Дробный идеал - Fractional ideal

В математика, особенно коммутативная алгебра, Концепция чего-либо дробный идеал вводится в контексте целостные области и особенно плодотворен при изучении Дедекиндовские домены. В некотором смысле дробные идеалы область целостности похожи идеалы куда знаменатели разрешены. В контекстах, где фракционные идеалы и обычные идеалы кольца оба обсуждаются, последние иногда называют интегральные идеалы для ясности.

Определение и основные результаты

Позволять р быть область целостности, и разреши K быть его поле дробей.

А дробный идеал из р является р-подмодуль я из K такое, что существует ненулевой р ∈ р такой, что rI ⊆ р. Элемент р можно рассматривать как очищение знаменателей в я.

В главные фракционные идеалы те р-подмодули из K порожденный единственным ненулевым элементом K. Дробный идеал я содержится в р тогда и только тогда, когда это («интегральный») идеал р.

Дробный идеал я называется обратимый если есть другой дробный идеал J такой, что

IJ = р

(куда IJ = {a₁б₁ + а₂б₂ + ... + а_пб_п : а_я ∈ я, б_я ∈ J, п ∈ Z_>0 } называется товар двух дробных идеалов).

В этом случае дробный идеал J однозначно определено и равно обобщенному идеальное частное

${\displaystyle (R:I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.}$

Множество обратимых дробных идеалов образуют абелева группа в отношении вышеуказанного продукта, где идентичность единица идеальная р сам. Эта группа называется группа фракционных идеалов из р. Главные дробные идеалы образуют подгруппу. (Ненулевой) дробный идеал обратим тогда и только тогда, когда он проективный как р-модуль.

Каждый конечно порожденный р-подмодуль K является дробным идеалом и если р является нётерский это все дробные идеалы р.

Дедекиндовские домены

В Дедекиндовские домены, ситуация намного проще. В частности, обратим всякий ненулевой дробный идеал. Фактически это свойство характеризует Дедекиндовские домены:

An область целостности это Дедекиндский домен тогда и только тогда, когда любой ненулевой дробный идеал обратим.

Множество дробных идеалов над Дедекиндский домен ${\displaystyle R}$ обозначается ${\displaystyle {\text{Div}}(R)}$.

Его факторгруппа дробных идеалов по подгруппе главных дробных идеалов является важным инвариантом Дедекиндский домен называется группа идеального класса.

Числовые поля

Напомним, что кольцо целых чисел ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ из числовое поле ${\displaystyle K}$ это Дедекиндский домен.

Мы называем дробным идеалом, который является подмножеством ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ интеграл.

Одна из важных структурных теорем для дробных идеалов числовое поле утверждает, что каждый дробный идеал ${\displaystyle I}$ разлагается однозначно с точностью до порядка

${\displaystyle I=({\mathfrak {p}}_{1}\ldots {\mathfrak {p}}_{n})({\mathfrak {q}}_{1}\ldots {\mathfrak {q}}_{m})^{-1}}$

за главные идеалы

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i},{\mathfrak {q}}_{j}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$.

Например,

${\displaystyle {\frac {2}{5}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}}$ факторы как ${\displaystyle (1+i)(1-i)((1+2i)(1-2i))^{-1}}$

Кроме того, поскольку дробные идеалы над числовое поле все конечно порождены, мы можем очистить знаменатели умножив на некоторые ${\displaystyle \alpha }$ получить идеал ${\displaystyle J}$. Следовательно

${\displaystyle I={\frac {1}{\alpha }}J}$

Другая полезная теорема о структуре состоит в том, что целые дробные идеалы порождаются максимум двумя элементами.

Существует точная последовательность

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{K}^{*}\to K^{*}\to {\text{Div}}({\mathcal {O}}_{K})\to C_{K}\to 0}$

связаны с каждым числовое поле,

куда

${\displaystyle C_{K}}$ это группа идеального класса из ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$.

Примеры

• ${\displaystyle {\frac {5}{4}}\mathbb {Z} }$ является дробным идеалом над ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• В ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\zeta _{3}}}$ у нас есть факторизация ${\displaystyle (3)=(2\zeta _{3}+1)^{2}}$.

Это потому, что если мы его умножим, мы получим

${\displaystyle {\begin{aligned}(2\zeta _{3}+1)^{2}&=4\zeta _{3}^{2}+4\zeta _{3}+1\\&=4(\zeta _{3}^{2}+\zeta _{3})+1\end{aligned}}}$

С ${\displaystyle \zeta _{3}}$ удовлетворяет ${\displaystyle \zeta _{3}^{2}+\zeta _{3}=-1}$, наша факторизация имеет смысл.

• В ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})}$ мы можем умножить дробные идеалы

• ${\displaystyle I=(2,(1/2){\sqrt {-23}}-(1/2))}$ и
• ${\displaystyle J=(4,(1/2){\sqrt {-23}}+(3/2))}$

получить идеал

${\displaystyle IJ=(-(1/2){\sqrt {-23}}-(3/2))}$

Дивизориальный идеал

Позволять ${\displaystyle {\tilde {I}}}$ обозначим пересечение всех главных дробных идеалов, содержащих ненулевой дробный идеал я.

Эквивалентно,

${\displaystyle {\tilde {I}}=(R:(R:I)),}$

где как указано выше

${\displaystyle (R:I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.}$

Если ${\displaystyle {\tilde {I}}=I}$ тогда я называется делительный.^[1]

Другими словами, дивизориальный идеал - это ненулевое пересечение некоторого непустого множества дробных главных идеалов.

Если я делится и J - ненулевой дробный идеал, то (я : J) дивизориально.

Позволять р быть местный Krull домен (например, Нётерян целиком закрытый местный домен).

потом р это кольцо дискретной оценки если и только если максимальный идеал из р дивизориально.^[2]

An область целостности что удовлетворяет условия возрастающей цепи на дивизориальных идеалах называется Домен Мори.^[3]

Смотрите также

• Дивизориальная связка

Примечания

1. Бурбаки 1998, §VII.1
2. Бурбаки и Ч. VII, § 1, п. 7. Предложение 11. Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFBourbakiCh._VII, _§_1, _n._7._Proposition_11. (помощь)
3. http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdffirstpage_1&handle=euclid.rmjm/1187453107

Рекомендации

• Штейн, Уильям, Вычислительное введение в алгебраическую теорию чисел (PDF)
• Глава 9 Атья, Майкл Фрэнсис; Макдональд, И. (1994), Введение в коммутативную алгебру, Westview Press, ISBN  978-0-201-40751-8
• Глава VII.1 Бурбаки, Николас (1998), Коммутативная алгебра (2-е изд.), Springer Verlag, ISBN  3-540-64239-0
• Глава 11 Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец, Кембриджские исследования по высшей математике, 8 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-36764-6, МИСТЕР  1011461