Проективный модуль - Projective module

В математика, особенно в алгебра, то учебный класс из проективные модули расширяет класс бесплатные модули (то есть, модули с базисные векторы ) через звенеть, сохраняя некоторые из основных свойств бесплатных модулей. Ниже приведены различные эквивалентные характеристики этих модулей.

Каждый свободный модуль является проективным модулем, но обратное неверно для некоторых колец, таких как Кольца дедекинда это не области главных идеалов. Однако каждый проективный модуль является свободным модулем, если кольцо является областью главных идеалов, такой как целые числа, или кольцо многочленов (это Теорема Квиллена – Суслина ).

Проективные модули были впервые представлены в 1956 году во влиятельной книге Гомологическая алгебра к Анри Картан и Сэмюэл Эйленберг.

Определения

Подъемное имущество

Обычный теоретическая категория определение находится в терминах свойства подъем который переносится из свободных в проективные модули: модуль п проективен тогда и только тогда, когда для каждого сюръективного модульный гомоморфизм ж : N ↠ M и каждый гомоморфизм модулей грамм : п → Mсуществует гомоморфизм модулей час : п → N такой, что ж час = грамм. (Поднимающий гомоморфизм нам не нужен час быть уникальным; это не универсальная собственность.)

Преимущество этого определения «проективного» состоит в том, что его можно применять в категориях более общих, чем категории модулей: нам не нужно понятие «свободный объект». Он также может быть дуализирован, что приводит к инъективные модули. Подъемное свойство можно также перефразировать как каждый морфизм из ${ displaystyle P}$ к ${ displaystyle M}$ факторов через каждый эпиморфизм к ${ displaystyle M}$ . Таким образом, по определению проективные модули - это в точности проективные объекты в категории р-модули.

Точные последовательности

Модуль п проективен тогда и только тогда, когда каждый короткая точная последовательность модулей формы

{ displaystyle 0 rightarrow A rightarrow B rightarrow P rightarrow 0}

это разделить точную последовательность. То есть для любого сюръективного гомоморфизма модулей ж : B ↠ п существует карта раздела, т.е. гомоморфизм модулей час : п → B такой, что ж час = id_п. В таком случае, час(п) это прямое слагаемое из B, час является изоморфизм из п к час(п), и час ж это проекция на слагаемом час(п). Эквивалентно,

{ displaystyle B = operatorname {Im} (h) oplus operatorname {Ker} (f) { text {where}} operatorname {Ker} (f) cong A { text {and} } operatorname {Im} (h) cong P.}

Прямые слагаемые свободных модулей

Модуль п проективно тогда и только тогда, когда есть другой модуль Q так что прямая сумма из п и Q это бесплатный модуль.

Точность

An р-модуль п проективен тогда и только тогда, когда ковариантный функтор Hom (п, -): р-Мод → Ab является точный функтор, куда р-Мод это категория слева р-модули и Ab это категория абелевы группы. Когда кольцо р коммутативен, Ab предпочтительно заменяется на р-Мод в предыдущей характеристике. Этот функтор всегда остается точным, но когда п проективен, он также точен справа. Это означает, что п является проективным тогда и только тогда, когда этот функтор сохраняет эпиморфизмы (сюръективные гомоморфизмы) или если он сохраняет конечные копределы.

Двойная основа

Модуль п проективно тогда и только тогда, когда существует множество ${ displaystyle {a_ {i} in P mid i in I }}$ и набор ${ displaystyle {f_ {i} in mathrm {Hom} (P, R) mid i in I }}$ так что для каждого Икс в п, ж_я(Икс) отличен от нуля только для конечного числа я, и ${ Displaystyle х = сумма f_ {я} (х) а_ {я}}$ .

Элементарные примеры и свойства

Следующие свойства проективных модулей быстро выводятся из любого из приведенных выше (эквивалентных) определений проективных модулей:

Прямые суммы и прямые слагаемые проективных модулей проективны.
Если е = е² является идемпотент в ринге р, тогда Re является проективным левым модулем над р.

Связь с другими теоретико-модульными свойствами

Связь проективных модулей со свободными и плоскими модулями представлена в следующей диаграмме свойств модуля:

Импликации слева направо верны для любого кольца, хотя некоторые авторы определяют модули без кручения только над доменом. Импликации справа налево верны для колец, маркирующих их. Могут быть и другие кольца, по которым они верны. Например, импликация, обозначенная как «локальное кольцо или PID», также верна для колец многочленов над полем: это Теорема Квиллена – Суслина.

Проективные и бесплатные модули

Любой свободный модуль проективен. Обратное верно в следующих случаях:

если р это поле или же тело: любой модуль в этом случае бесплатен.
если кольцо р это главная идеальная область. Например, это касается р = Z (в целые числа ), так что абелева группа проективен если и только если это свободная абелева группа. Причина в том, что любой подмодуль свободного модуля над областью главных идеалов свободен.
если кольцо р это местное кольцо. Этот факт лежит в основе интуиции «локально свободный = проективный». Этот факт легко доказать для конечно порожденных проективных модулей. В общем, это связано с Капланского (1958); видеть Теорема Капланского о проективных модулях.

В общем, проективные модули не обязательно должны быть бесплатными:

Через прямое произведение колец р × S куда р и S ненулевые кольца, оба р × 0 и 0 × S - несвободные проективные модули.
Через Дедекиндский домен неглавный идеал - это всегда проективный модуль, который не является свободным модулем.
Через матричное кольцо M_п(р) естественный модуль р^п является проективным, но не бесплатным. В общем, по любому полупростое кольцо, каждый модуль проективен, но нулевой идеал и само кольцо - единственные свободные идеалы.

Разница между свободными и проективными модулями в некотором смысле измеряется алгебраическими K-теоретическая группа K₀(р), Смотри ниже.

Проективные и плоские модули

Каждый проективный модуль плоский.^[1] Обратное, вообще говоря, неверно: абелева группа Q это Z-модуль плоский, но не проективный.^[2]

И наоборот, a конечно связанный плоский модуль проективен.^[3]

Говоров (1965) и Лазар (1969) доказал, что модуль M плоский тогда и только тогда, когда это прямой предел из конечно порожденный бесплатные модули.

В общем, точное соотношение между плоскостностью и проективностью было установлено Рейно и Грюсон (1971) (смотрите также Дринфельд (2006) и Braunling, Groechenig и Wolfson (2016) ) кто показал, что модуль M проективен тогда и только тогда, когда он удовлетворяет следующим условиям:

M плоский,
M это прямая сумма счетно порожденных модулей,
M удовлетворяет определенному условию типа Миттаг-Леффлера.

Категория проективных модулей

Подмодули проективных модулей не обязательно должны быть проективными; кольцо р для которого каждый подмодуль проективного левого модуля проективен, называется левый потомственный.

Факторы проективных модулей также не обязательно должны быть проективными, например Z/п является частным от Z, но не без кручения, следовательно, не плоский и, следовательно, не проективный.

Категория конечно порожденных проективных модулей над кольцом - это точная категория. (Смотрите также алгебраическая K-теория ).

Проективные резолюции

Учитывая модуль, M, а проективный разрешающая способность из M бесконечный точная последовательность модулей

··· → п_п → ··· → п₂ → п₁ → п₀ → M → 0,

со всеми п_яs проективный. Каждый модуль обладает проективной резольвентой. Фактически бесплатное разрешение (резолюция бесплатные модули ) существуют. Точная последовательность проективных модулей иногда может быть сокращена до п(M) → M → 0 или же п_• → M → 0. Классический пример проективной резолюции дается Кошульский комплекс из регулярная последовательность, которое является свободным разрешением идеальный генерируется последовательностью.

В длина конечного разрешения - это нижний индекс п такой, что п_п отличен от нуля и п_я = 0 за я лучше чем п. Если M допускает конечную проективную резольвенту, минимальную длину среди всех конечных проективных резольвент M называется его проективное измерение и обозначили pd (M). Если M не допускает конечной проективной резольвенты, то по соглашению проективная размерность называется бесконечной. В качестве примера рассмотрим модуль M такой, что pd (M) = 0. В этой ситуации точность последовательности 0 → п₀ → M → 0 указывает, что стрелка в центре является изоморфизмом, и, следовательно, M сам по себе проективен.

Проективные модули над коммутативными кольцами

Проективные модули над коммутативные кольца иметь хорошие свойства.

В локализация проективного модуля - это проективный модуль над локализованным кольцом. местное кольцо бесплатно. Таким образом, проективный модуль локально бесплатно (в том смысле, что его локализация на каждом первичном идеале свободна над соответствующей локализацией кольца).

Обратное верно для конечно порожденные модули над Нётерские кольца: конечно порожденный модуль над коммутативным нётеровым кольцом локально свободен тогда и только тогда, когда он проективен.

Однако есть примеры конечно порожденных модулей над нётеровым кольцом, которые локально свободны и не проективны. Например, Логическое кольцо все его локализации изоморфны F₂, поле из двух элементов, поэтому любой модуль над булевым кольцом локально свободен, но есть некоторые непроективные модули над булевыми кольцами. Одним из примеров является р/я куда р является прямым продуктом счетного числа копий F₂ и я есть прямая сумма счетного числа копий F₂ Внутри р. р-модуль р/я локально бесплатно, так как р является логическим (и он конечно порождается как р-модуль тоже с охватывающим набором размера 1), но р/я не является проективным, потому что я не главный идеал. (Если фактор-модуль р/я, для любого коммутативного кольца р и идеальный я, является проективным р-модуль тогда я является основным.)

Однако верно, что для конечно представленные модули M над коммутативным кольцом р (в частности, если M является конечно порожденным р-модуль и р нётерова) следующие эквивалентны.^[4]

${ displaystyle M}$ плоский.
${ displaystyle M}$ проективно.
${ displaystyle M _ { mathfrak {m}}}$ бесплатно как ${ displaystyle R _ { mathfrak {m}}}$ -модуль для каждого максимального идеала ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ из р.
${ Displaystyle М _ { mathfrak {p}}}$ бесплатно как ${ Displaystyle R _ { mathfrak {p}}}$ -модуль для каждого простого идеала ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ из р.
Существуют ${ displaystyle f_ {1}, ldots, f_ {n} in R}$ генерирующий единичный идеал такой, что ${ Displaystyle М [е_ {я} ^ {- 1}]}$ бесплатно как ${ Displaystyle R [е_ {я} ^ {- 1}]}$ -модуль для каждого я.
${ displaystyle { widetilde {M}}}$ является локально свободной связкой на ${ displaystyle operatorname {Spec} R}$ (куда ${ displaystyle { widetilde {M}}}$ это связка, связанная с M.)

Более того, если р является нётеровой областью целостности, то по Лемма Накаямы, эти условия эквивалентны

Размер ${ Displaystyle к ({ mathfrak {p}})}$ –Векторное пространство ${ Displaystyle M otimes _ {R} к ({ mathfrak {p}})}$ одинаково для всех простых идеалов ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ из Р, куда ${ Displaystyle к ({ mathfrak {p}})}$ поле вычетов при ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ .^[5] То есть, M имеет постоянный ранг (как определено ниже).

Позволять А коммутативное кольцо. Если B является (возможно, некоммутативным) А-алгебра, являющаяся конечно порожденной проективной А-модуль, содержащий А как подкольцо, тогда А является прямым фактором B.^[6]

Классифицировать

Позволять п - конечно порожденный проективный модуль над коммутативным кольцом р и Икс быть спектр из р. В классифицировать из п в высшем идеале ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ в X - ранг свободного ${ displaystyle R _ { mathfrak {p}}}$ -модуль ${ displaystyle P _ { mathfrak {p}}}$ . Это локально постоянная функция на Икс. В частности, если Икс связано (то есть если р не имеет других идемпотентов, кроме 0 и 1), то п имеет постоянный ранг.

Векторные пакеты и локально бесплатные модули

Основная мотивация теории состоит в том, что проективные модули (по крайней мере, над некоторыми коммутативными кольцами) являются аналогами векторные пакеты. Это можно уточнить для кольца непрерывных действительных функций на компактный Пространство Хаусдорфа, а также для кольца гладких функций на гладкое многообразие (видеть Теорема Серра – Свона. который говорит, что конечно порожденный проективный модуль над пространством гладких функций на компактном многообразии есть пространство гладких сечений гладкого векторного расслоения).

Векторные пучки локально бесплатно. Если есть какое-то понятие «локализация», которое может быть перенесено в модули, например, обычные локализация кольца, можно определить локально свободные модули, и тогда проективные модули обычно совпадают с локально свободными модулями.

Проективные модули над кольцом многочленов

В Теорема Квиллена – Суслина, который решает проблему Серра, является еще одним глубокий результат: если K это поле, или в более общем смысле главная идеальная область, и р = K[Икс₁,...,Икс_п] это кольцо многочленов над K, то каждый проективный модуль над р бесплатно. Впервые эта проблема была поднята Серром в K поле (и конечно порожденные модули). Басс решил это для неконечно порожденных модулей, а Квиллен и Суслин независимо друг от друга и одновременно рассмотрели случай конечно порожденных модулей.

Поскольку каждый проективный модуль над областью главных идеалов свободен, можно задать следующий вопрос: если р - коммутативное кольцо такое, что каждое (конечно порожденное) проективное р-модуль свободен, то каждый (конечно порожденный) проективный р[Икс] -модуль бесплатный? Ответ нет. Контрпример происходит с р равным локальному кольцу кривой у² = Икс³ в происхождении. Таким образом, теорема Квиллена-Суслина никогда не могла быть доказана простой индукцией по числу переменных.

Смотрите также

Примечания

^ Хазевинкель; и другие. (2004). Следствие 5.4.5.. п. 131.
^ Хазевинкель; и другие. (2004). Замечание после следствия 5.4.5.. С. 131–132.
^ Кон 2003, Следствие 4.6.4
^ Упражнения 4.11 и 4.12 и следствие 6.6 Дэвида Эйзенбуда, Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии, GTM 150, Springer-Verlag, 1995. Также, Милн 1980
^ То есть, ${ Displaystyle К ({ mathfrak {p}}) = R _ { mathfrak {p}} / { mathfrak {p}} R _ { mathfrak {p}}}$ поле вычетов локального кольца ${ Displaystyle R _ { mathfrak {p}}}$ .
^ Бурбаки, коммутативный Альгебр 1989, Глава II, §5, Упражнение 4