Теорема Серра – Свона. - Serre–Swan theorem

в математический поля топология и K-теория, то Теорема Серра – Свона., также называется Теорема Свонасвязывает геометрическое понятие векторные пакеты к алгебраической концепции проективные модули и порождает общую интуицию во всем математика: "проективные модули над коммутативные кольца подобны векторным расслоениям на компактных пространствах ».

Две точные формулировки теорем несколько различаются. Исходная теорема, сформулированная Жан-Пьер Серр в 1955 г., носит более алгебраический характер и касается векторных расслоений на алгебраическое многообразие над алгебраически замкнутое поле (любой характеристика ). Дополнительный вариант, изложенный Ричард Свон в 1962 г. является более аналитическим и касается (реальных, комплексных или кватернионных) векторных расслоений на гладкое многообразие или Пространство Хаусдорфа.

Дифференциальная геометрия

Предположим M это гладкое многообразие (не обязательно компактный), и E это гладкое векторное расслоение над M. потом Γ (E), пространство гладкие участки из E, это модуль над C^∞(M) (коммутативная алгебра гладких вещественнозначных функций на M). Теорема Свана утверждает, что этот модуль конечно порожденный и проективный над C^∞(M). Другими словами, каждое векторное расслоение является прямым слагаемым некоторого тривиального расслоения: ${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{k}}$ для некоторых k. Теорема может быть доказана путем построения эпиморфизма расслоения из тривиального расслоения ${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{k}\to E.}$ Это можно сделать, например, выставив разделы s₁...s_k со свойством, что для каждой точки п, {s_я(п)} покрывают слой п.

Когда M является связанный, верно и обратное: каждый конечно порожденный проективный модуль над C^∞(M) возникает таким образом из некоторого гладкого векторного расслоения на M. Такой модуль можно рассматривать как гладкую функцию ж на M со значениями в п × п идемпотентные матрицы для некоторых п. Слой соответствующего векторного расслоения над Икс тогда диапазон ж(Икс). Если M несвязно, обратное неверно, если только не допускаются векторные расслоения непостоянного ранга (что означает допускающие многообразия непостоянной размерности). Например, если M - нульмерное 2-точечное многообразие, модуль ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus 0}$ конечно порожден и проективен над ${\displaystyle C^{\infty }(M)\cong \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ но не свободный, и поэтому не может соответствовать сечениям любого (постоянного ранга) векторного расслоения над M (все это тривиально).

Сказанное выше можно сформулировать иначе: для любого связного гладкого многообразия M, секция функтор Γ от категория гладких векторных расслоений над M в категорию конечно порожденных проективных C^∞(M) -модули есть полный, верный, и по существу сюръективный. Следовательно, категория гладких векторных расслоений на M является эквивалент в категорию конечно порожденных проективных C^∞(M) -модули. Подробности можно найти в (Неструев 2003 ).

Топология

Предположим Икс компактный Пространство Хаусдорфа, а C (Икс) - кольцо непрерывный действительные функции на Икс. Аналогично результату выше, категория вещественных векторных расслоений на Икс эквивалентна категории конечно порожденных проективных модулей над C (Икс). Тот же результат имеет место, если заменить «вещественное» на «комплексное» и «вещественное векторное расслоение» на «комплексное векторное расслоение», но он не выполняется, если заменить поле на полностью отключен поле как рациональное число.

Подробно пусть Vec (Икс) быть категория из сложные векторные расслоения над Икс, и пусть ProjMod (C (Икс)) быть категорией конечно порожденный проективные модули над C * -алгебра C (Икс). Существует функтор Γ: Vec (Икс) → ProjMod (C (Икс)) который отправляет каждое комплексное векторное расслоение E над Икс к C (Икс) -модуль Γ (Икс, E) из разделы. Если ${\displaystyle \tau :(E_{1},\pi _{1})\to (E_{2},\pi _{2})}$ это морфизм векторных расслоений над Икс тогда ${\displaystyle \pi _{2}\circ \tau =\pi _{1}}$ и отсюда следует, что

${\displaystyle \forall s\in \Gamma (X,E_{1})\quad \pi _{2}\circ \tau \circ s=\pi _{1}\circ s={\text{id}}_{X},}$

давая карту

${\displaystyle {\begin{cases}\Gamma \tau :\Gamma (X,E_{1})\to \Gamma (X,E_{2})\\s\mapsto \tau \circ s\end{cases}}}$

который уважает структуру модуля (Варили, 97). Теорема Свана утверждает, что функтор Γ является эквивалентность категорий.

Алгебраическая геометрия

Аналогичный результат в алгебраическая геометрия, из-за Серр (1955, §50) применяется к векторным расслоениям в категории аффинные разновидности. Позволять Икс - аффинное многообразие со структурным пучком ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X},}$ и ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ а связный пучок из ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ -модули на Икс. потом ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ является пучком ростков конечномерного векторного расслоения тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {F}},X),}$ пространство секций ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ является проективным модулем над коммутативным кольцом ${\displaystyle A=\Gamma ({\mathcal {O}}_{X},X).}$

использованная литература

• Каруби, Макс (1978), K-теория: введение, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-08090-1
• Манохаран, Паланивель (1995), "Обобщенная теорема Лебедя и ее применение", Труды Американского математического общества, 123 (10): 3219–3223, Дои:10.2307/2160685, JSTOR  2160685, Г-Н  1264823.
• Серр, Жан-Пьер (1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Анналы математики, 61 (2): 197–278, Дои:10.2307/1969915, JSTOR  1969915, Г-Н  0068874.
• Свон, Ричард Г. (1962), "Векторные расслоения и проективные модули", Труды Американского математического общества, 105 (2): 264–277, Дои:10.2307/1993627, JSTOR  1993627.
• Неструев, Джет (2003), Гладкие многообразия и наблюдаемые, Выпускные тексты по математике, 220, Springer-Verlag, ISBN  0-387-95543-7
• Giachetta, G .; Mangiarotti, L .; Сарданашвили, Геннадий (2005), Геометрические и алгебраические топологические методы в квантовой механике, World Scientific, ISBN  981-256-129-3.

Эта статья включает материал из теоремы Серра-Свана о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.