Подъемное имущество - Lifting property

В математика, в частности в теория категорий, то подъемное имущество является свойством пары морфизмы в категория. Он используется в теория гомотопии в алгебраическая топология для определения свойств морфизмов, исходя из явно заданного класса морфизмов. Это заметно проявляется в теории категории моделей, аксиоматическая основа для теория гомотопии представлен Дэниел Квиллен. Он также используется в определении система факторизации, и слабая система факторизации, понятия, относящиеся к понятию модельной категории, но менее ограничивающие его. Некоторые элементарные понятия также могут быть выражены с помощью свойства подъема, начиная со списка (счетных) примеров.

Формальное определение

Морфизм я в категории имеет левое подъемное свойство относительно морфизма п, и п также имеет право подъема собственности относительно я, иногда обозначается ${\displaystyle i\perp p}$ или же ${\displaystyle i\downarrow p}$, тогда и только тогда, когда для каждого морфизма верна импликация ж и грамм в категории:

• если внешний квадрат следующей диаграммы коммутирует, то существует час завершение схемы, т.е. для каждого ${\displaystyle f:A\to X}$ и ${\displaystyle g:B\to Y}$ такой, что ${\displaystyle p\circ f=g\circ i}$ Существует ${\displaystyle h:B\to X}$ такой, что ${\displaystyle h\circ i=f}$ и ${\displaystyle p\circ h=g}$.

Иногда это также называют морфизмом я существование ортогонален морфизм п; однако это также может относиться к более сильному свойству, которое, когда ж и грамм такие же, как и выше, диагональный морфизм час существует и также должен быть уникальным.

Для класса C морфизмов в категории, ее лево ортогональный ${\displaystyle C^{\perp \ell }}$ или же ${\displaystyle C^{\perp }}$ относительно подъемного свойства соответственно его право ортогональный ${\displaystyle C^{\perp r}}$ или же ${\displaystyle {}^{\perp }C}$, - класс всех морфизмов, которые обладают свойством подъема слева и справа относительно каждого морфизма из класса C. В обозначениях

${\displaystyle {\begin{aligned}C^{\perp \ell }&:=\{i\mid \forall p\in C,i\perp p\}\\C^{\perp r}&:=\{p\mid \forall i\in C,i\perp p\}\end{aligned}}}$

Принимая ортогональность класса C это простой способ определить класс морфизмов, исключая неизоморфизмы из C, что полезно в погоня за диаграммой вычисление.

Таким образом, в категории Набор из наборы, правый ортогональный ${\displaystyle \{\emptyset \to \{*\}\}^{\perp r}}$ простейшего невыполнение ${\displaystyle \emptyset \to \{*\},}$ это класс сюръекций. Левая и правая ортогонали ${\displaystyle \{x_{1},x_{2}\}\to \{*\},}$ простейший без инъекций, оба являются классом инъекций,

${\displaystyle \{\{x_{1},x_{2}\}\to \{*\}\}^{\perp \ell }=\{\{x_{1},x_{2}\}\to \{*\}\}^{\perp r}=\{f\mid f{\text{ is an injection }}\}.}$

Ясно, что ${\displaystyle C^{\perp \ell r}\supset C}$ и ${\displaystyle C^{\perp r\ell }\supset C}$. Класс ${\displaystyle C^{\perp \ell }}$ всегда закрывается при ретрактах, откаты, (маленький) товары (если они существуют в категории) и композиции морфизмов, и содержит все изоморфизмы C. Между тем, ${\displaystyle C^{\perp r}}$ закрывается при ретрактах, выталкивания, (маленький) побочные продукты и трансфинитный состав (отфильтрованные копределы ) морфизмов (если они существуют в категории), а также содержит все изоморфизмы.

Примеры

Ряд понятий можно определить, переходя несколько раз влево или вправо ортогонально, начиная со списка явных примеров, т. Е. Как ${\displaystyle C^{\perp \ell },C^{\perp r},C^{\perp \ell r},C^{\perp \ell \ell }}$, куда ${\displaystyle C}$ - класс, состоящий из нескольких явно заданных морфизмов. Полезная интуиция состоит в том, чтобы думать, что свойство подъема влево по отношению к классу C это своего рода отрицание свойства находиться в C, и этот подъем вправо - тоже своего рода отрицание. Следовательно, классы, полученные из C взяв ортогонали нечетное количество раз, например ${\displaystyle C^{\perp \ell },C^{\perp r},C^{\perp \ell r\ell },C^{\perp \ell \ell \ell }}$ и т. д., представляют собой различные виды отрицания C, так ${\displaystyle C^{\perp \ell },C^{\perp r},C^{\perp \ell r\ell },C^{\perp \ell \ell \ell }}$ каждый состоит из морфизмов, далеких от свойства ${\displaystyle C}$.

Примеры подъемных свойств в алгебраической топологии

Карта ${\displaystyle f:U\to B}$ имеет свойство подъема пути если только ${\displaystyle \{0\}\to [0,1]\perp f}$ куда ${\displaystyle \{0\}\to [0,1]}$ - включение одной конечной точки отрезка в отрезок ${\displaystyle [0,1]}$.

Карта ${\displaystyle f:U\to B}$ имеет свойство гомотопического подъема если только ${\displaystyle X\to X\times [0,1]\perp f}$ куда ${\displaystyle X\to X\times [0,1]}$ это карта ${\displaystyle x\mapsto (x,0)}$.

Примеры подъемных свойств из категорий моделей

Фибры и кофибрации.

• Позволять Вершина быть категорией топологические пространства, и разреши ${\displaystyle C_{0}}$ быть классом карт ${\displaystyle S^{n}\to D^{n+1}}$, вложения границы ${\displaystyle S^{n}=\partial D^{n+1}}$ из мяча в мяч ${\displaystyle D^{n+1}}$. Позволять ${\displaystyle WC_{0}}$ - класс отображений, вкладывающих верхнюю полусферу в круг. ${\displaystyle WC_{0}^{\perp \ell },WC_{0}^{\perp \ell r},C_{0}^{\perp \ell },C_{0}^{\perp \ell r}}$ являются классами расслоений, ациклических кофибраций, ациклических расслоений и кофибраций.^[1]

• Позволять sSet быть категорией симплициальные множества. Позволять ${\displaystyle C_{0}}$ - класс граничных включений ${\displaystyle \partial \Delta [n]\to \Delta [n]}$, и разреши ${\displaystyle WC_{0}}$ быть классом роговых включений ${\displaystyle \Lambda ^{i}[n]\to \Delta [n]}$. Тогда классы расслоений, ациклических кофибраций, ациклических расслоений и кофибраций соответственно равны ${\displaystyle WC_{0}^{\perp \ell },WC_{0}^{\perp \ell r},C_{0}^{\perp \ell },C_{0}^{\perp \ell r}}$.^[2]

• Позволять Ch(р) быть категорией цепные комплексы через коммутативное кольцо р. Позволять ${\displaystyle C_{0}}$ быть классом отображений формы

${\displaystyle \cdots \to 0\to R\to 0\to 0\to \cdots \to \cdots \to R{\xrightarrow {\operatorname {id} }}R\to 0\to 0\to \cdots ,}$

и ${\displaystyle WC_{0}}$ быть

${\displaystyle \cdots \to 0\to 0\to 0\to 0\to \cdots \to \cdots \to R{\xrightarrow {\operatorname {id} }}R\to 0\to 0\to \cdots .}$

потом ${\displaystyle WC_{0}^{\perp \ell },WC_{0}^{\perp \ell r},C_{0}^{\perp \ell },C_{0}^{\perp \ell r}}$ являются классами расслоений, ациклических кофибраций, ациклических расслоений и кофибраций.^[3]

Элементарные примеры в разных категориях

В Набор,

• ${\displaystyle \{\emptyset \to \{*\}\}^{\perp r}}$ это класс сюръекций,

• ${\displaystyle (\{a,b\}\to \{*\})^{\perp r}=(\{a,b\}\to \{*\})^{\perp \ell }}$ это класс инъекций.

В категории р-Мод из модули над коммутативным кольцом р,

• ${\displaystyle \{0\to R\}^{\perp r},\{R\to 0\}^{\perp r}}$ - класс сюръекций, соответственно. уколы,

• Модуль M является проективный, соотв. инъективный, если и только если ${\displaystyle 0\to M}$ в ${\displaystyle \{0\to R\}^{\perp \ell r}}$, соотв. ${\displaystyle M\to 0}$ в ${\displaystyle \{R\to 0\}^{\perp rr}}$.

В категории Grp из группы,

• ${\displaystyle \{\mathbb {Z} \to 0\}^{\perp r}}$, соотв. ${\displaystyle \{0\to \mathbb {Z} \}^{\perp r}}$, - класс инъекций, соотв. сюрпризы (где ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ обозначает бесконечный циклическая группа ),

• Группа F это свободная группа если только ${\displaystyle 0\to F}$ в ${\displaystyle \{0\to \mathbb {Z} \}^{\perp r\ell },}$

• Группа А является без кручения если только ${\displaystyle 0\to A}$ в ${\displaystyle \{n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} :n>0\}^{\perp r},}$

• А подгруппа А из B является чистый если только ${\displaystyle A\to B}$ в ${\displaystyle \{n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} :n>0\}^{\perp r}.}$

Для конечная группа грамм,

• ${\displaystyle \{0\to {\mathbb {Z} }/p{\mathbb {Z} }\}\perp G\to 1}$ если и только если порядок из грамм первичен к п,

• ${\displaystyle G\to 1\in (0\to {\mathbb {Z} }/p{\mathbb {Z} })^{\perp rr}}$ если только грамм это п-группа,

• ЧАС нильпотентно тогда и только тогда, когда диагональное отображение ${\displaystyle H\to H\times H}$ в ${\displaystyle (1\to *)^{\perp \ell r}}$ куда ${\displaystyle (1\to *)}$ обозначает класс карт ${\displaystyle \{1\to G:G{\text{ arbitrary}}\},}$

• конечная группа ЧАС является растворимый если только ${\displaystyle 1\to H}$ в ${\displaystyle \{0\to A:A{\text{ abelian}}\}^{\perp \ell r}=\{[G,G]\to G:G{\text{ arbitrary }}\}^{\perp \ell r}.}$

В категории Вершина топологических пространств, пусть ${\displaystyle \{0,1\}}$, соотв. ${\displaystyle \{0\leftrightarrow 1\}}$ обозначить дискретный, соотв. антидискретный пространство с двумя точками 0 и 1. Пусть ${\displaystyle \{0\to 1\}}$ обозначить Пространство Серпинского двух точек, где точка 0 открыта и точка 1 закрыта, и пусть ${\displaystyle \{0\}\to \{0\to 1\},\{1\}\to \{0\to 1\}}$ и т.д. обозначают очевидные вложения.

• пространство Икс удовлетворяет аксиоме отделимости Т₀ если только ${\displaystyle X\to \{*\}}$ в ${\displaystyle (\{0\leftrightarrow 1\}\to \{*\})^{\perp r},}$

• пространство Икс удовлетворяет аксиоме отделимости Т₁ если только ${\displaystyle \emptyset \to X}$ в ${\displaystyle (\{0\to 1\}\to \{*\})^{\perp r},}$

• ${\displaystyle (\{1\}\to \{0\to 1\})^{\perp \ell }}$ класс карт с плотный изображение,

• ${\displaystyle (\{0\to 1\}\to \{*\})^{\perp \ell }}$ это класс карт ${\displaystyle f:X\to Y}$ так что топология на А это откат топологии на B, т.е. топология на А - топология с наименьшим числом открытых множеств, такая что отображение непрерывный,

• ${\displaystyle (\emptyset \to \{*\})^{\perp r}}$ - класс сюръективных отображений,

• ${\displaystyle (\emptyset \to \{*\})^{\perp r\ell }}$ класс отображений вида ${\displaystyle A\to A\cup D}$ куда D дискретно,

• ${\displaystyle (\emptyset \to \{*\})^{\perp r\ell \ell }=(\{a\}\to \{a,b\})^{\perp \ell }}$ это класс карт ${\displaystyle A\to B}$ так что каждый связный компонент из B пересекает ${\displaystyle \operatorname {Im} A}$,

• ${\displaystyle (\{0,1\}\to \{*\})^{\perp r}}$ - класс инъективных отображений,

• ${\displaystyle (\{0,1\}\to \{*\})^{\perp \ell }}$ это класс карт ${\displaystyle f:X\to Y}$ так что прообраз из связаны закрытое открытое подмножество Y это связанный закрытый открытый подмножество из Икс, например Икс связан тогда и только тогда ${\displaystyle X\to \{*\}}$ в ${\displaystyle (\{0,1\}\to \{*\})^{\perp \ell }}$,

• для связного пространства X каждая непрерывная функция на Икс ограничен тогда и только тогда ${\displaystyle \emptyset \to X\perp \cup _{n}(-n,n)\to \mathbb {R} }$ куда ${\displaystyle \cup _{n}(-n,n)\to \mathbb {R} }$ это карта из несвязный союз открытых интервалов ${\displaystyle (-n,n)}$ в реальная линия ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

• пространство Икс является Хаусдорф iff для любого инъективного отображения ${\displaystyle \{a,b\}\hookrightarrow X}$, он держит ${\displaystyle \{a,b\}\hookrightarrow X\perp \{a\to x\leftarrow b\}\to \{*\}}$ куда ${\displaystyle \{a\leftarrow x\to b\}}$ обозначает трехточечное пространство с двумя открытыми точками а и б, и закрытая точка Икс,

• пространство Икс является совершенно нормально если только ${\displaystyle \emptyset \to X\perp [0,1]\to \{0\leftarrow x\to 1\}}$ где открытый интервал ${\displaystyle (0,1)}$ идет вИкс, и ${\displaystyle 0}$ отображает в точку ${\displaystyle 0}$, и ${\displaystyle 1}$ отображает в точку ${\displaystyle 1}$, и ${\displaystyle \{0\leftarrow x\to 1\}}$ обозначает трехточечное пространство с двумя замкнутыми точками ${\displaystyle 0,1}$ и одна открытая точка Икс.

В категории метрические пространства с равномерно непрерывный карты.

• Пространство Икс является полный если только ${\displaystyle \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\to \{0\}\cup \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\perp X\to \{0\}}$ куда ${\displaystyle \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\to \{0\}\cup \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }}$ является очевидным включением между двумя подпространствами вещественной прямой с индуцированной метрикой, и ${\displaystyle \{0\}}$ - метрическое пространство, состоящее из одной точки,

• Подпространство ${\displaystyle i:A\to X}$ закрыто, если и только если ${\displaystyle \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\to \{0\}\cup \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\perp A\to X.}$

Примечания

1. Хови, Марк. Категории моделей. Def. 2.4.3, Th.2.4.9
2. Хови, Марк. Категории моделей. Def. 3.2.1, Th.3.6.5
3. Хови, Марк. Категории моделей. Def. 2.3.3, Th.2.3.11

Рекомендации

• Хови, Марк (1999). Категории моделей.