Рациональное разнообразие - Rational variety

В математика, а рациональное разнообразие является алгебраическое многообразие, по заданному поле K, который бирационально эквивалентный к проективное пространство некоторого измерения над K. Это означает, что его функциональное поле изоморфен

{ displaystyle K (U_ {1}, dots, U_ {d}),}

поле всех рациональные функции для некоторого набора ${ displaystyle {U_ {1}, dots, U_ {d} }}$ из неопределенный, куда d это измерение разновидности.

Рациональность и параметризация

Позволять V быть аффинное алгебраическое многообразие измерения d определяется простым идеалом я = ⟨ж₁, ..., ж_k⟩ в ${ Displaystyle К [X_ {1}, точки, X_ {n}]}$ . Если V рационально, то есть п + 1 многочлен грамм₀, ..., грамм_п в ${ displaystyle K (U_ {1}, dots, U_ {d})}$ такой, что ${ displaystyle f_ {i} (g_ {1} / g_ {0}, ldots, g_ {n} / g_ {0}) = 0.}$ Другими словами, мы имеем рациональную параметризацию ${ displaystyle x_ {i} = { frac {g_ {i}} {g_ {0}}} (u_ {1}, ldots, u_ {d})}$ разновидности.

Наоборот, такая рациональная параметризация индуцирует гомоморфизм поля поля функций V в ${ displaystyle K (U_ {1}, dots, U_ {d})}$ . Но этот гомоморфизм не обязательно на. Если такая параметризация существует, то разнообразие называется унирациональный. Из теоремы Люрота (см. Ниже) следует, что унирациональные кривые рациональны. Теорема Кастельнуово следует также, что в нулевой характеристике любая унирациональная поверхность рациональна.

Вопросы рациональности

А вопрос рациональности спрашивает, есть ли данный расширение поля является рациональный, в смысле быть (с точностью до изоморфизма) функциональным полем рационального многообразия; такие расширения полей также описываются как чисто трансцендентный. Точнее, вопрос о рациональности расширение поля ${ displaystyle K subset L}$ это: это ${ displaystyle L}$ изоморфный к поле рациональных функций над ${ displaystyle K}$ в количестве неопределенностей, заданных степень трансцендентности ?

Есть несколько различных вариантов этого вопроса, связанных с тем, как поля ${ displaystyle K}$ и ${ displaystyle L}$ построены.

Например, пусть ${ displaystyle K}$ быть полем, и пусть

{ displaystyle {y_ {1}, dots, y_ {n} }}

быть неопределенным по K и разреши L быть полем, созданным над K ими. Рассмотрим конечная группа ${ displaystyle G}$ переставляя те неопределенный над K. По стандарту Теория Галуа, набор фиксированные точки этого групповое действие это подполе из ${ displaystyle L}$ , обычно обозначается ${ Displaystyle L ^ {G}}$ . Вопрос о рациональности ${ Displaystyle К подмножество L ^ {G}}$ называется Проблема Нётер и спрашивает, является ли это поле неподвижных точек чисто трансцендентным расширением KВ статье (Нётер 1918 ) на Теория Галуа она изучала проблему параметризации уравнений с заданной группой Галуа, которую свела к «проблеме Нётер». (Впервые она упомянула об этой проблеме в (Нётер 1913 ), где она приписала проблему Э. Фишеру.) Она показала, что это верно для п = 2, 3 или 4. Р. Дж. Свон (1969 ) нашел контрпример к проблеме Нётер с п = 47 и грамм циклическая группа порядка 47.

Теорема Люрота

Знаменитый случай Проблема Люрота, который Якоб Люрот решена в девятнадцатом веке. Проблема Люрота касается подрасширений L из K(Икс) рациональные функции в единственном неопределенном Икс. Любое такое поле либо равно K или также рационально, т.е. L = K(F) для некоторой рациональной функции F. С геометрической точки зрения это означает, что непостоянная рациональная карта от проективная линия к кривой C может произойти только когда C также имеет род 0. Этот факт можно определить геометрически по Формула Римана – Гурвица.

Хотя теорему Люрота часто считают неэлементарным результатом, несколько элементарных коротких доказательств были обнаружены уже давно. Эти простые доказательства используют только основы теории поля и лемму Гаусса для примитивных многочленов (см., Например,^[1]).

Унирациональность

А унирациональное разнообразие V над полем K есть одно, в котором доминирует рациональное многообразие, так что его функциональное поле K(V) лежит в чистом трансцендентном поле конечного типа (которое может быть выбрано конечной степени над K(V) если K бесконечно). Решение проблемы Люрота показывает, что для алгебраических кривых рациональное и унирациональное одинаковы, и Теорема Кастельнуово следует, что для сложных поверхностей унирациональность влечет рациональность, поскольку обе характеризуются обращением в нуль как арифметический род а второй Plurigenus. Зариский нашел несколько примеров (Поверхности Зарисского ) в характеристике п > 0, которые унирациональны, но не рациональны. Клеменс и Гриффитс (1972) показал, что кубический тройной в общем случае не является рациональным разнообразием, являясь примером для трех измерений, что унирациональность не предполагает рациональности. В их работе использовалась промежуточный якобиан. Исковских и Манин (1971) показал, что все неособые четвертичные тройки иррациональны, хотя некоторые из них унирациональны. Артин и Мамфорд (1972) нашли некоторые унирациональные трехмерные многообразия с нетривиальным кручением в своей третьей группе когомологий, из чего следует, что они не рациональны.

Для любого поля K, Янош Коллар в 2000 г. доказал, что гладкая кубическая гиперповерхность размерности не менее 2 унирационально, если в нем есть точка, определенная над K. Это улучшение многих классических результатов, начиная со случая кубические поверхности (которые являются рациональными многообразиями над алгебраическим замыканием). Другими примерами многообразий, которые оказываются унирациональными, являются многие случаи пространство модулей кривых.^[2]

Рационально связанное разнообразие

А рационально связанное разнообразие (или же однотонный сорт) V это проективное алгебраическое многообразие над алгебраически замкнутым полем такое, что через каждые две точки проходит образ обычная карта от проективная линия в V. Эквивалентно, многообразие рационально связно, если каждые две точки соединены рациональная кривая содержится в разнообразии.^[3]

Это определение отличается от определения связность путей только по природе пути, но очень отличается, поскольку единственные алгебраические кривые, которые связаны рационально, являются рациональными.

Всякое рациональное разнообразие, включая проективные пространства, рационально связно, но обратное неверно. Таким образом, класс рационально связных многообразий является обобщением класса рациональных многообразий. Унирациональные многообразия рационально связны, но не известно, верно ли обратное.

Стабильно рациональные сорта

Разнообразие V называется стабильно рациональный если ${ Displaystyle V times mathbf {P} ^ {m}}$ рационально для некоторых ${ Displaystyle м geq 0}$ . Таким образом, любое рациональное разнообразие по определению стабильно рационально. Примеры построены Beauville et al. (1985) показать, что обратное неверно.

Шрайдер (2018) показал это очень общее гиперповерхности ${ Displaystyle V подмножество mathbf {P} ^ {N + 1}}$ не являются стабильно рациональными при условии, что степень из V по крайней мере ${ displaystyle log _ {2} N + 2}$ .

Смотрите также

Примечания

^ Бенсимхаун, Майкл (май 2004 г.). «Еще одно элементарное доказательство теоремы Люрота» (PDF). Иерусалим. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
^ Янош Коллар (2002). «Унирациональность кубических гиперповерхностей». Журнал Института математики Жасси. 1 (3): 467–476. arXiv:математика / 0005146. Дои:10.1017 / S1474748002000117. МИСТЕР 1956057.
^ Коллар, Янош (1996), Рациональные кривые на алгебраических многообразиях, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag.