Точная последовательность - Exact sequence

Иллюстрация точной последовательности группы ${\displaystyle G_{i}}$ с помощью Диаграммы Венна . Каждый групповой гомоморфизм ${\displaystyle f_{i}:G_{i-1}\to G_{i}}$ карты ${\displaystyle G_{i-1}}$ к ядро следующего гомоморфизма. Это показано сокращением подгрупп слева направо.

An точная последовательность это концепция в математика, особенно в теория групп, звенеть и модуль теория гомологическая алгебра, а также в дифференциальная геометрия. Точная последовательность - это последовательность конечных или бесконечных объектов и морфизмы между ними так, что изображение одного морфизма равно ядро следующего.

Определение

В контексте теория групп, последовательность

${\displaystyle G_{0}\;{\xrightarrow {\ f_{1}\ }}\;G_{1}\;{\xrightarrow {\ f_{2}\ }}\;G_{2}\;{\xrightarrow {\ f_{3}\ }}\;\cdots \;{\xrightarrow {\ f_{n}\ }}\;G_{n}}$

из группы и групповые гомоморфизмы называется точный если изображение каждого гомоморфизма равна ядро из следующих:

${\displaystyle \operatorname {im} (f_{k})=\ker(f_{k+1})}$

Последовательность групп и гомоморфизмов может быть конечной или бесконечной.

Аналогичное определение может быть дано для других алгебраические структуры. Например, можно получить точную последовательность векторные пространства и линейные карты, или из модули и модульные гомоморфизмы. В более общем плане понятие точной последовательности имеет смысл в любом категория с ядра и коядра.

Простые случаи

Чтобы понять определение, полезно рассмотреть относительно простые случаи, когда последовательность конечна и начинается или заканчивается тривиальная группа. Традиционно это, вместе с единственным элементом идентичности, обозначается 0 (аддитивная запись, обычно, когда группы абелевы), или обозначается 1 (мультипликативная запись).

• Рассмотрим последовательность 0 → А → B. Изображение самой левой карты равно 0. Следовательно, последовательность точна тогда и только тогда, когда самая правая карта (из А к B) имеет ядро ​​{0}; т. е. тогда и только тогда, когда это отображение является мономорфизм (инъективный, или индивидуальный).
• Рассмотрим двойственную последовательность B → C → 0. Ядро крайнего правого отображения - это C. Следовательно, последовательность точна тогда и только тогда, когда изображение крайней левой карты (из B к C) все из C; т. е. тогда и только тогда, когда эта карта является эпиморфизм (сюръективный, или на).
• Следовательно, последовательность 0 → Икс → Y → 0 является точным тогда и только тогда, когда отображение из Икс к Y является одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом (то есть биморфизм ), и, таким образом, во многих случаях изоморфизм из Икс к Y.

Короткая точная последовательность

Важны короткие точные последовательности, которые являются точными последовательностями вида

${\displaystyle 0\to A\;{\xrightarrow {\ f\ }}\;B\;{\xrightarrow {\ g\ }}\;C\to 0}$

Как установлено выше, для любой такой короткой точной последовательности ж это мономорфизм и грамм является эпиморфизм. Кроме того, изображение ж равно ядру грамм. Полезно подумать о А как подобъект из B с ж встраивание А в B, и из C как соответствующий факторный объект (или частное ), B/А, с грамм побуждая изоморфизм

${\displaystyle C\cong B/\operatorname {im} (f)}$

Короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\to A\;{\xrightarrow {\ f\ }}\;B\;{\xrightarrow {\ g\ }}\;C\to 0}$

называется расколоть если существует гомоморфизм час : C → B так что композиция грамм ∘ час тождественная карта на C. Отсюда следует, что если это абелевы группы, B изоморфен прямая сумма из А и C (видеть Лемма о расщеплении ):

${\displaystyle B\cong A\oplus C.}$

Длинная точная последовательность

А длинная точная последовательность представляет собой точную последовательность, состоящую более чем из трех ненулевых членов, часто бесконечную точную последовательность.

Длинная точная последовательность

${\displaystyle A_{0}\;{\xrightarrow {\ f_{1}\ }}\;A_{1}\;{\xrightarrow {\ f_{2}\ }}\;A_{2}\;{\xrightarrow {\ f_{3}\ }}\;\cdots \;{\xrightarrow {\ f_{n}\ }}\;A_{n}}$

эквивалентно последовательности коротких точных последовательностей

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{0}\;\rightarrow \;K_{1}\;\rightarrow \;0\;,\\0\;\rightarrow \;K_{1}\rightarrow {}&A_{1}\;\rightarrow \;K_{2}\;\rightarrow \;0\;,\\\vdots \,\,\,\,\\0\;\rightarrow \;K_{n-1}\rightarrow {}&A_{n-1}\rightarrow \;K_{n}\;\rightarrow \;0\;,\\0\;\rightarrow K_{n}\rightarrow {}&A_{n}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle K_{i}=\operatorname {im} (f_{i})=\ker(f_{i+1})}$ для каждого ${\displaystyle i}$.

Примеры

Целые числа по модулю два

Рассмотрим следующую последовательность абелевы группы:

${\displaystyle \mathbf {Z} \;\;{\overset {2\times }{\hookrightarrow }}\;\;\mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$

Первый гомоморфизм отображает каждый элемент я в наборе целых чисел Z к элементу 2я в Z. Второй гомоморфизм отображает каждый элемент я в Z к элементу j в фактор-группе, т. е. j = я mod 2. Здесь крючок стрелка ${\displaystyle \hookrightarrow }$ указывает, что карта 2 × из Z к Z это мономорфизм, и двуглавая стрелка ${\displaystyle \twoheadrightarrow }$ указывает на эпиморфизм (мод карты 2). Это точная последовательность, потому что изображение 2Z мономорфизма является ядром эпиморфизма. По сути, «ту же» последовательность можно также записать как

${\displaystyle 2\mathbf {Z} \;\;{\hookrightarrow }\;\;\mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$

В этом случае мономорфизм равен 2п ↦ 2п и хотя он выглядит как функция идентичности, он не включен (то есть не эпиморфизм), потому что нечетные числа не принадлежат 2Z. Изображение 2Z через этот мономорфизм, однако, точно такое же подмножество Z как образ Z через п ↦ 2п использованный в предыдущей последовательности. Эта последняя последовательность действительно отличается конкретной природой своего первого объекта от предыдущей как 2Z не то же самое, что Z хотя они изоморфны как группы.

Первую последовательность также можно записать без использования специальных символов мономорфизма и эпиморфизма:

${\displaystyle 0\;\to \;\mathbf {Z} \;\;{\overset {2\times }{\longrightarrow }}\;\;\mathbf {Z} \;\longrightarrow \;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \;\to \;\ 0}$

Здесь 0 обозначает тривиальную группу, отображение из Z к Z умножение на 2, а отображение из Z к факторная группа Z/2Z дается сокращением целых чисел по модулю 2. Это действительно точная последовательность:

• изображение карты 0 → Z равно {0}, и ядро ​​умножения на 2 также равно {0}, поэтому последовательность точна в первом Z.
• образ умножения на 2 равен 2Z, и ядро ​​приведения по модулю 2 также равно 2Z, поэтому последовательность точна на втором Z.
• образ сокращения по модулю 2 Z/2Z, и ядро ​​нулевого отображения также Z/2Z, поэтому последовательность точна в позиции Z/2Z.

Первая и третья последовательности являются своего рода частным случаем из-за бесконечной природы Z. Это невозможно для конечная группа быть отображенным включением (то есть мономорфизмом) как собственная подгруппа. Вместо этого последовательность, которая возникает из первая теорема об изоморфизме является

${\displaystyle 1\to N\to G\to G/N\to 1}$

В качестве более конкретного примера точной последовательности на конечных группах:

${\displaystyle 1\to C_{n}\to D_{2n}\to C_{2}\to 1}$

куда ${\displaystyle C_{n}}$ это циклическая группа порядка п и ${\displaystyle D_{2n}}$ это группа диэдра порядка 2п, которая является неабелевой группой.

Пересечение и сумма модулей

Позволять я и J быть двумя идеалы кольца р.Потом

${\displaystyle 0\to I\cap J\to I\oplus J\to I+J\to 0}$

является точной последовательностью р-модули, где гомоморфизм модулей ${\displaystyle I\cap J\to I\oplus J}$ отображает каждый элемент Икс из ${\displaystyle I\cap J}$ к элементу ${\displaystyle (x,x)}$ из прямая сумма ${\displaystyle I\oplus J}$, а гомоморф ${\displaystyle I\oplus J\to I+J}$ отображает каждый элемент ${\displaystyle (x,y)}$ из ${\displaystyle I\oplus J}$ к ${\displaystyle x-y}$.

Эти гомоморфизмы являются ограничениями гомоморфизмов, определенных аналогичным образом, которые образуют короткую точную последовательность

${\displaystyle 0\to R\to R\oplus R\to R\to 0}$

Переходя к модули частных дать другую точную последовательность

${\displaystyle 0\to R/(I\cap J)\to R/I\oplus R/J\to R/(I+J)\to 0}$

Grad, curl и div в дифференциальной геометрии

Другой пример может быть получен из дифференциальная геометрия, особенно актуально для работы на Уравнения Максвелла.

Рассмотрим Гильбертово пространство ${\displaystyle L^{2}}$ скалярнозначных квадратично интегрируемых функций в трех измерениях ${\displaystyle \left\lbrace f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \right\rbrace }$. Принимая градиент функции ${\displaystyle f\in \mathbb {H} _{1}}$ перемещает нас к подмножеству ${\displaystyle \mathbb {H} _{3}}$, пространство векторнозначных, все еще интегрируемых с квадратом функций в той же области ${\displaystyle \left\lbrace f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}\right\rbrace }$ - в частности, набор таких функций, представляющих консервативные векторные поля. (Обобщенный Теорема Стокса сохранила интегрируемость.)

Во-первых, обратите внимание на завиток всех таких полей равно нулю, поскольку

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)&\equiv \nabla \times (\nabla f)=0\end{aligned}}}$

для всех таких ж. Однако это только доказывает, что образ градиент является подмножеством ядра локона. Чтобы доказать, что они на самом деле являются одним и тем же множеством, докажите обратное: если ротор векторного поля ${\displaystyle {\vec {F}}}$ равно 0, то ${\displaystyle {\vec {F}}}$ - градиент некоторой скалярной функции. Это почти сразу следует из Теорема Стокса (см. доказательство на консервативная сила.) Изображение градиент тогда это в точности ядро ​​локона, и поэтому мы можем принять его как следующий морфизм, возвращая нас снова к (другому) подмножеству ${\displaystyle \mathbb {H} _{3}}$.

Аналогично отметим, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} (\operatorname {curl} {\vec {v}})&\equiv \nabla \cdot \nabla \times {\vec {v}}=0,\end{aligned}}}$

таким образом, образ завитка является подмножеством ядра расхождение. Обратное несколько запутано:

Доказательство того, что ${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {F}}}$ = 0 означает ${\displaystyle {\vec {F}}=\operatorname {curl} {\vec {A}}}$ для некоторых ${\displaystyle {\vec {A}}}$

Будем действовать по построению: по векторному полю ${\displaystyle {\vec {F}}=F_{x}{\hat {i}}+F_{y}{\hat {j}}+F_{z}{\hat {k}}}$ такой, что ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {F}}=0}$, мы производим поле ${\displaystyle {\vec {A}}}$ такой, что ${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times {\vec {A}}&=\left(\partial _{y}A_{z}-\partial _{z}A_{y}\right){\hat {i}}+\left(\partial _{z}A_{x}-\partial _{x}A_{z}\right){\hat {j}}+\left(\partial _{x}A_{y}-\partial _{y}A_{x}\right){\hat {k}}\\&=F_{x}{\hat {i}}+F_{y}{\hat {j}}+F_{z}{\hat {k}}={\vec {F}}\end{aligned}}}$ Прежде всего отметим, что, поскольку, как доказано выше ${\displaystyle \operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)=0}$, мы можем добавить градиент любой скалярной функции к ${\displaystyle {\vec {A}}}$ без изменения локона. Мы можем использовать эту калибровочную свободу, чтобы установить любой компонент ${\displaystyle {\vec {A}}}$ до нуля без изменения его локона; произвольно выбирая z-компонент, мы просто требуем, чтобы ${\displaystyle -\partial _{z}A_{y}{\hat {i}}+\partial _{z}A_{x}{\hat {j}}+\left(\partial _{x}A_{y}-\partial _{y}A_{x}\right){\hat {k}}=F_{x}{\hat {i}}+F_{y}{\hat {j}}+F_{z}{\hat {k}}}$ Затем, просто интегрировав первые два компонента и отметив, что «константа» интегрирования может по-прежнему зависеть от любой переменной, не интегрированной, мы находим, что ${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int F_{y}dz+{\vec {C_{1}}}(x,y)\\A_{y}&=-\int F_{x}dz+{\vec {C_{2}}}(x,y)\end{aligned}}}$ Обратите внимание, что, поскольку два условия интеграции ${\displaystyle {\vec {C_{1}}},{\vec {C_{2}}}}$ оба зависят только от Икс и у а не на z, то мы можем добавить еще один градиент некоторой функции ${\displaystyle f(x,y)}$ это также не зависит от z. Это позволяет нам отказаться от одного из условий в пользу другого, не портя нашу предыдущую работу, которая установила ${\displaystyle A_{z}}$ до нуля. Выбирая устранить ${\displaystyle {\vec {C_{2}}}}$ и применяя последний компонент в качестве ограничения, мы имеем ${\displaystyle {\begin{aligned}-\partial _{x}\int F_{x}dz+\partial _{x}{\vec {C_{1}}}(x,y)-\partial _{y}\int F_{y}dz&=F_{z}\\-\int \left(\partial _{x}F_{x}+\partial _{y}F_{y}\right)dz+\partial _{x}{\vec {C_{1}}}(x,y)&=F_{z}\end{aligned}}}$ По предположению, ${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {F}}=\partial _{x}F_{x}+\partial _{y}F_{y}+\partial _{z}F_{z}=0}$, и так ${\displaystyle \int \partial _{z}F_{z}dz+\partial _{x}{\vec {C_{1}}}(x,y)=F_{z}}$ Поскольку основная теорема исчисления требует, чтобы первый член выше был в точности ${\displaystyle F_{z}}$ плюс константа в z, решение указанной системы уравнений гарантированно существует.

Доказав, таким образом, что образ ротора и есть ядро ​​дивергенции, этот морфизм, в свою очередь, возвращает нас в то пространство, с которого мы начали. ${\displaystyle L^{2}}$. Поскольку по определению мы попали в пространство интегрируемых функций, любую такую ​​функцию можно (по крайней мере формально) интегрировать, чтобы создать векторное поле, дивергенция которого и является этой функцией - так что образ дивергенции представляет собой всю совокупность ${\displaystyle L^{2}}$, и мы можем завершить нашу последовательность:

${\displaystyle 0\to L^{2}\;\;{\xrightarrow {\operatorname {grad} }}\;\;\mathbb {H} _{3}\;\;{\xrightarrow {\operatorname {curl} }}\;\;\mathbb {H} _{3}\;\;{\xrightarrow {\operatorname {div} }}\;\;L^{2}\to 0}$

Точно так же мы могли бы рассуждать наоборот: в односвязный пространство, векторное поле без ротора (поле в ядре ротора) всегда можно записать как градиент скалярной функции (и таким образом находится в изображении градиента). Аналогично без расхождения field можно записать как завиток другого поля.^[1] (Рассуждая в этом направлении, таким образом, используется тот факт, что трехмерное пространство топологически тривиально.)

Эта короткая точная последовательность также позволяет получить гораздо более короткое доказательство действительности Разложение Гельмгольца который не полагается на векторное исчисление методом перебора. Рассмотрим подпоследовательность

${\displaystyle 0\to L^{2}\;\;{\xrightarrow {\operatorname {grad} }}\;\;\mathbb {H} _{3}\;\;{\xrightarrow {\operatorname {curl} }}\;\;\operatorname {im} (\operatorname {curl} )\to 0.}$

Поскольку дивергенция градиента Лапласиан, и поскольку гильбертово пространство функций, интегрируемых с квадратом, можно натянуть на собственные функции лапласиана, мы уже видим, что некоторое обратное отображение ${\displaystyle \nabla ^{-1}:\mathbb {H} _{3}\to L^{2}}$ должен существовать. Чтобы явно построить такой обратный, мы можем начать с определения векторного лапласиана

${\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {A}}=\nabla (\nabla \cdot {\vec {A}})+\nabla \times (\nabla \times {\vec {A}})}$

Поскольку мы пытаемся построить отображение идентичности, составляя некоторую функцию с градиентом, мы знаем, что в нашем случае ${\displaystyle \nabla \times {\vec {A}}=\operatorname {curl} ({\vec {A}})=0}$. Тогда если мы возьмем расхождение обеих сторон

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \nabla ^{2}{\vec {A}}&=\nabla \cdot \nabla (\nabla \cdot {\vec {A}})\\&=\nabla ^{2}(\nabla \cdot {\vec {A}})\\\end{aligned}}}$

мы видим, что если функция является собственной функцией векторного лапласиана, ее дивергенция должна быть собственной функцией скалярного лапласиана с тем же собственным значением. Затем мы можем построить нашу обратную функцию ${\displaystyle \nabla ^{-1}}$ просто сломав любую функцию в ${\displaystyle \mathbb {H} _{3}}$ в векторно-лапласовский собственный базис, масштабируя каждое значение, обратное их собственному значению, и принимая расходимость; действие ${\displaystyle \nabla ^{-1}\circ \nabla }$ таким образом, очевидно, тождество. Таким образом лемма о расщеплении,

${\displaystyle \mathbb {H} _{3}\cong L^{2}\oplus \operatorname {im} (\operatorname {curl} )}$,

или, что то же самое, любое суммируемое с квадратом векторное поле на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ можно разбить на сумму градиента и завитка, что мы и собирались доказать.

Характеристики

В лемма о расщеплении утверждает, что если короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\to A\;{\xrightarrow {\ f\ }}\;B\;{\xrightarrow {\ g\ }}\;C\to 0}$

допускает морфизм т : B → А такой, что т ∘ ж это личность на А или же морфизм ты: C → B такой, что грамм ∘ ты это личность на C, тогда B это прямая сумма из А и C (для некоммутативных групп это полупрямой продукт ). Говорят, что такая короткая точная последовательность раскол.

В лемма о змеях показывает, как коммутативная диаграмма с двумя точными рядами дает более длинную точную последовательность. В девять лемм это особый случай.

В пять лемм дает условия, при которых среднее отображение в коммутативной диаграмме с точными строками длины 5 является изоморфизмом; то лемма короткая пятерка это частный случай, применяемый к коротким точным последовательностям.

Важность коротких точных последовательностей подчеркивается тем фактом, что каждая точная последовательность является результатом «сплетения вместе» нескольких перекрывающихся коротких точных последовательностей. Рассмотрим, например, точную последовательность

${\displaystyle A_{1}\to A_{2}\to A_{3}\to A_{4}\to A_{5}\to A_{6}}$

что означает, что существуют объекты C_k в такой категории, что

${\displaystyle C_{k}\cong \ker(A_{k}\to A_{k+1})\cong \operatorname {im} (A_{k-1}\to A_{k})}$.

Предположим дополнительно, что коядро каждого морфизма существует и изоморфен образу следующего морфизма в последовательности:

${\displaystyle C_{k}\cong \operatorname {coker} (A_{k-2}\to A_{k-1})}$

(Это верно для ряда интересных категорий, включая любую абелеву категорию, такую ​​как абелевы группы; но это не верно для всех категорий, которые допускают точные последовательности, и, в частности, неверно для категория групп, в котором коксователь (ж) : грамм → ЧАС не является ЧАС/я(ж) но ${\displaystyle H/{\left\langle \operatorname {im} f\right\rangle }^{H}}$, частное от ЧАС посредством сопряженное замыкание им (ж).) Тогда мы получим коммутативную диаграмму, в которой все диагонали - короткие точные последовательности:

Единственная часть этой диаграммы, которая зависит от состояния коядра, - это объект ${\textstyle C_{7}}$ и последняя пара морфизмов ${\textstyle A_{6}\to C_{7}\to 0}$. Если есть объект ${\displaystyle A_{k+1}}$ и морфизм ${\displaystyle A_{k}\to A_{k+1}}$ такой, что ${\displaystyle A_{k-1}\to A_{k}\to A_{k+1}}$ точно, то точность ${\displaystyle 0\to C_{k}\to A_{k}\to C_{k+1}\to 0}$ обеспечивается. Снова беря пример категории групп, тот факт, что im (ж) является ядром некоторого гомоморфизма на ЧАС подразумевает, что это нормальная подгруппа, что совпадает с его сопряженным замыканием; таким образом, коксователь (ж) изоморфен образу ЧАС/я(ж) следующего морфизма.

И наоборот, учитывая любой список перекрывающихся коротких точных последовательностей, их средние члены образуют точную последовательность таким же образом.

Применение точных последовательностей

В теории абелевых категорий короткие точные последовательности часто используются как удобный язык для разговора о суб- и факторных объектах.

В проблема с расширением по сути, вопрос "Учитывая конечные условия А и C короткой точной последовательности, какие возможности существуют для среднего срока B? "В категории групп это равносильно вопросу, какие группы B имеют А как нормальная подгруппа и C как соответствующая факторная группа? Эта проблема важна в классификация групп. Смотрите также Группа внешних автоморфизмов.

Обратите внимание, что в точной последовательности композиция ж_я+1 ∘ ж_я карты А_я до 0 дюймов А_я+2, поэтому каждая точная последовательность цепной комплекс. Кроме того, только ж_я-изображения элементов А_я отображаются в 0 с помощью ж_я+1, Итак гомология этого цепного комплекса тривиален. Более лаконично:

Точные последовательности - это именно те цепные комплексы, которые ациклический.

Поэтому для любого цепного комплекса его гомологии можно рассматривать как меру степени, в которой он не может быть точным.

Если мы возьмем серию коротких точных последовательностей, связанных цепными комплексами (то есть короткую точную последовательность цепных комплексов или, с другой точки зрения, цепной комплекс коротких точных последовательностей), то мы можем вывести из этого длинная точная последовательность (т.е. точная последовательность, индексированная натуральными числами) на гомологии путем применения лемма о зигзаге. Это появляется в алгебраическая топология в изучении относительная гомология; то Последовательность Майера – Виеториса другой пример. Длинные точные последовательности, индуцированные короткими точными последовательностями, также характерны для производные функторы.

Точные функторы находятся функторы которые преобразуют точные последовательности в точные последовательности.

Рекомендации

Общий

• Спаниер, Эдвин Генри (1995). Алгебраическая топология. Берлин: Springer. п.179. ISBN  0-387-94426-5.
• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра: взгляд на алгебраическую геометрию. Springer-Verlag New York. п.785. ISBN  0-387-94269-6.

Цитаты

1. «Бездивергентное поле». 6 декабря 2009 г.

внешняя ссылка

• «Точная последовательность». PlanetMath.