Конус кривых - Cone of curves

В математика, то конус кривых (иногда Клейман-Мори конус) алгебраическое многообразие ${displaystyle X}$ это комбинаторный инвариант важен для бирациональная геометрия из ${displaystyle X}$.

Определение

Позволять ${displaystyle X}$ быть правильный разнообразие. По определению (реальный) 1 цикл на ${displaystyle X}$ формальный линейная комбинация ${displaystyle C=sum a_{i}C_{i}}$ неприводимых, приведенных и собственных кривых ${displaystyle C_{i}}$, с коэффициентами ${displaystyle a_{i}in mathbb {R} }$. Числовая эквивалентность 1-циклов определяется пересечениями: два 1-цикла ${displaystyle C}$ и ${displaystyle C'}$ численно эквивалентны, если ${displaystyle Ccdot D=C'cdot D}$ для каждого Картье делитель ${displaystyle D}$ на ${displaystyle X}$. Обозначим реальное векторное пространство 1-циклов по модулю числовой эквивалентности на ${displaystyle N_{1}(X)}$.

Мы определяем конус кривых из ${displaystyle X}$ быть

${displaystyle NE(X)=left{sum a_{i}[C_{i}], 0leq a_{i}in mathbb {R} ight}}$

где ${displaystyle C_{i}}$ - неприводимые приведенные собственные кривые на ${displaystyle X}$, и ${displaystyle [C_{i}]}$ их классы в ${displaystyle N_{1}(X)}$. Нетрудно заметить, что ${displaystyle NE(X)}$ действительно выпуклый конус в смысле выпуклой геометрии.

Приложения

Одним из полезных применений понятия конуса кривых является Клейман условие, что говорит о том, что дивизор (Картье) ${displaystyle D}$ на полном разнообразии ${displaystyle X}$ является обильный если и только если ${displaystyle Dcdot x>0}$ для любого ненулевого элемента ${displaystyle x}$ в ${displaystyle {overline {NE(X)}}}$, замыкание конуса кривых в обычной вещественной топологии. (В целом, ${displaystyle NE(X)}$ не нужно закрывать, поэтому закрытие здесь важно.)

Более интересный пример - роль конуса кривых в теории минимальные модели алгебраических многообразий. Вкратце, цель этой теории такова: дано (слегка сингулярное) проективное многообразие ${displaystyle X}$, найдите (слегка особенное) многообразие ${displaystyle X'}$ который бирациональный к ${displaystyle X}$, и чья канонический делитель ${displaystyle K_{X'}}$ является неф. Великий прорыв начала 1980-х (благодаря Мори и др.) заключалась в построении (по крайней мере, морального) необходимого бирационального отображения из ${displaystyle X}$ к ${displaystyle X'}$ как последовательность шагов, каждый из которых можно рассматривать как сокращение ${displaystyle K_{X}}$-отрицательный экстремальный луч ${displaystyle NE(X)}$. Однако этот процесс сталкивается с трудностями, решение которых требует введения кувырок.

Структурная теорема

Вышеупомянутый процесс сжатия не мог продолжаться без фундаментального результата о структуре конуса кривых, известного как Теорема о конусе. Первая версия этой теоремы для гладкие сорта, связано с Мори; позже он был обобщен на более широкий класс разновидностей Коллар, Рид, Шокуров, и другие. Версия теоремы Мори такова:

Теорема о конусе. Позволять ${displaystyle X}$ быть гладким проективное разнообразие. потом

1. Есть счетно много рациональные кривые ${displaystyle C_{i}}$ на ${displaystyle X}$, удовлетворяющий ${displaystyle 0<-K_{X}cdot C_{i}leq operatorname {dim} X+1}$, и

${displaystyle {overline {NE(X)}}={overline {NE(X)}}_{K_{X}geq 0}+sum _{i}mathbf {R} _{geq 0}[C_{i}].}$

2. Для любого положительного действительного числа ${displaystyle epsilon }$ и любой обильный делитель ${displaystyle H}$,

${displaystyle {overline {NE(X)}}={overline {NE(X)}}_{K_{X}+epsilon Hgeq 0}+sum mathbf {R} _{geq 0}[C_{i}],}$

где сумма в последнем члене конечна.

Первое утверждение гласит, что в закрытое полупространство из ${displaystyle N_{1}(X)}$ где пересечение с ${displaystyle K_{X}}$ неотрицательна, мы ничего не знаем, но в дополнительном полупространстве конус натянут на некоторый счетный набор кривых, которые весьма особенные: они рациональный, и их «степень» очень сильно ограничена размерностью ${displaystyle X}$. Второе утверждение говорит нам больше: оно говорит, что вдали от гиперплоскости ${displaystyle {C:K_{X}cdot C=0}}$, экстремальные лучи конуса не могут накапливаться.

Если к тому же разнообразие ${displaystyle X}$ определена над полем характеристики 0, справедливо следующее утверждение, иногда называемое Теорема о сжатии:

3. Пусть ${displaystyle Fsubset {overline {NE(X)}}}$ - экстремальная грань конуса кривых, на которой ${displaystyle K_{X}}$ отрицательный. Тогда есть уникальный морфизм ${displaystyle operatorname {cont} _{F}:Xightarrow Z}$ к проективному многообразию Z, так что ${displaystyle (operatorname {cont} _{F})_{*}{mathcal {O}}_{X}={mathcal {O}}_{Z}}$ и неприводимая кривая ${displaystyle C}$ в ${displaystyle X}$ отображается в точку ${displaystyle operatorname {cont} _{F}}$ если и только если ${displaystyle [C]in F}$.(Смотрите также: морфизм сокращения ).

Рекомендации

• Лазарсфельд, Р., Положительность в алгебраической геометрии I, Springer-Verlag, 2004. ISBN  3-540-22533-1
• Коллар, Дж. И Мори, С., Бирациональная геометрия алгебраических многообразий., Издательство Кембриджского университета, 1998. ISBN  0-521-63277-3