Формула ELSV - ELSV formula

В математике Формула ELSV, названный в честь четырех авторов Торстен Экедаль, Сергей Ландо, Майкл Шапиро, Алек Вайнштейн, есть равенство между числом Гурвица (считая разветвленные покрытия сферы) и интеграл по пространство модулей устойчивых кривых.

Несколько фундаментальных результатов в теория пересечений пространств модулей кривых можно вывести из формулы ELSV, включая Гипотеза Виттена, то Ограничения Вирасоро, а ${\displaystyle \lambda _{g}}$-гипотеза.

Он обобщается Формула Гопакумара – Мариньо – Вафа.

Формула

Определить Число Гурвица

${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

как количество разветвленных покрытий комплексной проективной прямой (Сфера Римана, ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ))}$ которые являются связными кривыми рода грамм, с п пронумерованные прообразы точка в бесконечности имеющий множественность ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$ и м более простой точки разветвления. Здесь, если покрытие имеет нетривиальную группу автоморфизмов грамм это следует считать с весом ${\displaystyle 1/|G|}$.

Затем формула ELSV выглядит так:

${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}={\dfrac {m!}{\#{\text{Aut}}(k_{1},\ldots ,k_{n})}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {k_{i}^{k_{i}}}{k_{i}!}}\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}.}$

Обозначения здесь следующие:

• ${\displaystyle g\geq 0}$ - целое неотрицательное число;
• ${\displaystyle n\geq 1}$ положительное целое число;
• ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$ положительные целые числа;
• ${\displaystyle \#\operatorname {Aut} (k_{1},\ldots ,k_{n})}$ - количество автоморфизмов ппара ${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{n});}$
• ${\displaystyle m=\sum k_{i}+n+2g-2;}$
• ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ это пространство модулей из стабильные кривые рода грамм с п отмеченные точки;
• E это Векторный набор Ходжа и c (E *) Общая Черн класс его двойственного векторного расслоения;
• ψ_я является первым классом Черна расслоения кокасательных прямых к я-я отмеченная точка.

Цифры

${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

в левой части имеют комбинаторное определение и удовлетворяют свойствам, которые могут быть доказаны комбинаторно. Каждое из этих свойств переводится в утверждение об интегралах в правой части формулы ELSV (Казарян 2009 ).

Числа Гурвица

Числа Гурвица

${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

также есть определение в чисто алгебраических терминах. С K = k₁ + ... + k_п и м = K + п + 2грамм - 2, пусть τ₁, ..., τ_м быть транспозициями в симметрической группе S_K и σ перестановка с п пронумерованные циклы длин k₁, ..., k_п. потом

${\displaystyle (\tau _{1},\dots ,\tau _{m},\sigma )}$

транзитивная факторизация тождества типа (k₁, ..., k_п) если товар

${\displaystyle \tau _{1}\cdots \tau _{m}\sigma }$

равна тождественной перестановке, а группа, порожденная

${\displaystyle \tau _{1},\dots ,\tau _{m}}$

является переходный.

Определение. ${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$ - номер транзитивной факторизации идентичности типа (k₁, ..., k_п) деленное на K!.

Пример А. Номер ${\displaystyle h_{g;k}}$ равно 1 /k! умноженное на количество списков транспозиций ${\displaystyle (\tau _{1},\dots ,\tau _{k+2g-1})}$ чей продукт k-цикл. Другими словами, ${\displaystyle h_{g;k}}$ равно 1 /k умноженное на количество факторизаций данного k-циклировать в продукт k + 2грамм - 1 переложение.

Эквивалентность между двумя определениями чисел Гурвица (подсчет разветвленных покрытий сферы или подсчет транзитивных факторизаций) устанавливается путем описания разветвленного покрытия его монодромия. Точнее: выберите на сфере базовую точку, пронумеруйте ее прообразы от 1 до K (это вводит фактор K!, что и объясняет деление им), и рассмотрим монодромии покрытия около точки ветвления. Это приводит к транзитивной факторизации.

Интеграл по пространству модулей

Пространство модулей ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ гладкий Стек Делин-Мамфорд (комплексного) измерения 3грамм − 3 + п. (Эвристически это ведет себя во многом как комплексное многообразие, за исключением того, что интегралы характеристических классов, которые являются целыми числами для многообразий, являются рациональными числами для стеков Делиня – Мамфорда.)

В Комплект Ходжа E это звание грамм векторное расслоение над пространством модулей ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ слой над кривой (C, Икс₁, ..., Икс_п) с п отмеченные точки - это пространство абелевы дифференциалы на C. Его классы Черна обозначаются

${\displaystyle \lambda _{j}=c_{j}(E)\in H^{2j}({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n},\mathbf {Q} ).}$

У нас есть

${\displaystyle c(E^{*})=1-\lambda _{1}+\lambda _{2}-\cdots +(-1)^{g}\lambda _{g}.}$

Ψ-классы. Представьте линейные пакеты ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{1},\ldots ,{\mathcal {L}}_{n}}$ над ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$. Волокно ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{i}}$ по кривой (C, Икс₁, ..., Икс_п) - котангенс к C в Икс_я. Первый класс Черна ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{i}}$ обозначается

${\displaystyle \psi _{i}=c_{1}({\mathcal {L}}_{i})\in H^{2}({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n},\mathbf {Q} ).}$

Подынтегральное выражение. Фракция ${\displaystyle 1/(1-k_{i}\psi _{i})}$ интерпретируется как ${\displaystyle 1+k_{i}\psi _{i}+k_{i}^{2}\psi _{i}^{2}+\cdots }$, где сумму можно сократить до степени 3грамм − 3 + п (размерность пространства модулей). Таким образом, подынтегральное выражение является продуктом п +1 фактор. Расширяем этот продукт, извлекаем из него часть степени 3грамм − 3 + п и проинтегрируем по пространству модулей.

Интеграл как полином. Отсюда следует, что интеграл

${\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}}$

- симметричный многочлен от переменных k₁, ..., k_п, мономы которого имеют степени между 3грамм − 3 + п и 2грамм − 3 + п. Коэффициент при мономе ${\displaystyle k_{1}^{d_{1}}\cdots k_{n}^{d_{n}}}$ равно

${\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}(-1)^{j}\lambda _{j}\psi _{1}^{d_{1}}\cdots \psi _{n}^{d_{n}},}$

куда

${\displaystyle j=3g-3-n-\sum d_{i}.}$

Замечание. Полиномиальность чисел

${\displaystyle {\frac {h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}{m!}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {k_{i}!}{k_{i}^{k_{i}}}}}$

была впервые высказана И. П. Гоулденом и Д. М. Джексоном. Никаких доказательств, независимых от формулы ELSV, не известно.

Пример Б. Позволять грамм = п = 1. Тогда

${\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}=\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}{\frac {1-\lambda _{1}}{1-k_{1}\psi _{1}}}=\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}\right]k_{1}-\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}\right].}$

Пример

Позволять п = грамм = 1. Для упрощения обозначений обозначим k₁ к k. У нас есть м = K + п + 2грамм − 2 = k + 1.

Согласно примеру B формула ELSV в этом случае имеет вид

${\displaystyle h_{1;k}=(k+1)!{\frac {k^{k}}{k!}}\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}{\frac {1-\lambda _{1}}{1-k\psi _{1}}}=(k+1)k^{k}\left\{\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}\right]k-\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}\right]\right\}.}$

С другой стороны, согласно примеру А, число Гурвица час_{1, k} равно 1 /k умноженное на количество способов разложить k-цикл в симметричной группе S_k в продукт k + 1 транспозиций. Особенно, час_{1, 1} = 0 (так как в S₁), пока час_{1, 2} = 1/2 (поскольку имеется единственная факторизация транспозиции (1 2) в S₂ в произведение трех транспозиций).

Подставляя эти два значения в формулу ELSV, мы находим

${\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}=\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}={\frac {1}{24}}.}$

Из чего мы выводим

${\displaystyle h_{1;k}={\frac {(k^{2}-1)k^{k}}{24}}.}$

История

Формула ELSV была объявлена Ekedahl et al. (1999), но с ошибочным знаком. Фантечи и Пандхарипанде (2002) доказал это для k₁ = ... = k_п = 1 (с исправленным знаком). Грабер и Вакил (2003) доказал формулу в полной общности, используя методы локализации. Доказательство, объявленное четырьмя первоначальными авторами, последовало (Ekedahl et al. 2001 г. ). Теперь, когда пространство стабильных отображений на проективную прямую относительно точки построено Ли (2001), доказательство можно получить сразу же, применив виртуальную локализацию к этому пространству.

Казарян (2009), опираясь на предыдущую работу нескольких людей, дала единый способ вывести наиболее известные результаты в теории пересечений ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ из формулы ELSV.

Идея доказательства

Позволять ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$ пространство стабильных отображений ж из рода грамм кривая к п¹(C) такие, что ж точно п столбы заказов ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$.

В морфизм ветвления br или Карта Ляшко – Лойенги присваивает ${\displaystyle f\in {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$ неупорядоченный набор его м точки разветвления в C с учетом кратностей. На самом деле это определение работает, только если ж - гладкое отображение. Но он имеет естественное расширение на пространство стабильных отображений. Например, значение ж на узле считается двойной точкой ветвления, что можно увидеть, посмотрев на семейство кривых C_т заданный уравнением ху = т и семейство карт ж_т(Икс, у) = Икс + у. В качестве т → 0, две точки ветвления ж_т стремятся к ценности ж₀ в узле C₀.

Морфизм ветвления имеет конечную степень, но имеет бесконечные слои. Теперь наша цель - вычислить его степень двумя разными способами.

Первый способ - подсчитать прообразы общей точки на изображении. Другими словами, мы считаем разветвленные покрытия п¹(C) с точкой ветвления типа (k₁, ..., k_п) на ∞ и м более фиксированные простые точки ветвления. Это в точности число Гурвица. ${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$.

Второй способ найти степень br заключается в том, чтобы взглянуть на прообраз самой вырожденной точки, а именно, положить все м точки ветвления вместе в 0 в C.

Прообраз этого момента в ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$ бесконечный слой br изоморфно пространству модулей ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$. Действительно, для устойчивой кривой с п отмеченные точки, мы отправляем эту кривую в 0 в п¹(C) и прикрепите к его отмеченным точкам п рациональные компоненты, на которых устойчивое отображение имеет вид ${\displaystyle z\mapsto z^{k_{1}},\dots ,z\mapsto z^{k_{n}}}$. Таким образом, мы получаем все стабильные отображения в ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$ неразветвленный вне 0 и ∞. Стандартные методы алгебраической геометрии позволяют найти степень отображения, глядя на бесконечный слой и его нормальное расслоение. Результат выражается в виде интеграла некоторых характеристических классов по бесконечному слою. В нашем случае этот интеграл оказывается равным правой части формулы ELSV.

Таким образом, формула ELSV выражает равенство двух способов вычисления степени морфизма ветвления.

Рекомендации

• Ekedahl, T .; Lando, S .; Шапиро, М .; Вайнштейн, А. (1999). «О числах Гурвица и интегралах Ходжа». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. 328 (12): 1175–1180. arXiv:математика / 9902104. Bibcode:1999CRASM.328.1175E. Дои:10.1016 / S0764-4442 (99) 80435-2.
• Ekedahl, T .; Lando, S .; Шапиро, М .; Вайнштейн, А. (2001). «Числа Гурвица и пересечения на пространствах модулей кривых». Изобретать. Математика. 146 (2): 297–327. arXiv:математика / 0004096. Bibcode:2001InMat.146..297E. Дои:10.1007 / s002220100164.
• Fantechi, B .; Пандхарипанде, Р. (2002). «Стабильные отображения и делители ветвления». Compos. Математика. 130 (3): 345–364. arXiv:математика / 9905104. Bibcode:1999математика ...... 5104F.
• Грабер, Т .; Вакиль, Р. (2003). «Интегралы Ходжа и числа Гурвица через виртуальную локализацию». Compos. Математика. 135 (1): 25–36. arXiv:математика / 0003028. Bibcode:2000математика ...... 3028G.
• Казарян, М. (2009). «Иерархия КП для интегралов Ходжа». Adv. Математика. 221 (1): 1–21. arXiv:0809.3263. Дои:10.1016 / j.aim.2008.10.017.
• Ли, Дж. (2001). «Вырождение стабильных морфизмов и относительных стабильных морфизмов». Препринт. arXiv:математика / 0009097. Bibcode:2000математика ...... 9097L.