условий из-за Принцип Кехера.^{[сомнительный ]}

История

Эти модульные формы для действительные квадратичные поля, впервые были обработаны в 1901 г. Геттингенский университет Хабилитация из Отто Блюменталь. Там он упоминает, что Дэвид Гильберт первоначально рассматривал их в работе 1893–1843 годов, которая так и осталась неопубликованной. Работа Блюменталя была опубликована в 1903 году. По этой причине модульные формы Гильберта теперь часто называют Модульные формы Гильберта-Блюменталя.

Теория бездействовала несколько десятилетий; Эрих Хекке обращался к нему в своей ранней работе, но большой интерес к модульным формам Гильберта ожидал развития комплексное многообразие теория.

Смотрите также

• Модульная форма Siegel
• Модульная поверхность Гильберта

Рекомендации

• Ян Х. Брюинье: Модульные формы Гильберта и их приложения.
• Пол Б. Гарретт: Голоморфные модулярные формы Гильберта. Wadsworth & Brooks / Cole Advanced Books & Software, Пасифик Гроув, Калифорния, 1990. ISBN  0-534-10344-8
• Эберхард Фрайтаг: Модульные формы Гильберта. Springer-Verlag. ISBN  0-387-50586-5