Кубическая поверхность - Cubic surface

В математика, а кубическая поверхность представляет собой поверхность в трехмерном пространстве, определяемую одним многочлен уравнение степени 3. Кубические поверхности являются фундаментальными примерами в алгебраическая геометрия. Теория упрощается, работая в проективное пространство скорее, чем аффинное пространство, поэтому кубические поверхности обычно рассматриваются в проективном 3-пространстве ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$. Теория также становится более единообразной, если сосредоточить внимание на поверхностях над сложные числа а не действительные числа; обратите внимание, что сложная поверхность имеет реальный размер 4. Простым примером является Кубическая поверхность Ферма

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3}=0}$

в ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$. Многие свойства кубических поверхностей в целом сохраняются для поверхности дель Пеццо.

Гладкая кубическая поверхность (поверхность Клебша)

Рациональность кубических поверхностей

Центральная особенность гладкий кубические поверхности Икс над алгебраически замкнутое поле что они все рациональный, как показано Альфред Клебш в 1866 г.^[1] То есть существует взаимно однозначное соответствие, определяемое рациональные функции между проективной плоскостью ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ минус подмножество более низкой размерности и Икс минус подмножество более низкой размерности. В более общем смысле любая неприводимая кубическая поверхность (возможно, особая) над алгебраически замкнутым полем является рациональной, если она не является проективный конус над кубической кривой.^[2] В этом отношении кубические поверхности намного проще гладких поверхностей степени не ниже 4 дюйма. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$, которые никогда не бывают рациональными. В характеристика нулевые, гладкие поверхности степени не менее 4 дюймов ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ даже не uniruled.^[3]

Более того, Клебш показал, что каждая гладкая кубическая поверхность в ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ над алгебраически замкнутым полем изоморфна Взрывать из ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ на 6 баллов.^[4] В результате каждая гладкая кубическая поверхность над комплексными числами имеет вид диффеоморфный к связанная сумма ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}\#6(-\mathbf {CP} ^{2})}$, где знак минус означает изменение ориентация. И наоборот, взрыв ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ в 6 точках изоморфна кубической поверхности тогда и только тогда, когда точки находятся в общем положении, что означает, что никакие три точки не лежат на прямой и все 6 не лежат на конический. Как комплексное многообразие (или алгебраическое многообразие ) поверхность зависит от расположения этих 6 точек.

27 линий на кубической поверхности

Большинство доказательств рациональности кубических поверхностей начинается с поиска линии на поверхности. (В контексте проективной геометрии линия в ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ изоморфен ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$.) Точнее, Артур Кэли и Джордж Сэлмон в 1849 г. показал, что каждая гладкая кубическая поверхность над алгебраически замкнутым полем содержит ровно 27 прямых.^[5] Это отличительная черта кубик: гладкая поверхность квадрики (степени 2) покрывается непрерывным семейством прямых, в то время как большинство поверхностей степени не менее 4 в ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ не содержат строк. Другой полезный метод поиска 27 линий включает Исчисление Шуберта который вычисляет количество линий, используя теорию пересечений Грассманиан линий на ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$.

При изменении коэффициентов гладкой комплексной кубической поверхности 27 линий непрерывно перемещаются. В результате замкнутый цикл в семействе гладких кубических поверхностей определяет перестановка из 27 строк. В группа перестановок 27 линий, возникающих таким образом, называется группа монодромии семейства кубических поверхностей. Замечательное открытие XIX века заключалось в том, что группа монодромии не является ни тривиальной, ни целой симметричная группа ${\displaystyle S_{27}}$; это группа заказа 51840, игра актеров переходно на множестве линий.^[4] Эта группа постепенно получила признание (по Эли Картан (1896), Артур Кобл (1915-17), и Патрик дю Валь (1936)) как Группа Вейля типа ${\displaystyle E_{6}}$, группа, порожденная отражениями в 6-мерном реальном векторном пространстве, связанная с Группа Ли ${\displaystyle E_{6}}$ размерности 78.^[4]

Та же группа порядка 51840 может быть описана комбинаторными терминами, как группа автоморфизмов из график из 27 линий, с вершиной для каждой линии и ребром, когда встречаются две линии.^[6] Этот график был проанализирован в XIX веке с использованием таких подграфов, как Шлефли двойная шестерка конфигурация. Дополнительный граф (с ребром, когда две прямые не пересекаются) известен как Граф Шлефли.

Граф Шлефли

Многие задачи о кубических поверхностях могут быть решены с помощью комбинаторики ${\displaystyle E_{6}}$ корневая система. Например, 27 строк можно отождествить с веса фундаментального представления группы Ли ${\displaystyle E_{6}}$. Возможные наборы особенностей, которые могут возникнуть на кубической поверхности, могут быть описаны в терминах подсистем ${\displaystyle E_{6}}$ корневая система.^[7] Одно из объяснений этой связи состоит в том, что ${\displaystyle E_{6}}$ решетка возникает как ортогональное дополнение к антиканонический учебный класс ${\displaystyle -K_{X}}$ в Группа Пикард ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)\cong \mathbf {Z} ^{7}}$, с его формой пересечения (исходящей из теория пересечений кривых на поверхности). Для гладкой комплексной кубической поверхности решетку Пикара также можно отождествить с когомология группа ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbf {Z} )}$.

An Точка Эккардта это точка, где встречаются 3 из 27 линий. Большинство кубических поверхностей не имеют точки Эккарда, но такие точки встречаются на коразмерность -1 подмножество семейства всех гладких кубических поверхностей.^[8]

Учитывая отождествление кубической поверхности на Икс и взрыв ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ в 6 точках в общем положении 27 строк на Икс можно рассматривать как: 6 исключительных кривых, созданных раздуванием, бирациональные преобразования 15 линий через пары из 6 точек в ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$, и бирациональные преобразования шести коник, содержащих все 6 точек, кроме одной.^[9] Данную кубическую поверхность можно рассматривать как раздутие ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ более чем одним способом (фактически, 72 различными способами), поэтому описание как раздутие не обнаруживает симметрии между всеми 27 линиями.

Связь между кубическими поверхностями и ${\displaystyle E_{6}}$ корневая система обобщает отношение между всеми поверхностями дель Пеццо и корневыми системами. Это один из многих Классификации ADE по математике. Следуя этим аналогиям, Вера Серганова и Алексей Скоробогатов дали прямую геометрическую связь между кубическими поверхностями и группой Ли ${\displaystyle E_{6}}$.^[10]

В физике 27 линий можно отождествить с 27 возможными зарядами М-теория на шестимерном тор (6 импульсов; 15 мембраны; 6 Fivebranes ) и группа E₆ тогда естественно действует как U-дуальность группа. Эта карта между поверхности дель Пеццо и М-теория на торах известен как таинственная двойственность.

Специальные кубические поверхности

Гладкая сложная кубическая поверхность в ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ с наибольшей группой автоморфизмов является кубическая поверхность Ферма, определяемая формулой

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3}=0.}$

Его группа автоморфизмов является расширением ${\displaystyle 3^{3}:S_{4}}$, заказа 648.^[11]

Следующей наиболее симметричной гладкой кубической поверхностью является Поверхность Клебша, который можно определить в ${\displaystyle \mathbf {P} ^{4}}$ двумя уравнениями

${\displaystyle x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}=0.}$

Его группа автоморфизмов - это симметрическая группа ${\displaystyle S_{5}}$, порядка 120. После сложного линейного изменения координат поверхность Клебша также может быть определена уравнением

${\displaystyle x^{2}y+y^{2}z+z^{2}w+w^{2}x=0}$

в ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$.

Узловая кубическая поверхность Кэли

Среди особых комплексных кубических поверхностей Узловая кубическая поверхность Кэли - единственная поверхность с максимальным числом узлы, 4:

${\displaystyle wxy+xyz+yzw+zwx=0.}$

Его группа автоморфизмов ${\displaystyle S_{4}}$, порядка 24.

Реальные кубические поверхности

В отличие от комплексного случая, пространство гладких кубических поверхностей над действительными числами не является связаны в классическом топология (на основе топологии р). Его компоненты связности (другими словами, классификация гладких вещественных кубических поверхностей с точностью до изотопия) были определены Людвиг Шлефли (1863), Феликс Кляйн (1865), и Х. Г. Цойтен (1875).^[12] А именно, существует 5 изотопических классов гладких вещественных кубических поверхностей. Икс в ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$, отличающиеся топологией пространства реальные очки ${\displaystyle X(\mathbf {R} )}$. Пространство вещественных точек диффеоморфно либо ${\displaystyle W_{7},W_{5},W_{3},W_{1}}$, или несвязное объединение ${\displaystyle W_{1}}$ и 2-сфера, где ${\displaystyle W_{r}}$ обозначает связную сумму р копии реальная проективная плоскость ${\displaystyle \mathbf {RP} ^{2}}$. Соответственно, количество реальных строк, содержащихся в Икс равно 27, 15, 7, 3 или 3.

Гладкая вещественная кубическая поверхность рациональна над р тогда и только тогда, когда его пространство реальных точек связно, следовательно, в первых четырех из пяти предыдущих случаев.^[13]

Пространство модулей кубических поверхностей

Две гладкие кубические поверхности изоморфны как алгебраические многообразия тогда и только тогда, когда они эквивалентны некоторым линейным автоморфизмом ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$. Геометрическая теория инвариантов дает пространство модулей кубических поверхностей, с одной точкой для каждого класса изоморфизма гладких кубических поверхностей. Это пространство модулей имеет размерность 4. Точнее, это открытое подмножество взвешенное проективное пространство P (12345), Салмон и Клебш (1860). В частности, это рациональная четверка.^[14]

Конус кривых

Линии на кубической поверхности Икс над алгебраически замкнутым полем можно описать внутренне, без ссылки на вложение Икс в ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$: они именно те (−1) -кривые на Икс, то есть кривые, изоморфные ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$ которые имеют самопересечение −1. Кроме того, классы прямых в решетке Пикара Икс (или эквивалентно группа классов дивизоров ) - это именно элементы ты из Pic (Икс) такие, что ${\displaystyle u^{2}=-1}$ и ${\displaystyle -K_{X}\cdot u=1}$. (Это использует ограничение пучок линий гиперплоскости O (1) на ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ к Икс антиканоническое линейное расслоение ${\displaystyle -K_{X}}$, посредством формула присоединения.)

Для любого проективного многообразия Икс, то конус кривых означает выпуклый конус охватывает все кривые в Икс (в реальном векторном пространстве ${\displaystyle N_{1}(X)}$ 1-циклов по модулю числовой эквивалентности, или в группа гомологии ${\displaystyle H_{2}(X,\mathbf {R} )}$ если базовое поле - комплексные числа). Для кубической поверхности конус кривых натянут на 27 прямых.^[15] В частности, это рациональный многогранный конус в ${\displaystyle N_{1}(X)\cong \mathbf {R} ^{7}}$ с большой группой симметрии группа Вейля ${\displaystyle E_{6}}$. Аналогичное описание конуса кривых существует для любой поверхности дель Пеццо.

Кубические поверхности над полем

Гладкая кубическая поверхность Икс над полем k который не является алгебраически замкнутым, не обязательно должен быть рациональным над k. В крайнем случае - гладкие кубические поверхности над рациональное число Q (или p-адические числа ${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}}$) без рациональные точки, в таком случае Икс конечно не рационально.^[16] Если Икс(k) непусто, то Икс по крайней мере унирациональный над k, к Бениамино Сегре и Янош Коллар.^[17] За k бесконечна, унирациональность подразумевает, что множество k-рациональные точки Зариски плотный в Икс.

В абсолютная группа Галуа из k переставляет 27 строк Икс над алгебраическим замыканием ${\displaystyle {\overline {k}}}$ из k (через некоторую подгруппу группы Вейля группы ${\displaystyle E_{6}}$). Если некоторая орбита этого действия состоит из непересекающихся прямых, то X - раздутие «более простой» поверхности дель Пеццо над k на закрытой точке. Иначе, Икс имеет номер Пикара 1. (Группа Пикара Икс является подгруппой геометрической группы Пикара ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X_{\overline {k}})\cong \mathbf {Z} ^{7}}$.) В последнем случае Сегре показал, что Икс никогда не бывает рациональным. Сильнее, Юрий Манин доказал утверждение бирациональной жесткости: две гладкие кубические поверхности с числом Пикара 1 над идеальное поле k находятся бирациональный тогда и только тогда, когда они изоморфны.^[18] Например, эти результаты дают много кубических поверхностей над Q которые унирациональны, но не рациональны.

Смотрите также

• Алгебраическая поверхность
• Классификация Энриквеса-Кодаира
• Сорт Фано
• Исчисление Шуберта

Примечания

1. Рейд (1988), следствие 7.4.
2. Коллар, Смит, Корти (2004), пример 1.28.
3. Коллар, Смит, Корти (2004), упражнение 1.59.
4. Долгачев (2012), Глава 9, Исторические записки.
5. Рид (1988), раздел 7.6.
6. Hartshorne (1997), Упражнение V.4.11.
7. Брюс и Уолл (1979), раздел 4; Долгачев (2012), Таблица 9.1.
8. Долгачев (2012), раздел 9.1.4.
9. Хартсхорн (1997), теорема V.4.9.
10. Серганова и Скоробогатов (2007).
11. Долгачев (2012), Таблица 9.6.
12. Дегтярев, Харламов (2000), раздел 3.5.2. Различные типы реальных кубических поверхностей и линии на них изображены в Holzer & Labs (2006).
13. Силхол (1989), раздел VI.5.
14. Долгачев (2012), уравнение (9.57).
15. Хартсхорн (1997), теорема V.4.11.
16. Коллар, Смит, Корти (2004), упражнение 1.29.
17. Коллар, Смит, Корти (2004), теоремы 1.37 и 1.38.
18. Коллар, Смит, Корти (2004), теоремы 2.1 и 2.2.

Рекомендации

• Брюс, Дж. У .; Уолл, К. Т. С. (1979), «О классификации кубических поверхностей», Журнал Лондонского математического общества, 19 (2): 245–256, Дои:10.1112 / jlms / s2-19.2.245, ISSN  0024-6107, МИСТЕР  0533323
• Кэли, Артур (1849), «О тройных касательных плоскостях поверхностей третьего порядка», Cambridge and Dublin Math. Дж., 4: 118–138
• Кэли, Артур (1869), «Воспоминания о кубических поверхностях», Философские труды Лондонского королевского общества, Королевское общество, 159: 231–326, Дои:10.1098 / рстл.1869.0010, ISSN  0080-4614, JSTOR  108997
• Дегтярев, А. И .; Харламов, В.М. (2000), "Топологические свойства вещественных алгебраических многообразий: путь Рохлина", Российские математические обзоры, 55 (4): 735–814, arXiv:математика / 0004134, Дои:10.1070 / RM2000v055n04ABEH000315, МИСТЕР  1786731
• Долгачев Игорь (2012), Классическая алгебраическая геометрия: современный взгляд, Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9781139084437, ISBN  9781139084437, МИСТЕР  2964027
• Робин Хартшорн (1997) [1977]. Алгебраическая геометрия. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-90244-9. МИСТЕР  0463157.
• Хендерсон, Арчибальд (2015) [1911], Двадцать семь линий на кубической поверхности, Кембриджские трактаты по математике, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-1107493513, JFM  42.0661.01
• Хольцер, Стефан; Лаборатории, Оливер (2006), «Иллюстрируя классификацию реальных кубических поверхностей» (PDF), Алгебраическая геометрия и геометрическое моделирование, Springer, стр. 119–134, МИСТЕР  2279847
• Исковских, В.А. (2001) [1994], «Кубическая гиперповерхность», Энциклопедия математики, EMS Press
• Коллар, Янош; Смит, Карен Э.; Корти, Алессио (2004), Рациональные и почти рациональные разновидности, Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9780511734991, ISBN  978-0-521-83207-6, МИСТЕР  2062787, S2CID  117569533
• Манин Юрий Иванович (1986), Кубические формы, Математическая библиотека Северной Голландии, 4 (2-е изд.), Амстердам: Северная Голландия, ISBN  978-0-444-87823-6, МИСТЕР  0833513
• Рид, Майлз (1988). Бакалавриат алгебраической геометрии. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-35662-6. МИСТЕР  0982494.
• Шлефли, Людвиг (1863 г.), «О распределении поверхностей третьего порядка по видам в отношении отсутствия или наличия особых точек и реальности их линий», Философские труды Лондонского королевского общества, Королевское общество, 153: 193–241, Дои:10.1098 / рстл.1863.0010, ISSN  0080-4614, JSTOR  108795
• Сегре, Бениамино (1942), Неособые кубические поверхности, Oxford University Press, МИСТЕР  0008171
• Серганова Вера; Скоробогатов Алексей (2007), "Поверхности Дель Пеццо и теория представлений", Алгебра и теория чисел, 1 (4): 393–419, Дои:10.2140 / ant.2007.1.393, МИСТЕР  2368955
• Силхол, Роберт (1989), Вещественные алгебраические поверхности, Конспект лекций по математике, 1392, Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0088815, ISBN  3-540-51563-1, МИСТЕР  1015720

внешняя ссылка

• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., «Кубическая поверхность», Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
• Линии на кубической поверхности Райан Хобан (Лаборатория экспериментальной геометрии в Университете Мэриленда), основанный на работе Уильяма Голдмана, Демонстрационный проект Wolfram.
• В Кубические поверхности DVD (54 анимации кубических поверхностей, загружаемые отдельно или в виде DVD)