Проективная линия - Projective line

В математика, а проективная линия грубо говоря, является продолжением обычного линия точкой, называемой точка в бесконечности. Формулировка и доказательство многих теорем геометрии упрощаются за счет исключения частных случаев; например, две различные проективные прямые в проективная плоскость встречаются ровно в одной точке («параллельного» случая не бывает).

Есть много эквивалентных способов формального определения проективной линии; одним из наиболее распространенных является определение проективной прямой над поле K, обычно обозначаемый п¹(K), как множество одномерных подпространства двумерного K-векторное пространство. Это определение является частным случаем общего определения проективное пространство.

Однородные координаты

Произвольная точка проективной прямой п¹(K) может быть представлен класс эквивалентности из однородные координаты, которые имеют вид пары

{ displaystyle [x_ {1}: x_ {2}]}

элементов K оба не равны нулю. Две такие пары эквивалент если они отличаются ненулевым общим множителем λ:

{ displaystyle [x_ {1}: x_ {2}] sim [ lambda x_ {1}: lambda x_ {2}].}

Линия продолжается бесконечно удаленной точкой

Проективную линию можно отождествить с линией K продлен точка в бесконечности. Точнее линия K можно отождествить с подмножеством п¹(K) предоставлено

{ Displaystyle left {[x: 1] in mathbf {P} ^ {1} (K) mid x in K right }.}

Это подмножество охватывает все точки в п¹(K) кроме одного, который называется точка в бесконечности:

{ displaystyle infty = [1: 0].}

Это позволяет расширить арифметику на K к п¹(K) по формулам

{ displaystyle { frac {1} {0}} = infty, qquad { frac {1} { infty}} = 0,}

{ Displaystyle х cdot infty = infty quad { text {if}} quad x not = 0}

{ displaystyle x + infty = infty quad { text {if}} quad x not = infty}

Перевод этой арифметики в однородные координаты дает, когда [0 : 0] не происходит:

{ displaystyle [x_ {1}: x_ {2}] + [y_ {1}: y_ {2}] = [(x_ {1} y_ {2} + y_ {1} x_ {2}): x_ { 2} г_ {2}],}

{ displaystyle [x_ {1}: x_ {2}] cdot [y_ {1}: y_ {2}] = [x_ {1} y_ {1}: x_ {2} y_ {2}],}

{ displaystyle [x_ {1}: x_ {2}] ^ {- 1} = [x_ {2}: x_ {1}].}

Примеры

Реальная проективная линия

Проективная линия над действительные числа называется реальная проективная линия. Его также можно рассматривать как линию K вместе с идеализированным точка в бесконечности ∞; точка соединяется с обоими концами K создание замкнутого контура или топологического круга.

Пример получается путем проецирования точек в р² на единичный круг а потом идентификация диаметрально противоположный точки. С точки зрения теория групп мы можем взять частное на подгруппа {1, −1}.

Сравните расширенная строка действительных чисел, который различает ∞ и −∞.

Комплексная проективная линия: сфера Римана

Добавление бесконечно удаленной точки к комплексная плоскость приводит к пространству, которое топологически сфера. Следовательно, комплексная проективная линия также известна как Сфера Римана (или иногда Сфера Гаусса). Постоянно используется в комплексный анализ, алгебраическая геометрия и комплексное многообразие теории, как простейший пример компактная риманова поверхность.

Для конечного поля

Проективная прямая над конечное поле F_q из q элементы имеют q + 1 точки. Во всем остальном он не отличается от проективных линий, определенных для других типов полей. В терминах однородных координат [Икс : у], q из этих точек имеют вид:

[а : 1]

для каждого

а

в

F q

,

а остальные точка в бесконечности может быть представлен как [1: 0].

Группа симметрии

В общем, группа омографии с коэффициенты в K действует на проективной прямой п¹(K). Этот групповое действие является переходный, так что п¹(K) это однородное пространство для группы, часто пишется PGL₂(K), чтобы подчеркнуть проективный характер этих преобразований. Транзитивность говорит, что существует гомография, которая преобразует любую точку Q в любую другую точку р. В точка в бесконечности на п¹(K) поэтому артефакт выбора координат: однородные координаты

{ displaystyle [X: Y] sim [ lambda X: lambda Y]}

выразить одномерное подпространство одной ненулевой точкой (Икс, Y) лежащий в нем, но симметрия проективной прямой может сдвинуть точку ∞ = [1 : 0] к любому другому, и это ничем не отличается.

Верно гораздо больше того, что некоторая трансформация может принимать любые данные отчетливый точки Q_я за я = 1, 2, 3 к любой другой тройке р_я различных точек (тройная транзитивность). Этот объем спецификации «использует» три измерения PGL.₂(K); другими словами, групповое действие резко 3-переходный. Вычислительный аспект этого - перекрестное соотношение. В самом деле, верно обобщенное обратное: точно 3-транзитивное групповое действие всегда (изоморфно) обобщенной форме PGL₂(K) действие на проективной прямой, заменяя «поле» на «KT-поле» (обобщая обратное до более слабого вида инволюции), а «PGL» - соответствующим обобщением проективных линейных отображений.^[1]

Как алгебраическая кривая

Проективная линия является фундаментальным примером алгебраическая кривая. С точки зрения алгебраической геометрии, п¹(K) это неособый кривая род 0. Если K является алгебраически замкнутый, это единственная такая кривая над K, вплоть до рациональная эквивалентность. В общем случае (неособая) кривая рода 0 рационально эквивалентна над K к конический C, которая сама по себе бирационально эквивалентна проективной прямой тогда и только тогда, когда C имеет точку, определенную над K; геометрически такая точка п может использоваться в качестве источника, чтобы явно указать бирациональную эквивалентность.

В функциональное поле проективной линии - это поле K(Т) из рациональные функции над K, в единственном неопределенном Т. В полевые автоморфизмы из K(Т) над K в точности группа PGL₂(K) обсуждалось выше.

Любое функциональное поле K(V) из алгебраическое многообразие V над K, кроме одной точки, имеет подполе, изоморфное K(Т). С точки зрения бирациональная геометрия, это означает, что будет рациональная карта из V к п¹(K), что не является постоянным. Изображение будет опускать только конечное количество точек п¹(K), и прообраз типичной точки п будет иметь размер тусклый V − 1. Это начало методов алгебраической геометрии, индуктивных по размерности. Рациональные карты играют роль, аналогичную мероморфные функции из комплексный анализ, и действительно в случае компактные римановы поверхности эти два понятия совпадают.

Если V теперь считается размерностью 1, мы получаем картину типичной алгебраической кривой C представлен "за" п¹(K). Предполагая C неособен (что не умаляет общности, начиная с K(C)), можно показать, что такое рациональное отображение из C к п¹(K) фактически везде будет определено. (Это не так, если есть особенности, поскольку, например, двойная точка где кривая пересекает себя может дать неопределенный результат после рациональной карты.) Это дает картину, в которой главный геометрический элемент разветвление.

Многие кривые, например гиперэллиптические кривые, можно представить абстрактно, как разветвленные обложки проекционной линии. Согласно Формула Римана – Гурвица тогда род зависит только от типа ветвления.

А рациональная кривая кривая, которая бирационально эквивалентный на проективную линию (см. рациональное разнообразие ); это род равно 0. A рациональная нормальная кривая в проективном пространстве P^п - рациональная кривая, не лежащая в собственном линейном подпространстве; известно, что есть только один пример (с точностью до проективной эквивалентности),^[2] задается параметрически в однородных координатах как

[1 : т : т² : ... : т^п].

Видеть витая кубическая за первый интересный случай.