Континуум (топология) - Continuum (topology)

в математический поле точечная топология, а континуум (множественное число: «континуум») - это непустой компактный связанный метрическое пространство, или, реже, компактное связное Пространство Хаусдорфа. Теория континуума это филиал топология посвящен изучению континуумов.

Определения

  • Континуум, содержащий более одной точки, называется невырожденный.
  • Подмножество А континуума Икс такой, что А сам по себе является континуумом, называется субконтинуум из Икс. Пространство, гомеоморфное субконтинууму Евклидова плоскость р2 называется плоский континуум.
  • Континуум Икс является однородный если за каждые два очка Икс и у в Икс, существует гомеоморфизм час: Икс → Икс такой, что час(Икс) = у.
  • А Континуум Пеано континуум, который локально связанный в каждой точке.
  • An неразложимый континуум представляет собой континуум, который нельзя представить как объединение двух собственных субконтинуумов. Континуум Икс является наследственно неразложимый если каждый субконтинуум Икс неразложима.
  • В измерение континуума обычно означает его топологическая размерность. Одномерный континуум часто называют кривая.

Примеры

  • An дуга это пространство гомеоморфный к закрытый интервал [0,1]. Если час: [0,1] → Икс является гомеоморфизмом и час(0) = п и час(1) = q тогда п и q называются конечные точки из Икс; один также говорит, что Икс это дуга от п к q. Дуга - это самый простой и наиболее известный тип континуума. Он одномерный, соединенный по дуге, и подключены локально.
  • В синусоида тополога - подмножество плоскости, являющееся объединением графика функции ж(Икс) = грех (1 /Икс), 0 < Икс ≤ 1 с отрезком −1 ≤ у ≤ 1 из у-ось. Это одномерный континуум, который не связан дугово и локально не связан в точках вдоль у-ось.
  • В Варшавский круг получается путем "закрытия" синусоида тополога дугой, соединяющей (0, −1) и (1, sin (1)). Это одномерный континуум, гомотопические группы все тривиально, но это не сжимаемое пространство.
Варшавский круг
  • An п-ячейка является пространством, гомеоморфным замкнутому мяч в Евклидово пространство рп. Это сжимаемый и простейший пример п-мерный континуум.
  • An п-сфера является пространством, гомеоморфным стандарту n-сфера в (п + 1) -мерное евклидово пространство. Это п-мерный однородный континуум, который не стягивается и, следовательно, отличается от п-cell.
  • В Куб Гильберта является бесконечномерным континуумом.
  • Соленоиды являются одними из простейших примеров неразложимых однородных континуумов. Они не связаны ни линейно, ни локально.
  • В Ковер Серпинского, также известный как Универсальная кривая Серпинского, является одномерным плоским континуумом Пеано, который содержит гомеоморфный образ любого одномерного плоского континуума.
  • В псевдодуга представляет собой однородный наследственно неразложимый плоский континуум.

Свойства

Есть два основных метода построения континуумов с помощью вложенные пересечения и обратные пределы.

  • Если {Иксп} - это вложенное семейство континуумов, т. е. Иксп ⊇ Иксп+1, то их пересечение является континуумом.
  • Если {(Иксп, жп)} обратная последовательность континуумов Иксп, называется координатные пространства, вместе с непрерывные карты жп: Иксп+1 → Иксп, называется карты связи, то его обратный предел является континуумом.

Конечное или счетное произведение континуумов - это континуум.

Смотрите также

использованная литература

Источники

  • Сэм Б. Надлер-младший, Теория континуума. Введение. Чистая и прикладная математика, Марсель Деккер. ISBN  0-8247-8659-9.

внешние ссылки