Дивизор (алгебраическая геометрия) - Divisor (algebraic geometry)

В алгебраическая геометрия, делители являются обобщением коразмерность -1 подмногообразие алгебраические многообразия. Обычно используются два разных обобщения: дивизоры Картье и дивизоры Вейля (названные в честь Пьер Картье и Андре Вайль к Дэвид Мамфорд ). Оба они, в конечном итоге, происходят из понятия делимости в целые числа и поля алгебраических чисел.

Фон состоит в том, что подмногообразия коразмерности 1 понимаются гораздо лучше, чем подмногообразия более высокой коразмерности. Это происходит как глобально, так и локально. Глобально каждое подмногообразие коразмерности 1 в проективное пространство определяется обращением в нуль одного однородный многочлен; напротив, коразмерность -р подмногообразие не обязательно определяется только р уравнения, когда р больше 1. (То есть не каждое подмногообразие проективного пространства является полное пересечение.) Локально каждое подмногообразие коразмерности 1 в гладкий сорт можно определить одним уравнением в окрестности каждой точки. Опять же, аналогичное утверждение неверно для подмногообразий более высокой коразмерности. В результате этого хорошего свойства большая часть алгебраической геометрии изучает произвольное многообразие, анализируя его подмногообразия коразмерности 1 и соответствующие линейные пакеты.

На сингулярных многообразиях это хорошее свойство может не работать, и поэтому нужно различать подмногообразия коразмерности 1 и многообразия, которые могут быть локально определены одним уравнением. Первые являются дивизорами Вейля, а вторые - дивизорами Картье. Топологически дивизоры Вейля играют роль гомология классов, а дивизоры Картье представляют когомология классы. На гладкой разновидности (или в более общем смысле обычная схема ), результат аналогичен Двойственность Пуанкаре говорит, что дивизоры Вейля и Картье одинаковы.

Название «делитель» восходит к работе Дедекинд и Вебер, которые показали актуальность Дедекиндовские домены к изучению алгебраические кривые.^[1] Группа дивизоров на кривой ( свободная абелева группа порожденная всеми дивизорами) тесно связана с группой фракционные идеалы для дедекиндовского домена.

An алгебраический цикл является обобщением дивизора высшей коразмерности; по определению дивизор Вейля - это цикл коразмерности 1.

Дивизоры на римановой поверхности

А Риманова поверхность является одномерным комплексное многообразие, поэтому его подмногообразия коразмерности 1 имеют размерность 0. Группа дивизоров на a компактный Риманова поверхность Икс свободная абелева группа в точках Икс.

Эквивалентно дивизор на компактной римановой поверхности Икс конечный линейная комбинация пунктов Икс с целое число коэффициенты. В степень делителя на Икс это сумма его коэффициентов.

Для любого ненулевого мероморфная функция ж на Икс, можно определить порядок обращения в нуль ж в какой-то момент п в Икс, ord_п(ж). Это целое число, отрицательное, если ж имеет полюс на п. Дивизор ненулевой мероморфной функции ж на компактной римановой поверхности Икс определяется как

${\displaystyle (f):=\sum _{p\in X}\operatorname {ord} _{p}(f)p,}$

что является конечной суммой. Делители вида (ж) также называются главные делители. С (фг) = (ж) + (грамм) множество главных дивизоров является подгруппой группы дивизоров. Два дивизора, отличающиеся главным делителем, называются линейно эквивалентный.

На компактной римановой поверхности степень главного дивизора равна нулю; то есть количество нулей мероморфной функции равно количеству полюсов, посчитанному с кратностью. В результате степень корректно определена на классах линейной эквивалентности дивизоров.

Учитывая делитель D на компактной римановой поверхности Икс, важно изучить комплекс векторное пространство мероморфных функций на Икс с полюсами не более, чем D, называется ЧАС⁰(Икс, О(D)) или пространство секций линейного пучка связано с D. Степень D многое говорит о размерности этого векторного пространства. Например, если D имеет отрицательную степень, то это векторное пространство равно нулю (потому что мероморфная функция не может иметь больше нулей, чем полюсов). Если D имеет положительную степень, то размерность ЧАС⁰(Икс, О(мД)) линейно растет по м за м достаточно большой. В Теорема Римана-Роха является более точным утверждением в этом направлении. С другой стороны, точный размер ЧАС⁰(Икс, О(D)) для делителей D низкой степени неуловимо и не полностью определяется степенью D. В этих размерах отражены отличительные черты компактной римановой поверхности.

Одним из ключевых дивизоров на компактной римановой поверхности является канонический делитель. Для его определения сначала определяется дивизор ненулевого мероморфного 1-форма в соответствии с приведенными выше строками. Поскольку пространство мероморфных 1-форм является 1-мерным векторным пространством над поле мероморфных функций любые две ненулевые мероморфные 1-формы дают линейно эквивалентные дивизоры. Любой дивизор в этом классе линейной эквивалентности называется канонический делитель из Икс, K_Икс. В род грамм из Икс можно прочитать из канонического делителя: а именно, K_Икс имеет степень 2грамм - 2. Ключевая трихотомия среди компактных римановых поверхностей. Икс имеет ли канонический дивизор отрицательную степень (так Икс имеет нулевой род), нулевую степень (род один) или положительную степень (род не менее 2). Например, это определяет, Икс имеет Кэлерова метрика с положительным кривизна, нулевая кривизна или отрицательная кривизна. Канонический дивизор имеет отрицательную степень тогда и только тогда, когда Икс изоморфен Сфера Римана CP¹.

Дивизоры Вейля

Позволять Икс быть интеграл локально нетеровская схема. А простой делитель или же неприводимый делитель на Икс является интеграл закрытая подсхема Z из коразмерность 1 дюйм Икс. А Дивизор Вейля на Икс это формальная сумма над простыми делителями Z из Икс,

${\displaystyle \sum _{Z}n_{Z}Z,}$

где коллекция ${\displaystyle \{Z:n_{Z}\neq 0\}}$ локально конечно. Если Икс квазикомпактно, локальная конечность эквивалентна ${\displaystyle \{Z:n_{Z}\neq 0\}}$ будучи конечным. Группа всех дивизоров Вейля обозначается Div (Икс). Дивизор Вейля D является эффективный если все коэффициенты неотрицательны. Один пишет D ≥ D ′ если разница D − D ′ эффективен.

Например, дивизор на алгебраической кривой над полем - это формальная сумма конечного числа замкнутых точек. Делитель на Спецификация Z является формальной суммой простых чисел с целыми коэффициентами и поэтому соответствует ненулевому дробному идеалу в Q. Аналогичная характеризация верна для дивизоров на ${\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K},}$ куда K числовое поле.

Если Z ⊂ Икс является простым делителем, то локальное кольцо ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}}$ имеет Измерение Крулля один. Если ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}_{X,Z}}$ отлична от нуля, то порядок исчезновения из ж вдоль Z, написано ord_Z(ж), это длина из ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}/(f).}$ Эта длина конечна,^[2] и он аддитивен по отношению к умножению, то есть ord_Z(фг) = ord_Z(ж) + ord_Z(грамм).^[3] Если k(Икс) это поле рациональных функций на Икс, то любые ненулевые ж ∈ k(Икс) может быть записано как частное грамм / час, куда грамм и час находятся в ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z},}$ и порядок исчезновения ж определяется как ord_Z(грамм) - ord_Z(час).^[4] При таком определении порядок обращения в нуль - это функция ord_Z : k(Икс)^× → Z. Если Икс является нормальный, то местное кольцо ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}}$ это кольцо дискретной оценки, а функция ord_Z - соответствующая оценка. Для ненулевой рациональной функции ж на Икс, то главный дивизор Вейля связано с ж определяется как дивизор Вейля

${\displaystyle \operatorname {div} f=\sum _{Z}\operatorname {ord} _{Z}(f)Z.}$

Можно показать, что эта сумма локально конечна и, следовательно, действительно определяет дивизор Вейля. Главный дивизор Вейля, связанный с ж также отмечается (ж). Если ж является регулярной функцией, то ее главный дивизор Вейля эффективен, но в общем случае это неверно. Из аддитивности порядка исчезающей функции следует, что

${\displaystyle \operatorname {div} fg=\operatorname {div} f+\operatorname {div} g.}$

как следствие div является гомоморфизмом, и, в частности, его образ является подгруппой группы всех дивизоров Вейля.

Позволять Икс - нормальная интегральная нётерова схема. Каждый делитель Вейля D определяет связный пучок ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$ на Икс. Конкретно его можно определить как подпучок пучка рациональных функций^[5]

${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X}(D))=\{f\in k(X):f=0{\text{ or }}\operatorname {div} (f)+D\geq 0{\text{ on }}U\}.}$

То есть ненулевая рациональная функция ж это раздел ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$ над U тогда и только тогда, когда для любого простого делителя Z пересекающийся U,

${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z}(f)\geq -n_{Z}}$

куда п_Z коэффициент при Z в D. Если D является основным, поэтому D является делителем рациональной функции грамм, то существует изоморфизм

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {O}}(D)\to {\mathcal {O}}_{X}\\f\mapsto fg\end{cases}}}$

поскольку ${\displaystyle \operatorname {div} (fg)}$ является эффективным делителем, поэтому ${\displaystyle fg}$ является регулярным благодаря нормальности Икс. Наоборот, если ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ изоморфен ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ как ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-модуль, затем D является основным. Следует, что D является локально главным тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ обратима; то есть линейный пучок.

Если D - эффективный дивизор, соответствующий подсхеме Икс (Например D может быть приведенным дивизором или простым делителем), то пучок идеалов подсхемы D равно ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-D).}$Это приводит к часто используемой короткой точной последовательности,

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}(-D)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{D}\to 0.}$

В когомологии пучков этой последовательности показывает, что ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(-D))}$ содержит информацию о том, есть ли обычные функции на D - ограничения регулярных функций на Икс.

Также есть включение пучков

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(D).}$

Это обеспечивает канонический элемент ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D)),}$ а именно изображение глобального раздела 1. Это называется канонический раздел и может быть обозначено s_D. В то время как канонический раздел представляет собой образ не исчезающей рациональной функции, его образ в ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ исчезает вместе D поскольку переходные функции обращаются в нуль вдоль D. Когда D - гладкий дивизор Картье, можно отождествить коядро указанного включения; видеть # Делители Картье ниже.

Предположить, что Икс нормальная интегральная разделенная схема конечного типа над полем. Позволять D - дивизор Вейля. потом ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ранг один возвратная связка, и с тех пор ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ определяется как пучок ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X},}$ это дробный идеальный пучок (см. ниже). И наоборот, каждый рефлексивный пучок ранга один соответствует дивизору Вейля: пучок может быть ограничен до регулярного многоугольника, где он становится свободным и, таким образом, соответствует дивизору Картье (опять же, см. Ниже), и поскольку сингулярное многоугольник имеет коразмерность не менее во-вторых, замыкание дивизора Картье является дивизором Вейля.

Группа классов делителей

В Группа классов дивизоров Вейля Cl (Икс) является частным от Div (Икс) подгруппой всех главных дивизоров Вейля. Два делителя называются линейно эквивалентный если их различие является главным, то группа классов дивизоров - это группа дивизоров по модулю линейной эквивалентности. Для разнообразия Икс измерения п над полем группа классов дивизоров является Группа чау; а именно, Cl (Икс) - группа Чжоу CH_п−1(Икс) из (п−1) -мерные циклы.

Позволять Z быть замкнутым подмножеством Икс. Если Z неприводима коразмерности один, то Cl (Икс − Z) изоморфна фактор-группе группы Cl (Икс) по классу Z. Если Z имеет коразмерность не менее 2 в Икс, то ограничение Cl (Икс) → Cl (Икс − Z) является изоморфизмом.^[6] (Эти факты являются частными случаями последовательность локализации для групп чау.)

О нормальной интегральной нётеровой схеме Икс, два дивизора Вейля D, E линейно эквивалентны тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ и ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$ изоморфны как ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-модули. Классы изоморфизма рефлексивных пучков на Икс образуют моноид с произведением, заданным как рефлексивная оболочка тензорного произведения. потом ${\displaystyle D\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(D)}$ определяет изоморфизм моноидов из группы классов дивизоров Вейля Икс к моноиду классов изоморфизма рефлексивных пучков ранга 1 на Икс.

Примеры

• Позволять k быть полем, и пусть п быть положительным целым числом. Поскольку кольцо многочленов k[Икс₁, ..., Икс_п] - единственная область факторизации, группа классов дивизоров аффинного пространства А^п над k равно нулю.^[7] С проективное пространство п^п над k минус гиперплоскость ЧАС изоморфен А^п, следует, что группа классов дивизоров п^п порождается классом ЧАС. Отсюда легко проверить, что Cl (п^п) фактически изоморфен целым числам Z, создано ЧАС. Конкретно это означает, что каждое подмногообразие коразмерности 1 в п^п определяется обращением в нуль единственного однородного многочлена.

• Позволять Икс - алгебраическая кривая над полем k. Каждая закрытая точка п в Икс имеет вид Spec E для некоторого конечного поля расширения E из k, а степень из п определяется как степень из E над k. Расширяя это линейностью, мы получаем понятие степень для делителя на Икс. Если Икс это проективный изгибаться k, то дивизор ненулевой рациональной функции ж на Икс имеет нулевую степень.^[8] В результате для проективной кривой Икс, степень дает гомоморфизм deg: Cl (Икс) → Z.

• Для проективной линии п¹ над полем k, степень дает изоморфизм Cl (п¹) ≅ Z. Для любой гладкой проективной кривой Икс с k-рациональная точка, гомоморфизм степени сюръективен, а ядро ​​изоморфно группе k-точки на Якобиева многообразие из Икс, что является абелева разновидность размерности, равной роду Икс. Отсюда, например, следует, что группа классов дивизоров комплекса эллиптическая кривая является бесчисленный абелева группа.

• Обобщая предыдущий пример: для любого гладкого проективного многообразия Икс над полем k такой, что Икс имеет k-рациональная точка группа классов дивизоров Cl (Икс) является продолжением конечно порожденная абелева группа, то Группа Нерона – Севери, группой k-точки связного групповая схема ${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/k}^{0}.}$^[9] За k нулевой характеристики, ${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/k}^{0}}$ абелева разновидность, Разновидность пикара из Икс.

• За р то кольцо целых чисел из числовое поле группа классов дивизоров Cl (р): = Cl (Спецификация р) также называется группа идеального класса из р. Это конечная абелева группа. Понимание идеальных групп классов - главная цель алгебраическая теория чисел.

• 

  Аффинный квадратичный конус ху = z².
  Позволять Икс быть квадрика конус размерности 2, определяемый уравнением ху = z² в аффинном трехмерном пространстве над полем. Тогда строка D в Икс определяется Икс = z = 0 не является главным на Икс рядом с исходной точкой. Обратите внимание, что D может определяется как набор одним уравнением на Икс, а именно Икс = 0; но функция Икс на Икс исчезает, чтобы заказать 2 вместе D, и поэтому мы находим только 2D Картье (как определено ниже) на Икс. Фактически группа классов дивизоров Cl (Икс) изоморфна циклической группе Z/ 2, порожденные классом D.^[10]

• Позволять Икс - квадратный конус размерности 3, определяемый уравнением ху = zw в аффинном 4-пространстве над полем. Тогда самолет D в Икс определяется Икс = z = 0 не может быть определено в Икс одним уравнением около начала координат, даже как набор. Следует, что D не является Q-Cartier на Икс; то есть, нет положительного кратного D Картье. Фактически группа классов дивизоров Cl (Икс) изоморфна целым числам Z, порожденные классом D.^[11]

Канонический делитель

Позволять Икс быть нормальным разнообразием над идеальное поле. В гладкий локус U из Икс - открытое подмножество, дополнение которого имеет коразмерность не менее 2. Пусть j: U → Икс - отображение включения, то гомоморфизм ограничения:

${\displaystyle j^{*}:\operatorname {Cl} (X)\to \operatorname {Cl} (U)=\operatorname {Pic} (U)}$

является изоморфизмом, поскольку Икс − U имеет коразмерность не менее 2 в Икс. Например, можно использовать этот изоморфизм для определения канонический делитель K_Икс из Икс: это дивизор Вейля (с точностью до линейной эквивалентности), соответствующий линейному расслоению дифференциальных форм высшей степени на U. Эквивалентно связка ${\displaystyle {\mathcal {O}}(K_{X})}$ на Икс это связка прямого изображения ${\displaystyle j_{*}\Omega _{U}^{n},}$ куда п это размер Икс.

Пример: Позволять Икс = п^п быть проективным п-пространство с однородными координатами Икс₀, ..., Икс_п. Позволять U = {Икс₀ ≠ 0}. потом U изоморфна аффинной п-пространство с координатами у_я = Икс_я/Икс₀. Позволять

${\displaystyle \omega ={dy_{1} \over y_{1}}\wedge \dots \wedge {dy_{n} \over y_{n}}.}$

Тогда ω - рациональная дифференциальная форма на U; таким образом, это рациональный раздел ${\displaystyle \Omega _{\mathbf {P} ^{n}}^{n}}$ который имеет простые шесты вдоль Z_я = {Икс_я = 0}, я = 1, ..., п. При переключении на другую аффинную карту меняется только знак ω, поэтому мы видим, что ω имеет простой полюс вдоль Z₀ также. Таким образом, дивизор ω равен

${\displaystyle \operatorname {div} (\omega )=-Z_{0}-\dots -Z_{n}}$

и его класс дивизоров

${\displaystyle K_{\mathbf {P} ^{n}}=[\operatorname {div} (\omega )]=-(n+1)[H]}$

куда [ЧАС] = [Z_я], я = 0, ..., п. (См. Также Последовательность Эйлера.)

Делители Картье

Позволять Икс - целостная нётерова схема. потом Икс имеет пучок рациональных функций ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$ Все регулярные функции являются рациональными функциями, что приводит к короткой точной последовательности

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {M}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to 0.}$

А Делитель Картье на Икс это глобальный раздел ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }.}$ Эквивалентное описание состоит в том, что дивизор Картье - это набор ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\},}$ куда ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ это открытая обложка ${\displaystyle X,f_{i}}$ это раздел ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\times }}$ на ${\displaystyle U_{i},}$ и ${\displaystyle f_{i}=f_{j}}$ на ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ с точностью до умножения на сечение ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }.}$

Дивизоры Картье также имеют теоретико-пучковое описание. А дробная идеальная связка является суб-${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-модуль ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$ Дробная идеальная связка J является обратимый если для каждого Икс в Икс, существует открытая окрестность U из Икс на котором ограничение J к U равно ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}\cdot f,}$ куда ${\displaystyle f\in {\mathcal {M}}_{X}^{\times }(U)}$ и продукт принимается ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$ Каждый дивизор Картье определяет обратимый пучок дробных идеалов, используя описание дивизора Картье в виде набора ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\},}$ и наоборот, обратимые пучки дробных идеалов определяют дивизоры Картье. Если записать делитель Картье D, то соответствующий дробный пучок идеалов обозначается О(D) или же L(D).

По указанной выше точной последовательности существует точная последовательность когомологии пучков группы:

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\to H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\operatorname {Pic} (X).}$

Дивизор Картье называется главный если он находится в образе гомоморфизма ${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\to H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }),}$ то есть, если это делитель рациональной функции на Икс. Два делителя Картье равны линейно эквивалентный если их отличие принципиально. Каждый линейный комплект L на Икс на интегральной нётеровой схеме - класс некоторого дивизора Картье. В результате точная последовательность выше идентифицирует Группа Пикард линейных расслоений на интегральной нётеровой схеме Икс с группой дивизоров Картье по модулю линейной эквивалентности. В более общем случае это справедливо для редуцированных нётеровых схем или квазипроективных схем над нётеровым кольцом,^[12] но может вообще выйти из строя (даже для правильных схем C), что снижает интерес к дивизорам Картье в полной общности.^[13]

Предполагать D - эффективный дивизор Картье. Тогда есть короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(D)\to {\mathcal {O}}_{D}(D)\to 0.}$

Эта последовательность получается из короткой точной последовательности, связывающей структурные пучки Икс и D и идеальный пучок D. Потому что D является дивизором Картье, О(D) локально свободна, и, следовательно, тензорно эта последовательность О(D) дает еще одну короткую точную последовательность, приведенную выше. Когда D гладкая, О_D(D) - нормальный пучок D в Икс.

Сравнение дивизоров Вейля и делителей Картье

Дивизор Вейля D как говорят Картье если и только если связка О(D) обратима. Когда это произойдет, О(D) (с вложением в M_Икс) - линейное расслоение, ассоциированное с дивизором Картье. Точнее, если О(D) обратимо, то существует открытое покрытие {U_я} такой, что О(D) ограничивается тривиальным расслоением на каждом открытом множестве. Для каждого U_я, выберем изоморфизм ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U_{i}}\to {\mathcal {O}}(D)|_{U_{i}}.}$ Образ ${\displaystyle 1\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{U_{i}})=\Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})}$ под этой картой находится часть О(D) на U_я. Потому что О(D) определяется как подпучок пучка рациональных функций, образ 1 можно отождествить с некоторой рациональной функцией ж_я. Коллекция ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}}$ тогда является дивизором Картье. Это хорошо определено, потому что использовались только варианты покрытия и изоморфизма, ни один из которых не изменял дивизор Картье. Этот делитель Картье можно использовать для получения пучка, который для различения мы обозначим L(D). Есть изоморфизм О(D) с L(D) определяется работой над открытой крышкой {U_я}. Ключевой факт, который следует здесь проверить, заключается в том, что переходные функции О(D) и L(D) совместимы, и это сводится к тому, что все эти функции имеют вид ${\displaystyle f_{i}/f_{j}.}$

В обратном направлении дивизор Картье ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}}$ на интегральной нётеровой схеме Икс определяет дивизор Вейля на Икс естественным образом, применяя ${\displaystyle \operatorname {div} }$ к функциям ж_я на открытых площадках U_я.

Если Икс является нормальным, дивизор Картье определяется ассоциированным дивизором Вейля, а дивизор Вейля является картье тогда и только тогда, когда он является локально главным.

Схема Нётера Икс называется факториал если все местные кольца Икс находятся уникальные домены факторизации.^[5] (Некоторые авторы говорят «локально факториально».) В частности, каждая регулярная схема факториальна.^[14] По факторной схеме Икс, каждый дивизор Вейля D является локально главным, поэтому О(D) всегда является линейным пучком.^[7] Однако в общем случае дивизор Вейля на нормальной схеме не обязательно должен быть локально главным; см. примеры квадратичных конусов выше.

Эффективные делители Картье

Эффективные дивизоры Картье - это те, которые соответствуют идеальным пучкам. Фактически, теория эффективных дивизоров Картье может быть развита без каких-либо ссылок на пучки рациональных функций или дробные пучки идеалов.

Позволять Икс быть схемой. An эффективный делитель Картье на Икс идеальная связка я который обратим и такой, что для каждой точки Икс в Икс, стебель я_Икс является основным. Это эквивалентно требованию, чтобы вокруг каждого Икс, существует открытое аффинное подмножество U = Спецификация А такой, что U ∩ D = Спецификация А / (ж), куда ж является ненулевым делителем в А. Сумма двух эффективных дивизоров Картье соответствует умножению пучков идеалов.

Есть хорошая теория семейств эффективных дивизоров Картье. Позволять φ: Икс → S быть морфизмом. А относительный эффективный дивизор Картье за Икс над S эффективный дивизор Картье D на Икс который плоский над S. Из-за предположения о плоскостности для каждого ${\displaystyle S'\to S,}$ есть откат D к ${\displaystyle X\times _{S}S',}$ и этот откат является эффективным делителем Картье. В частности, это верно для слоев φ.

Функциональность

Позволять φ: Икс → Y - морфизм целых локально нётеровых схем. Часто - но не всегда - можно использовать φ для переноса делителя D от одной схемы к другой. Возможно ли это, зависит от того, является ли делитель дивизором Вейля или Картье, нужно ли переместить дивизор из Икс к Y или наоборот, и какими дополнительными свойствами может обладать φ.

Если Z является простым дивизором Вейля на Икс, тогда ${\displaystyle {\overline {\phi (Z)}}}$ замкнутая неприводимая подсхема Y. В зависимости от φ он может быть или не быть простым делителем Вейля. Например, если φ - раздутие точки на плоскости и Z является исключительным дивизором, то его образ не является дивизором Вейля. Следовательно, φ_*Z определяется как ${\displaystyle {\overline {\phi (Z)}}}$ если эта подсхема является простым делителем и определена как делитель нуля в противном случае. Расширение этого за счет линейности будет, если предположить Икс квазикомпактен, определим гомоморфизм Div (Икс) → Div (Y) называется продвигать. (Если Икс не является квазикомпактным, то прямой перевод может не быть локально конечной суммой.) Это частный случай прямого ответа на группах Чжоу.

Если Z является дивизором Картье, то при мягких предположениях относительно φ существует откат φ^*Z. Теоретически связка, когда есть карта отката φ⁻¹M_Y → M_Икс, то этот откат можно использовать для определения отката делителей Картье. Что касается локальных секций, откат ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}}$ определяется как ${\displaystyle \{(\phi ^{-1}(U_{i}),f_{i}\circ \phi )\}}$. Откат всегда определяется, если φ является доминирующим, но не может быть определен в целом. Например, если Икс = Z а φ - включение Z в Y, то φ^*Z не определено, потому что соответствующие локальные секции будут везде нулевыми. (Однако определяется откат соответствующего линейного пучка.)

Если φ плоский, то определен откат дивизоров Вейля. В этом случае откат Z является φ^*Z = φ⁻¹(Z). Плоскостность φ гарантирует, что прообраз Z продолжает иметь коразмерность один. Это может потерпеть неудачу для морфизмов, которые не являются плоскими, например, для небольшое сокращение.

Первый класс Черна

Для целостной нётеровой схемы Икс, естественный гомоморфизм из группы дивизоров Картье в группу дивизоров Вейля дает гомоморфизм

${\displaystyle c_{1}:\operatorname {Pic} (X)\to \operatorname {Cl} (X),}$

известный как первый Черн класс.^[15] Первый класс Черна инъективен, если Икс нормально, и это изоморфизм, если Икс является факториальным (как определено выше). В частности, дивизоры Картье можно отождествить с дивизорами Вейля на любой регулярной схеме, и поэтому первый класс Черна является изоморфизмом для Икс обычный.

Явно первый класс Черна можно определить следующим образом. Для линейного пакета L на интегральной нётеровой схеме Икс, позволять s ненулевое рациональное сечение L (то есть раздел на некотором непустом открытом подмножестве L), который существует в силу локальной тривиальности L. Определим дивизор Вейля (s) на Икс по аналогии с делителем рациональной функции. Затем первый класс Черна L можно определить как дивизор (s). Изменение рационального раздела s заменяет этот дивизор линейной эквивалентностью, так как (фс) = (ж) + (s) для ненулевой рациональной функции ж и ненулевое рациональное сечение s из L. Итак, элемент c₁(L) в Cl (Икс) хорошо определено.

Для сложного сорта Икс измерения п, не обязательно сглаженный или правильный C, существует естественный гомоморфизм, карта цикла, из группы классов дивизоров в Гомологии Бореля – Мура:

${\displaystyle \operatorname {Cl} (X)\to H_{2n-2}^{\operatorname {BM} }(X,\mathbf {Z} ).}$

Последняя группа определяется с помощью пространства Икс(C) сложных точек Икс, с его классической (евклидовой) топологией. Точно так же группа Пикара отображается на интегральные когомологии, первым классом Черна в топологическом смысле:

${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)\to H^{2}(X,\mathbf {Z} ).}$

Два гомоморфизма связаны между собой коммутативная диаграмма, где правая вертикальная карта - это капитальное произведение с фундаментальным классом Икс в гомологиях Бореля – Мура:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\operatorname {Pic} (X)&\longrightarrow &H^{2}(X,\mathbf {Z} )\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Cl} (X)&\longrightarrow &H_{2n-2}^{\operatorname {BM} }(X,\mathbf {Z} )\end{array}}}$

За Икс сглаживать C, оба вертикальных отображения являются изоморфизмами.

Глобальные сечения линейных пучков и линейных систем

Дивизор Картье эффективный если его локальные определяющие функции ж_я являются регулярными (а не просто рациональными функциями). В этом случае дивизор Картье можно отождествить с замкнутой подсхемой коразмерности 1 в Икс, подсхема, определяемая локально ж_я = 0. Дивизор Картье D линейно эквивалентно эффективному дивизору тогда и только тогда, когда связанное с ним линейное расслоение О(D) имеет ненулевое глобальное сечение s; тогда D линейно эквивалентно множеству нулей s.

Позволять Икс быть проективное разнообразие над полем k. Затем умножая глобальный раздел О(D) ненулевым скаляром в k не меняет своего нулевого местоположения. В результате проективное пространство линий в k-векторное пространство глобальных сечений ЧАС⁰(Икс, О(D)) можно отождествить с множеством эффективных дивизоров, линейно эквивалентных D, называется полная линейная система из D. Проективное линейное подпространство этого проективного пространства называется линейная система делителей.

Одна из причин изучения пространства глобальных сечений линейного расслоения - понять возможные отображения данной разновидности в проективное пространство. Это существенно для классификации алгебраических многообразий. Явно морфизм из разновидности Икс в проективное пространство п^п над полем k определяет линейный пакет L на Икс, то откат стандартного линейного пакета О(1) на п^п. Более того, L приходит с п+1 разделы, чьи базовый локус (пересечение их нулевых множеств) пусто. И наоборот, любой линейный пакет L с п+1 глобальный раздел, общий базовый локус которого пуст, определяет морфизм Икс → п^п.^[16] Эти наблюдения приводят к нескольким представлениям о позитивность для делителей Картье (или линейных пучков), таких как обильные делители и делители nef.^[17]

Для делителя D на проективном многообразии Икс над полем k, то k-векторное пространство ЧАС⁰(Икс, О(D)) имеет конечную размерность. В Теорема Римана – Роха является фундаментальным инструментом для вычисления размерности этого векторного пространства, когда Икс - проективная кривая. Последовательные обобщения, Теорема Хирцебруха – Римана – Роха. и Теорема Гротендика – Римана – Роха., дайте некоторую информацию о размерах ЧАС⁰(Икс, О(D)) для проективного многообразия Икс любого измерения над полем.

Поскольку канонический дивизор внутренне связан с многообразием, ключевую роль в классификации многообразий играют отображения в проективное пространство, задаваемые формулой K_Икс и его положительные мультипликаторы. В Кодаира измерение из Икс это ключ бирациональный инвариантный, измеряющий рост векторных пространств ЧАС⁰(Икс, мК_Икс) (смысл ЧАС⁰(Икс, О(мК_Икс))) в качестве м увеличивается. Измерение Кодаира разделяет все п-мерные разновидности в п+2 класса, которые (очень грубо) переходят от положительной кривизны к отрицательной.

Q-делители

Позволять Икс быть нормальным разнообразием. А (Вейль) Q-дивизор - это конечная формальная линейная комбинация неприводимых подмногообразий коразмерности 1 в Икс с рациональными коэффициентами. (An р-дивизор определяется аналогично.) A Q-дивизор есть эффективный если коэффициенты неотрицательны. А Q-дивизор D является Q-Cartier если мД является дивизором Картье для некоторого натурального числа м. Если Икс гладко, то каждый Q-дивизор есть Q-Картье.

Если

${\displaystyle D=\sum _{j}a_{j}Z_{j}}$

это Q-дивизор, то его округлить вниз это делитель

${\displaystyle \lfloor D\rfloor =\sum \lfloor a_{j}\rfloor Z_{j},}$

куда ${\displaystyle \lfloor a\rfloor }$ является наибольшим целым числом, меньшим или равным а. Связка ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ тогда определяется как ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\lfloor D\rfloor ).}$

Теорема Гротендика – Лефшеца о гиперплоскости

В Теорема Лефшеца о гиперплоскости следует, что для гладкого комплексного проективного многообразия Икс размерностью не менее 4 и гладкой обильный делитель Y в Икс, ограничение Pic (Икс) → Рис (Y) является изоморфизмом. Например, если Y гладкий полное пересечение многообразие размерности не менее 3 в комплексном проективном пространстве, то группа Пикара Y изоморфен Z, порожденная ограничением линейного пучка О(1) на проективном пространстве.

Гротендик обобщил теорему Лефшеца в нескольких направлениях, включая произвольные базовые поля, особые многообразия и результаты о локальных кольцах, а не о проективных многообразиях. В частности, если р это полное пересечение локальное кольцо, факториальное в коразмерности не более 3 (например, если нерегулярное множество р имеет коразмерность не менее 4), то р является единственной областью факторизации (а значит, каждый дивизор Вейля на Spec (р) - Картье).^[18] Граница размерности здесь оптимальна, как показано на примере трехмерного квадратичного конуса выше.

Примечания

1. Dieudonné (1985), раздел VI.6.
2. Stacks Project, тег 00PF.
3. Stacks Project, тег 02MC.
4. Stacks Project, тег 02MD.
5. Коллар (2013), Обозначение 1.2.
6. Хартсхорн (1977), предложение II.6.5.
7. Хартсхорн (1977), предложение II.6.2.
8. Stacks Project, тег 02RS.
9. Клейман (2005), теоремы 2.5 и 5.4, замечание 6.19.
10. Хартшорн (1977), пример II.6.5.2.
11. Hartshorne (1977), упражнение II.6.5.
12. Гротендик, EGA IV, часть 4, предложение 21.3.4, Corollaire 21.3.5.
13. Лазарсфельд (2004), пример 1.1.6.
14. Stacks Project, тег 0AFW.
15. Для разнообразия Икс над полем классы Черна любого векторного расслоения на Икс действовать крышка продукта на чау-группах Икс, и гомоморфизм здесь можно описать как L ↦ c₁(L) ∩ [Икс].
16. Хартсхорн (1977), теорема II.7.1.
17. Лазарсфельд (2004), Глава 1.
18. Гротендик, SGA 2, Corollaire XI.3.14.

Рекомендации

• Дьедонне, Жан (1985), История алгебраической геометрии, Серия математики Уодсворта, перевод Джудит Д. Салли, Бельмонт, Калифорния: Wadsworth International Group, ISBN  0-534-03723-2, МИСТЕР  0780183
• Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 32: 5–361. Дои:10.1007 / bf02732123. МИСТЕР  0238860.
• Гротендик, Александр; Рейно, Мишель (2005) [1968], Ласло, Ив (ред.), Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux (SGA 2), Documents Mathématiques, 4, Париж: Société Mathématique de France, arXiv:математика / 0511279, Bibcode:2005математика ..... 11279G, ISBN  978-2-85629-169-6, МИСТЕР  2171939
• Раздел II.6 Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  0-387-90244-9, МИСТЕР  0463157
• Клейман, Стивен (2005), «Схема Пикара», Фундаментальная алгебраическая геометрия, Математика. Обзоры Monogr., 123, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, стр. 235–321, arXiv:математика / 0504020, Bibcode:2005математика ...... 4020K, МИСТЕР  2223410
• Коллар, Янош (2013), Особенности программы минимальных моделей, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-1-107-03534-8, МИСТЕР  3057950
• Лазарсфельд, Роберт (2004), Положительность в алгебраической геометрии, 1, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  3-540-22533-1, МИСТЕР  2095471

внешняя ссылка

• Авторы проекта Stacks, The Stacks Project