Алгебраическая K-теория - Algebraic K-theory

Алгебраический K-теория это предметная область математики, связанная с геометрия, топология, теория колец, и теория чисел. Геометрическим, алгебраическим и арифметическим объектам присваиваются объекты, называемые K-группы. Это группы в смысле абстрактная алгебра. Они содержат подробную информацию об исходном объекте, но, как известно, их сложно вычислить; например, важной нерешенной проблемой является вычисление K-группы целые числа.

K-теория была изобретена в конце 1950-х годов Александр Гротендик в своем исследовании теория пересечений на алгебраические многообразия. На современном языке Гротендик определил только K₀, нулевой K-group, но даже у этой единственной группы есть множество приложений, таких как Теорема Гротендика – Римана – Роха.. Теория пересечений по-прежнему является движущей силой в развитии (высших) алгебраических K-теория через ее связи с мотивационные когомологии и конкретно Группы чау. Тема также включает классические теоретико-числовые темы, такие как квадратичная взаимность и вложения числовые поля в действительные числа и сложные числа, а также более современные проблемы, такие как строительство более высоких регуляторы и особые ценности L-функции.

Нижний K-группы были открыты первыми в том смысле, что были найдены адекватные описания этих групп в терминах других алгебраических структур. Например, если F это поле, тогда K₀(F) изоморфна целым числам Z и тесно связан с понятием векторное пространственное измерение. Для коммутативного кольца р, группа K₀(р) относится к Группа Пикард из р, и когда р кольцо целых чисел в числовом поле, это обобщает классическую конструкцию классная группа. Группа K₁(р) тесно связана с группой единиц р^×, и если р это поле, это и есть группа единиц. Для числового поля F, группа K₂(F) относится к теория поля классов, то Символ Гильберта, и разрешимость квадратных уравнений над пополнениями. Напротив, поиск правильного определения высшего K-группы колец было трудным достижением Дэниел Квиллен, и многие основные факты о высших K-группы алгебраических многообразий не были известны до работ Роберт Томасон.

История

История K-теория была детализирована Чарльз Вейбель.^[1]

Группа Гротендика K₀

В 19 веке, Бернхард Риманн и его ученик Густав Рох доказал то, что сейчас известно как Теорема Римана – Роха. Если Икс является римановой поверхностью, то множества мероморфные функции и мероморфный дифференциальные формы на Икс образуют векторные пространства. А линейный пакет на Икс определяет подпространства этих векторных пространств, и если Икс проективно, то эти подпространства конечномерны. Теорема Римана – Роха утверждает, что разность размерностей между этими подпространствами равна степени линейного расслоения (мера скрученности) плюс один минус род Икс. В середине 20 века теорема Римана – Роха была обобщена Фридрих Хирцебрух ко всем алгебраическим многообразиям. В формулировке Хирцебруха Теорема Хирцебруха – Римана – Роха., теорема стала утверждением о Характеристики Эйлера: Эйлерова характеристика векторный набор на алгебраическом многообразии (которое является альтернированной суммой размерностей его групп когомологий) равна эйлеровой характеристике тривиального расслоения плюс поправочный коэффициент, полученный из характеристические классы векторного расслоения. Это обобщение, потому что на проективной римановой поверхности эйлерова характеристика линейного расслоения равна разнице в размерах, упомянутой ранее, эйлерова характеристика тривиального расслоения равна единице минус род, а единственный нетривиальный характеристический класс - степень.

Предмет K-теория получила свое название от постройки 1957 г. Александр Гротендик который появился в Теорема Гротендика – Римана – Роха., его обобщение теоремы Хирцебруха.^[2] Позволять Икс - гладкое алгебраическое многообразие. Каждому векторному расслоению на Икс, Гротендик ставит в соответствие инвариант, его учебный класс. Набор всех классов на Икс назывался K(Икс) из немецкого Klasse. По определению, K(Икс) - фактор свободной абелевой группы на классах изоморфизмов векторных расслоений на Икс, а значит, это абелева группа. Если базисный элемент, соответствующий векторному расслоению V обозначается [V], то для каждой короткой точной последовательности векторных расслоений:

${\displaystyle 0\to V'\to V\to V''\to 0,}$

Гротендик наложил соотношение [V] = [V ′] + [V ″]. Эти генераторы и отношения определяют K(Икс), и они подразумевают, что это универсальный способ присвоения инвариантов векторным расслоениям способом, совместимым с точными последовательностями.

Гротендик придерживался точки зрения, согласно которой теорема Римана – Роха является утверждением о морфизмах многообразий, а не о самих многообразиях. Он доказал, что существует гомоморфизм из K(Икс) к Группы чау из Икс исходящий из Черн персонаж и Тодд класс из Икс. Кроме того, он доказал, что правильный морфизм ж : Икс → Y к гладкому разнообразию Y определяет гомоморфизм е * : K(Икс) → K(Y) называется продвигать. Это дает два способа определения элемента в группе Чоу из Y из векторного расслоения на Икс: Начиная с Икс, можно сначала вычислить продвижение вперед в K-теории, а затем примените характер Черна и класс Тодда Y, или можно сначала применить характер Черна и класс Тодда Икс и затем вычислить продвижение вперед для групп Чоу. Теорема Гротендика – Римана – Роха утверждает, что они равны. Когда Y - точка, векторное расслоение - это векторное пространство, класс векторного пространства - это его размерность, а теорема Гротендика – Римана – Роха специализируется на теореме Хирцебруха.

Группа K(Икс) теперь известен как K₀(Икс). При замене векторных расслоений на проективные модули K₀ также стал определен для некоммутативных колец, где он имел приложения к групповые представления. Атья и Хирцебрух быстро перенес конструкцию Гротендика в топологию и использовал ее для определения топологическая K-теория.^[3] Топологический K-теория была одним из первых примеров необычная теория когомологий: Он ассоциируется с каждым топологическим пространством Икс (удовлетворяющая некоторым мягким техническим ограничениям) последовательность групп K_п(Икс), которые удовлетворяют всем Аксиомы Эйленберга – Стинрода кроме аксиомы нормализации. Однако определение алгебраических многообразий гораздо более жесткое, и гибкие конструкции, используемые в топологии, были недоступны. Пока группа K₀ казалось, удовлетворял необходимым свойствам, которые положили начало теории когомологий алгебраических многообразий и некоммутативных колец, не существовало четкого определения высшего K_п(Икс). Даже когда такие определения были разработаны, технические проблемы, связанные с ограничениями и склеиванием, обычно вынуждали K_п должно быть определено только для колец, а не для разновидностей.

K₀, K₁, и K₂

Хотя изначально об этом не было известно, группа, связанная с K₁ уже был представлен в другом контексте. Анри Пуанкаре пытался определить числа Бетти многообразия в терминах триангуляции. Однако в его методах был серьезный пробел: Пуанкаре не мог доказать, что две триангуляции многообразия всегда давали одни и те же числа Бетти. Совершенно очевидно, что числа Бетти не изменились при разбиении триангуляции, и поэтому было ясно, что любые две триангуляции, которые имеют общее подразделение, имеют одинаковые числа Бетти. Что было неизвестно, так это то, что любые две триангуляции допускали общее подразделение. Эта гипотеза стала гипотезой, известной как Hauptvermutung (примерно «основная гипотеза»). Тот факт, что триангуляции были устойчивы при подразделении, привел к J.H.C. Уайтхед ввести понятие простой гомотопический тип.^[4] Простая гомотопическая эквивалентность определяется в терминах добавления симплексов или клеток к симплициальный комплекс или же клеточный комплекс таким образом, что каждый дополнительный симплекс или деформация ячейки втягиваются в часть старого пространства. Частично мотивация для этого определения состоит в том, что подразделение триангуляции является простым гомотопическим эквивалентом исходной триангуляции, и поэтому две триангуляции, которые разделяют общее подразделение, должны быть простым гомотопическим эквивалентом. Уайтхед доказал, что простая гомотопическая эквивалентность является более тонким инвариантом, чем гомотопическая эквивалентность, введя инвариант, называемый кручение. Кручение гомотопической эквивалентности принимает значения в группе, которая теперь называется Группа Уайтхеда и обозначен Wh(π), куда π фундаментальная группа двух комплексов. Уайтхед нашел примеры нетривиального кручения и тем самым доказал, что некоторые гомотопические эквивалентности непросты. Позднее было обнаружено, что группа Уайтхеда представляет собой частное от K₁(Zπ), куда Zπ это интеграл групповое кольцо из π. Потом Джон Милнор использовал Кручение Рейдемейстера, инвариант, связанный с кручением Уайтхеда, чтобы опровергнуть Hauptvermutung.

Первое адекватное определение K₁ кольца было сделано Хайман Басс и Стивен Шануэль.^[5] В топологической K-теория, K₁ определяется с помощью векторных расслоений на приостановка пространства. Все такие векторные расслоения происходят из сжимающая конструкция, где два тривиальных векторных расслоения на двух половинах пространства склеены по общей полосе пространства. Эти данные склейки выражаются с помощью общая линейная группа, но элементы этой группы, происходящие из элементарных матриц (матриц, соответствующих элементарным операциям со строками или столбцами), определяют эквивалентные склейки. Исходя из этого, определение Басса – Шануэля K₁ кольца р является GL(р) / E(р), куда GL(р) - бесконечная общая линейная группа (объединение всех GL_п(р)) и E(р) - подгруппа элементарных матриц. Они также дали определение K₀ гомоморфизма колец и доказал, что K₀ и K₁ могут быть помещены вместе в точную последовательность, аналогичную точной последовательности относительной гомологии.

Работать в K-теория этого периода завершилась в книге Басса Алгебраический K-теория.^[6] В дополнение к последовательному изложению известных в то время результатов, Басс улучшил многие формулировки теорем. Особо следует отметить, что Басс, основываясь на своей более ранней работе с Мурти,^[7] предоставил первое доказательство того, что сейчас известно как основная теорема алгебраических K-теория. Это четырехчленная точная последовательность, относящаяся к K₀ кольца р к K₁ из р, кольцо многочленов р[т], а локализация р[т, т⁻¹]. Басс признал, что эта теорема дает описание K₀ полностью с точки зрения K₁. Применяя это описание рекурсивно, он произвел отрицательные K-группы K_−n(р). В самостоятельной работе Макс Каруби дал другое определение отрицательного K-группы для определенных категорий и доказал, что его определения дали те же группы, что и Басса.^[8]

Следующим важным событием в этой области стало определение термина K₂. Стейнберг изучил универсальные центральные надставки группы Шевалле над полем и дал явное представление этой группы в терминах образующих и соотношений.^[9] В случае группы E_п(k) элементарных матриц универсальное центральное расширение теперь записывается как St_п(k) и назвал Группа Steinberg. Весной 1967 г. Джон Милнор определенный K₂(р) быть ядром гомоморфизма St (р) → E(р).^[10] Группа K₂ далее расширил некоторые из точных последовательностей, известных для K₁ и K₀, и он нашел поразительное применение в теории чисел. Хидэя Мацумото диссертация 1968 г.^[11] показал, что для поля F, K₂(F) был изоморфен:

${\displaystyle F^{\times }\otimes _{\mathbf {Z} }F^{\times }/\langle x\otimes (1-x)\colon x\in F\setminus \{0,1\}\rangle .}$

Этому соотношению также удовлетворяет Символ Гильберта, который выражает разрешимость квадратных уравнений над местные поля. Особенно, Джон Тейт смог доказать, что K₂(Q) по существу построена вокруг закона квадратичная взаимность.

Выше K-группы

В конце 1960-х - начале 1970-х годов несколько определений высшего K-теории были предложены. Лебедь^[12] и Герстен^[13] оба дали определения K_п для всех п, и Герстен доказал, что его теории и теории Свона эквивалентны, но не было известно, что эти две теории удовлетворяют всем ожидаемым свойствам. Нобиле и Вильямайор также предложили определение высшего K-группы.^[14] Каруби и Вильямайор определили как хорошо воспитанных K-группы для всех п,^[15] но их эквивалент K₁ иногда было правильным соотношением Басса – Шануэля K₁. Их K-группы теперь называются КВ_п и связаны с гомотопически-инвариантными модификациями K-теория.

Отчасти вдохновленный теоремой Мацумото, Милнор дал определение высшего K-группы поля.^[16] Он сослался на свое определение как «чисто для этого случая",^[17] и это не казалось ни обобщающим для всех колец, ни правильным определением высшего K-теория полей. Много позже его открыли Нестеренко и Суслин.^[18] и Тотаро^[19] что Милнор K-теория на самом деле является прямым слагаемым истинного K-теория поля. Конкретно, K-группы имеют фильтрацию, называемую весовая фильтрация, и Милнор K-теория поля - высшая весовая категория K-теория. Кроме того, Томасон обнаружил, что аналога Милнора не существует. K-теория для общего разнообразия.^[20]

Первое определение высшего K-теория, получившая широкое признание, была Дэниел Квиллен с.^[21] В рамках работы Квиллена над Гипотеза Адамса в топологии он построил карты из классификация пространств BGL(F_q) в гомотопический слой ψ^q − 1, куда ψ^q это qth Операция Адамса действуя в классифицирующем пространстве BU. Эта карта ациклична, и после изменения BGL(F_q) немного, чтобы создать новое пространство BGL(F_q)⁺, отображение стало гомотопической эквивалентностью. Эта модификация получила название плюс строительство. Известно, что операции Адамса связаны с классами Черна и K-теории со времен работы Гротендика, и поэтому Квиллену пришлось определить K-теория р как гомотопические группы BGL(р)⁺. Мало того, что это поправилось K₁ и K₂, отношение K-теория операций Адамса позволила Квиллену вычислить K-группы конечных полей.

Классифицирующее пространство BGL связано, поэтому определение Квиллена не дает правильного значения для K₀. Кроме того, он не дал отрицательных результатов. K-группы. С K₀ при наличии известного и принятого определения эту трудность можно было обойти, но это оставалось технически неудобным. Концептуально проблема заключалась в том, что определение возникло из GL, который классически был источником K₁. Потому что GL знает только о склейке векторных расслоений, а не о самих векторных расслоениях, он не мог описать K₀.

Вдохновленный беседами с Квилленом, Сигал вскоре представил другой подход к построению алгебраических K-теория под названием Γ-объектов.^[22] Подход Сигала является гомотопическим аналогом конструкции Гротендика K₀. Если Гротендик работал с классами изоморфизма связок, Сигал работал с самими связками и использовал изоморфизмы связок как часть своих данных. Это приводит к спектр чьи гомотопические группы высшие K-группы (в том числе K₀). Однако подход Сигала мог наложить соотношения только для точных последовательностей, а не для общих точных последовательностей. В категории проективных модулей над кольцом каждая короткая точная последовательность расщепляется, и поэтому Γ-объекты могут использоваться для определения K-теория кольца. Однако в категории векторных расслоений на многообразии и в категории всех модулей над кольцом есть нерасщепляемые короткие точные последовательности, поэтому подход Сигала применим не ко всем интересующим случаям.

Весной 1972 года Квиллен нашел другой подход к построению высших K-теория, которая оказалась чрезвычайно успешной. Это новое определение началось с точная категория, категория, удовлетворяющая определенным формальным свойствам, аналогичным, но немного более слабым, чем свойства, которым удовлетворяет категория модулей или векторных расслоений. Из этого он построил вспомогательную категорию, используя новое устройство, названное его "Q-строительство. "Подобно Γ-объектам Сигала, Q-конструкция уходит корнями в определение Гротендика K₀. Однако в отличие от определения Гротендика Q-конструкция строит категорию, а не абелеву группу, и, в отличие от Γ-объектов Сигала, Q-конструкция работает напрямую с короткими точными последовательностями. Если C абелева категория, то КК это категория с теми же объектами, что и C но чьи морфизмы определены в терминах коротких точных последовательностей в C. В K-группы точной категории - это гомотопические группы ΩBQC, то пространство петли из геометрическая реализация (взятие пространства цикла исправляет индексацию). Квиллен дополнительно доказал свое "+ = Q теорема », что его два определения K-теории согласились друг с другом. Это дало правильный K₀ и привело к более простым доказательствам, но все же не дало никаких отрицательных результатов. K-группы.

Все абелевы категории являются точными категориями, но не все точные категории абелевы. Поскольку Квиллен мог работать в этой более общей ситуации, он мог использовать точные категории в качестве инструментов в своих доказательствах. Эта техника позволила ему доказать многие основные теоремы алгебраической теории. K-теория. Кроме того, можно было доказать, что более ранние определения Свона и Герстена при определенных условиях эквивалентны определениям Квиллена.

K-теория теперь оказалась теорией гомологий для колец и теорией когомологий для многообразий. Однако многие из его основных теорем содержат гипотезу о регулярности рассматриваемого кольца или многообразия. Одним из основных ожидаемых соотношений была длинная точная последовательность (называемая «последовательностью локализации»), связывающая K-теория разнообразия Икс и открытое подмножество U. Квиллену не удалось полностью доказать существование последовательности локализации. Однако он смог доказать его существование для связанной теории, называемой грамм-теория (а иногда K′ -Теория). грамм-теория была определена на ранних этапах развития предмета Гротендиком. Гротендик определил грамм₀(Икс) для разнообразия Икс быть свободной абелевой группой на классах изоморфизма когерентных пучков на Икс, отношения по модулю, возникающие из точных последовательностей когерентных пучков. В категориальной структуре, принятой более поздними авторами, K-теория разнообразия K-теории своей категории векторных расслоений, а ее грамм-теория K-теория своей категории когерентных пучков. Квиллен смог не только доказать существование точной последовательности локализации для грамм-теория, он мог доказать, что для обычного кольца или разновидности, K-теория равняется грамм-теория, а значит K-теория регулярных разновидностей имела точную последовательность локализации. Поскольку эта последовательность была фундаментальной для многих фактов по предмету, гипотезы регулярности пронизывали ранние работы по высшему образованию. K-теория.

Приложения алгебраической K-теория в топологии

Самое раннее применение алгебраической K-теория топологии была построена Уайтхедом кручения Уайтхеда. Близкородственная конструкция была обнаружена К. Т. К. Уолл в 1963 г.^[23] Уолл обнаружил, что пространство π с преобладанием конечного комплекса имеет обобщенную эйлерову характеристику, принимающую значения в частном K₀(Zπ), куда π фундаментальная группа пространства. Этот инвариант называется Препятствие конечности стены потому что Икс гомотопически эквивалентен конечному комплексу тогда и только тогда, когда инвариант равен нулю. Лоран Зибенманн в своей диссертации нашел инвариант, аналогичный инварианту Уолла, который препятствует тому, чтобы открытое многообразие было внутренностью компактного многообразия с краем.^[24] Если два многообразия с краем M и N имеют изоморфные внутренние части (в TOP, PL или DIFF в зависимости от ситуации), то изоморфизм между ними определяет час-кобордизм между M и N.

В конечном итоге кручение Уайтхеда было переосмыслено в более прямом смысле. K-теоретический способ. Это переосмысление произошло благодаря изучению час-кобордизмы. Два п-мерные многообразия M и N находятся час-кобордантный, если существует (п + 1)-мерное многообразие с краем W граница которой является несвязным объединением M и N и для которого включения M и N в W являются гомотопическими эквивалентностями (в категориях TOP, PL или DIFF). Стивен Смейл с час-теорема -кобордизм^[25] утверждал, что если п ≥ 5, W компактный, и M, N, и W односвязны, то W изоморфен цилиндру M × [0, 1] (в TOP, PL или DIFF в зависимости от ситуации). Эта теорема доказала Гипотеза Пуанкаре за п ≥ 5.

Если M и N не считаются односвязными, то час-кобордизм не обязательно должен быть цилиндром. В sтеорема -кобордизма, независимо от Мазура,^[26] Столлингс и Барден,^[27] объясняет общую ситуацию: час-кобордизм является цилиндром тогда и только тогда, когда кручение Уайтхеда включения M ⊂ W исчезает. Это обобщает час-кобордизм, потому что из простых гипотез связности следует, что соответствующая группа Уайтхеда тривиальна. Фактически sИз теоремы -кобордизма следует, что существует биективное соответствие между классами изоморфизма час-кобордизмы и элементы группы Уайтхеда.

Очевидный вопрос, связанный с существованием час-кобордизмы - это их уникальность. Естественное понятие эквивалентности изотопия. Жан Серф доказал, что для односвязных гладких многообразий M размерностью не менее 5, изотопия час-кобордизмы - это то же самое, что и более слабое понятие, называемое псевдоизотопией.^[28] Хэтчер и Вагонер изучили компоненты пространства псевдоизотопий и связали его с фактором K₂(Zπ).^[29]

Правильный контекст для s-кобордизм - классифицирующее пространство час-кобордизмы. Если M является CAT-многообразием, то ЧАС^КОТ(M) - пространство, классифицирующее пучки час-кобордизмы на M. В sТеорема -кобордизма может быть переинтерпретирована как утверждение, что множество компонент связности этого пространства является группой Уайтхеда π₁(M). Это пространство содержит строго больше информации, чем группа Уайтхеда; например, связная компонента тривиального кобордизма описывает возможные цилиндры на M и, в частности, препятствие к единственности гомотопии между многообразием и M × [0, 1]. Обсуждение этих вопросов привело Вальдхаузена к введению своего алгебраического K-теория пространств.^[30] Алгебраический K-теория M это пространство А(M), который определен так, что он играет, по сути, ту же роль для более высоких K-группы как K₁(Zπ₁(M)) делает для M. В частности, Вальдхаузен показал, что существует карта из А(M) в пространство Wh (M), который обобщает отображение K₁(Zπ₁(M)) → Wh (π₁(M)) и чей гомотопический слой является теорией гомологий.

Чтобы полностью развить А-теории, Вальдхаузен добился значительного технического прогресса в основах K-теория. Вальдхаузен представил Категории Вальдхаузена, а для категории Вальдхаузена C он ввел симплициальную категорию S_·C (в S для Сигала), определенный в терминах цепочек кофибраций в C.^[31] Это освободило основы K-теория от необходимости использовать аналоги точных последовательностей.

Алгебраическая топология и алгебраическая геометрия в алгебраической K-теория

Квиллен предложил своему ученику Кеннет Браун что можно было бы создать теорию снопы из спектры из которых K-теория предоставит пример. Пучок K-теоретические спектры с каждым открытым подмножеством разнообразия ассоциировали бы K-теория этого открытого подмножества. Браун разработал такую ​​теорию для своей диссертации. Одновременно с этим у Герстена возникла та же идея. На конференции в Сиэтле осенью 1972 года они вместе обнаружили спектральная последовательность сходящиеся из пучковых когомологий ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{n}}$, пачка K_п-группы по Икс, в K-группа общей площади. Теперь это называется Спектральная последовательность Брауна – Герстена..^[32]

Спенсер Блох под влиянием работы Герстена над пучками K-группы, доказали, что на регулярной поверхности группа когомологий ${\displaystyle H^{2}(X,{\mathcal {K}}_{2})}$ изоморфна группе Чжоу CH²(Икс) циклов коразмерности 2 на Икс.^[33] Вдохновленный этим, Герстен предположил, что для обычное местное кольцо р с поле дроби F, K_п(р) вводит в K_п(F) для всех п. Вскоре Квиллен доказал, что это правда, когда р содержит поле,^[34] и используя это, он доказал, что

${\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {K}}_{p})\cong \operatorname {CH} ^{p}(X)}$

для всех п. Это известно как Формула Блоха. Хотя с тех пор в гипотезе Герстена был достигнут прогресс, общий случай остается открытым.

Лихтенбаум предположил, что особые ценности дзета-функция числового поля можно выразить через K-группы кольца целых поля. Известно, что эти особые ценности связаны с этальные когомологии кольца целых чисел. Поэтому Квиллен обобщил гипотезу Лихтенбаума, предсказав существование спектральной последовательности, подобной Спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха в топологической K-теория.^[35] Предлагаемая Квилленом спектральная последовательность должна начинаться с этальных когомологий кольца р и, при достаточно высоких степенях и после завершения в расцветке л обратимый в р, упираться в л-адическое завершение K-теория р. В случае, изученном Лихтенбаумом, спектральная последовательность вырождается, что приводит к гипотезе Лихтенбаума.

Необходимость локализации в лучшем случае л предложил Браудеру вариант K-теория с конечными коэффициентами.^[36] Он представил K-теоретические группы K_п(р; Z/лZ) которые были Z/лZ-векторных пространств, и он нашел аналог элемента Ботта в топологической K-теория. Соул использовал эту теорию, чтобы построить "étale Классы Черна ", аналог топологических классов Черна, взявший элементы алгебраических K-теория к занятиям в этальные когомологии.^[37] В отличие от алгебраической K-теории, этальные когомологии хорошо вычислимы, поэтому этальные классы Черна предоставили эффективный инструмент для обнаружения существования элементов в K-теория. Уильям Дж. Дуайер и Эрик Фридлендер затем изобрел аналог K-теория этальной топологии, называемая этальной K-теория.^[38] Для многообразий, определенных над комплексными числами, étale K-теория изоморфна топологической K-теория. Кроме того, étale K-теория допускает спектральную последовательность, подобную той, которую предположил Квиллен. Примерно в 1980 году Томасон доказал, что после обращения элемента Ботта алгебраические K-теория с конечными коэффициентами стала изоморфной этальной K-теория.^[39]

На протяжении 1970-х и начала 1980-х гг. K- теория единичных разновидностей все еще не имела адекватных оснований. Хотя считалось, что Квиллен K-теория дала правильные группы, не было известно, что эти группы обладают всеми предусмотренными свойствами. Для этого алгебраический K-теорию пришлось переформулировать. Это было сделано Томасоном в длинной монографии, которую он приписал своему мертвому другу Томасу Тробо, который, по его словам, дал ему ключевую идею во сне.^[40] Томасон объединил построение Вальдхаузена K-теория с основами теории пересечений, описанная в шестом томе книги Гротендика. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie. Там, K₀ описан в терминах комплексов пучков на алгебраических многообразиях. Томасон обнаружил, что если работать с производная категория пучков, было простое описание того, когда комплекс пучков может быть расширен от открытого подмножества множества до всего множества. Применяя конструкцию Вальдхаузена K-теории производных категорий, Томасон смог доказать, что алгебраические K-теория обладала всеми ожидаемыми свойствами теории когомологий.

В 1976 году Кейт Деннис открыл совершенно новую технику вычислений. K-теория, основанная на Гомологии Хохшильда.^[41] Это было основано на существовании карты следов Денниса, гомоморфизма из K-теория гомологии Хохшильда. Хотя карта трассировки Денниса казалась успешной для расчета K-теория с конечными коэффициентами оказалась менее удачной для рациональных расчетов. Гудвилли, руководствуясь своим «исчислением функторов», предположил существование теории, промежуточной по отношению к K-теория и гомологии Хохшильда. Он назвал эту теорию топологической гомологией Хохшильда, потому что ее основное кольцо должно быть сферным спектром (рассматриваемым как кольцо, операции которого определены только с точностью до гомотопии). В середине 1980-х Бокстедт дал определение топологических гомологий Хохшильда, которое удовлетворяло почти всем гипотетическим свойствам Гудвилли, и это сделало возможным дальнейшие вычисления K-группы.^[42] Версия Бокстедта карты следов Денниса была преобразованием спектров K → THH. Это преобразование учитывает неподвижные точки окружности, действующей на THH, что предполагает отношения с циклическая гомология. В ходе доказательства алгебраической K-теоретический аналог Гипотеза новикова, Бокштедт, Сян и Мадсен ввели топологические циклические гомологии, которые имеют такое же отношение к топологическим гомологиям Хохшильда, как циклические гомологии к гомологиям Хохшильда.^[43] Отображение следов Денниса в топологические факты гомологии Хохшильда через топологические циклические гомологии, предоставляя еще более подробный инструмент для вычислений. В 1996 году Дандас, Гудвилли и Маккарти доказали, что топологические циклические гомологии в точном смысле имеют ту же локальную структуру, что и алгебраические K-теория, так что если расчет в K-теория или топологическая циклическая гомология возможны, затем следуют многие другие "близкие" вычисления.^[44]

Ниже K-группы

Нижний K-группы были обнаружены первыми и получили различные специальные описания, которые остаются полезными. Во всем пусть А быть звенеть.

K₀

Функтор K₀ берет кольцо А к Группа Гротендик множества классов изоморфизма его конечно порожденный проективные модули, рассматриваемый как моноид по прямой сумме. Любой гомоморфизм колец А → B дает карту K₀(А) → K₀(B) отображением (класса) проективного А-модуль M к M ⊗_А B, изготовление K₀ ковариантный функтор.

Если кольцо А коммутативна, мы можем определить подгруппу K₀(А) как множество

${\displaystyle {\tilde {K}}_{0}\left(A\right)=\bigcap \limits _{{\mathfrak {p}}{\text{ prime ideal of }}A}\mathrm {Ker} \dim _{\mathfrak {p}},}$

куда :

${\displaystyle \dim _{\mathfrak {p}}:K_{0}\left(A\right)\to \mathbf {Z} }$

является отображением, отправляющим каждый (класс a) конечно порожденный проективный А-модуль M в ранг свободный ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$-модуль ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$ (этот модуль действительно свободен, так как любой конечно порожденный проективный модуль над локальным кольцом свободен). Эта подгруппа ${\displaystyle {\tilde {K}}_{0}\left(A\right)}$ известен как приведенная нулевая K-теория из А.

Если B это кольцо без идентификационного элемента, мы можем расширить определение K₀ следующее. Позволять А = B⊕Z быть продолжением B к кольцу с единицей, полученным присоединением к единице (0,1). Есть короткая точная последовательность B → А → Z и определим K₀(B) как ядро ​​соответствующего отображения K₀(А) → K₀(Z) = Z.^[45]

Примеры

Смотрите также: Группа Гротендика § Другие примеры

• (Проективные) модули над поле k находятся векторные пространства и K₀(k) изоморфна Z, к измерение.
• Конечно порожденные проективные модули над местное кольцо А свободны и поэтому в этом случае еще раз K₀(А) изоморфна Z, к классифицировать.^[46]
• За А а Дедекиндский домен,

K₀(А) = Pic (А) ⊕ Z,

где Pic (А) это Группа Пикард из А,^[47] и аналогично редуцированная K-теория дается формулой

${\displaystyle {\tilde {K}}_{0}(A)=\operatorname {Pic} A.}$

Алгебро-геометрический вариант этой конструкции применяется к категории алгебраические многообразия; он ассоциируется с данным алгебраическим многообразием Икс Гротендика K-группа категории локально свободных пучков (или когерентных пучков) на Икс. Учитывая компактное топологическое пространство Икс, то топологический K-теория K^верх(Икс) из (реального) векторные пучки над Икс совпадает с K₀ кольца непрерывный действительные функции на Икс.^[48]

Относительный K₀

Позволять я быть идеалом А и определите "двойное" как подкольцо Декартово произведение А×А:^[49]

${\displaystyle D(A,I)=\{(x,y)\in A\times A:x-y\in I\}\ .}$

В относительная K-группа определяется в терминах "двойного"^[50]

${\displaystyle K_{0}(A,I)=\ker \left({K_{0}(D(A,I))\rightarrow K_{0}(A)}\right)\ .}$

где отображение индуцировано проекцией по первому множителю.

Относительная K₀(А,я) изоморфна K₀(я), касательно я как кольцо без идентичности. Независимость от А является аналогом Теорема об удалении в гомологии.^[45]

K₀ как кольцо

Если А коммутативное кольцо, то тензорное произведение проективных модулей снова проективно, поэтому тензорное произведение индуцирует умножение, превращающее K₀ в коммутативное кольцо с классом [А] как личность.^[46] В внешний продукт аналогично индуцирует λ-кольцо структура. Группа Пикард встраивается как подгруппа группы единиц K₀(А)^∗.^[51]

K₁

Хайман Басс предоставил это определение, которое обобщает группу звеньев кольца: K₁(А) это абелианизация из бесконечная общая линейная группа:

${\displaystyle K_{1}(A)=\operatorname {GL} (A)^{\mbox{ab}}=\operatorname {GL} (A)/[\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]}$

Здесь

${\displaystyle \operatorname {GL} (A)=\operatorname {colim} \operatorname {GL} (n,A)}$

это прямой предел ГЛ (п), который вкладывается в GL (п + 1) как верхний левый блочная матрица, и ${\displaystyle [\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]}$ это его коммутаторная подгруппа. Определить элементарная матрица быть суммой единичной матрицы и одного недиагонального элемента (это подмножество элементарные матрицы, используемые в линейной алгебре ). потом Лемма Уайтхеда заявляет, что группа E(А), порожденная элементарными матрицами, равна коммутаторной подгруппе [GL (А), GL (А)]. Действительно, группа GL (А) / E (А) был впервые определен и изучен Уайтхедом,^[52] и называется Группа Уайтхеда кольца А.

Относительный K₁

В относительная K-группа определяется в терминах "двойного"^[53]

${\displaystyle K_{1}(A,I)=\ker \left({K_{1}(D(A,I))\rightarrow K_{1}(A)}\right)\ .}$

Есть естественный точная последовательность^[54]

${\displaystyle K_{1}(A,I)\rightarrow K_{1}(A)\rightarrow K_{1}(A/I)\rightarrow K_{0}(A,I)\rightarrow K_{0}(A)\rightarrow K_{0}(A/I)\ .}$

Коммутативные кольца и поля

За А а коммутативное кольцо, можно определить определитель det: GL (А) → А * к группа единиц из А, которая обращается в нуль на E (А) и таким образом спускается на карту det: K₁(А) → А *. Поскольку E (А) ◅ SL (А), можно также определить особая группа Уайтхеда SK₁(А): = SL (А) / E (А). Эта карта разделяется на карту А * → GL (1, А) → K₁(А) (единица в верхнем левом углу) и, следовательно, находится на и имеет специальную группу Уайтхеда в качестве ядра, что дает разделить короткую точную последовательность:

${\displaystyle 1\to SK_{1}(A)\to K_{1}(A)\to A^{*}\to 1,}$

что является частным от обычной расщепленной короткой точной последовательности, определяющей специальная линейная группа, а именно

${\displaystyle 1\to \operatorname {SL} (A)\to \operatorname {GL} (A)\to A^{*}\to 1.}$

Определитель разбивается путем включения группы единиц А * = GL₁(А) в общую линейную группу GL(А), так K₁(А) распадается как прямая сумма группы единиц и специальной группы Уайтхеда: K₁(А) ≅ А * ⊕ СК₁ (А).

Когда А евклидова область (например, поле или целые числа) SK₁(А) обращается в нуль, а детерминантное отображение является изоморфизмом K₁(А) к А^∗.^[55] Это ложный в целом для PID, тем самым обеспечивая одну из редких математических функций евклидовых доменов, которые не распространяются на все PID. Явный PID такой, что SK₁ отлична от нуля, была дана Ишебеком в 1980 г. и Грейсоном в 1981 г.^[56] Если А является дедекиндовской областью, поле частных которой является поле алгебраических чисел (конечное расширение рациональных чисел), то Милнор (1971, следствие 16.3) показывает, что SK₁(А) исчезает.^[57]

Исчезновение SK₁ можно интерпретировать как утверждение, что K₁ порождается образом GL₁ в GL. Когда это не удается, можно спросить, действительно ли K₁ порождается образом GL₂. Для дедекиндовской области это так: действительно, K₁ порождается изображениями GL₁ и SL₂ в GL.^[56] Подгруппа SK₁ генерируется SL₂ может быть изучен Символы Меннике. Для дедекиндовских областей со всеми конечными факторами по максимальным идеалам SK₁ - торсионная группа.^[58]

Для некоммутативного кольца определитель, вообще говоря, не может быть определен, но отображение GL (А) → K₁(А) является обобщением определителя.

Центральные простые алгебры

В случае центральная простая алгебра А над полем F, то пониженная норма обеспечивает обобщение определителя, дающее карту K₁(А) → F^∗ и SK₁(А) можно определить как ядро. Теорема Ванга заявляет, что если А имеет простую степень, то SK₁(А) тривиально,^[59] и это может быть расширено до бесквадратной степени.^[60] Ван также показал, что SK₁(А) тривиально для любой центральной простой алгебры над числовым полем,^[61] но Платонов привел примеры алгебр квадратной степени, для которых SK₁(А) нетривиально.^[60]

K₂

Смотрите также: Группа Стейнберга (K-теория)

Джон Милнор нашел правильное определение K₂: это центр из Группа Steinberg St (А) из А.

Его также можно определить как ядро карты

${\displaystyle \varphi \colon \operatorname {St} (A)\to \mathrm {GL} (A),}$

или как Множитель Шура группы элементарные матрицы.

Для поля K₂ определяется Символы Стейнберга: это приводит к теореме Мацумото.

Можно вычислить, что K₂ равен нулю для любого конечного поля.^[62][63] Вычисление K₂(Q) сложно: Тейт доказал^[63][64]

${\displaystyle K_{2}(\mathbf {Q} )=(\mathbf {Z} /4)^{*}\times \prod _{p{\text{ odd prime}}}(\mathbf {Z} /p)^{*}\ }$

и заметил, что доказательство последовало Гаусс первое доказательство Закон квадратичной взаимности.^[65][66]

Для неархимедовых локальных полей группа K₂(F) является прямой суммой конечного циклическая группа порядка м, скажем, и делимая группа K₂(F)^м.^[67]

У нас есть K₂(Z) = Z/2,^[68] и вообще K₂ конечно для кольца целых числового поля.^[69]

Далее имеем K₂(Z/п) = Z/ 2 если п делится на 4, иначе на ноль.^[70]

Теорема мацумото

Теорема мацумото заявляет, что для поля k, второй K-группа задается^[71][72]

${\displaystyle K_{2}(k)=k^{\times }\otimes _{\mathbf {Z} }k^{\times }/\langle a\otimes (1-a)\mid a\not =0,1\rangle .}$

Оригинальная теорема Мацумото носит еще более общий характер: для любого корневая система, он дает представление о неустойчивой K-теории. Это представление отличается от представленного только для симплектических корневых систем. Для несимплектических корневых систем неустойчивая вторая K-группа относительно корневой системы является в точности стабильной K-группой для GL (А). Неустойчивые вторые K-группы (в данном контексте) определяются взятием ядра универсального центрального расширения Группа Шевалле универсального типа для данной корневой системы. Эта конструкция дает ядро ​​расширения Стейнберга для систем корней А_п (п > 1) и, в пределе, стабильная секунда K-группы.

Длинные точные последовательности

Если А это Дедекиндский домен с поле дробей F тогда есть длинная точная последовательность

${\displaystyle K_{2}F\rightarrow \oplus _{\mathbf {p} }K_{1}A/{\mathbf {p} }\rightarrow K_{1}A\rightarrow K_{1}F\rightarrow \oplus _{\mathbf {p} }K_{0}A/{\mathbf {p} }\rightarrow K_{0}A\rightarrow K_{0}F\rightarrow 0\ }$

куда п пересекает все главные идеалы А.^[73]

Существует также расширение точной последовательности для относительного K₁ и K₀:^[74]

${\displaystyle K_{2}(A)\rightarrow K_{2}(A/I)\rightarrow K_{1}(A,I)\rightarrow K_{1}(A)\cdots \ .}$

Сопряжение

На K есть спаривание₁ со значениями в K₂. Учитывая коммутирующие матрицы Икс и Y над А, возьми элементы Икс и у в Группа Steinberg с Икс,Y как изображения. Коммутатор ${\displaystyle xyx^{-1}y^{-1}}$ является элементом K₂.^[75] Карта не всегда сюръективна.^[76]

Милнор K-теория

Основная статья: Милнор К-теория

Вышеприведенное выражение для K₂ поля k привел Милнора к следующему определению понятия «высшее» K-группы по

${\displaystyle K_{*}^{M}(k):=T^{*}(k^{\times })/(a\otimes (1-a)),}$

таким образом, как градуированные части частного тензорная алгебра из мультипликативная группа k^× посредством двусторонний идеал, порожденный

${\displaystyle \left\{a\otimes (1-a):\ a\neq 0,1\right\}.}$

За п = 0,1,2 они совпадают с нижеследующими, но для п ≧ 3 они отличаются в целом.^[77] Например, у нас есть K^M
_п(F_q) = 0 за п ≧ 2но K_пF_q отличен от нуля для нечетных п (Смотри ниже).

Тензорное произведение на тензорной алгебре индуцирует произведение ${\displaystyle K_{m}\times K_{n}\rightarrow K_{m+n}}$ изготовление ${\displaystyle K_{*}^{M}(F)}$ а градуированное кольцо который градуированный коммутативный.^[78]

Изображения элементов ${\displaystyle a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}}$ в ${\displaystyle K_{n}^{M}(k)}$ называются символы, обозначенный ${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$. Для целого числа м обратимый в k есть карта

${\displaystyle \partial :k^{*}\rightarrow H^{1}(k,\mu _{m})}$

куда ${\displaystyle \mu _{m}}$ обозначает группу м-корни из единицы в некотором сепарабельном расширении k. Это распространяется на

${\displaystyle \partial ^{n}:k^{*}\times \cdots \times k^{*}\rightarrow H^{n}\left({k,\mu _{m}^{\otimes n}}\right)\ }$

удовлетворяющие определяющим соотношениям K-группы Милнора. Следовательно ${\displaystyle \partial ^{n}}$ можно рассматривать как карту на ${\displaystyle K_{n}^{M}(k)}$, называется Символ Галуа карта.^[79]

Связь между эталь (или же Галуа ) когомологиями поля и K-теории Милнора по модулю 2 является Гипотеза Милнора, доказано Владимир Воеводский.^[80] Аналогичным утверждением для нечетных простых чисел является Гипотеза Блоха-Като, доказано Воеводским, Ростом и другими.

Выше K-теория

Принятые определения высших K-группы предоставили Квиллен (1973), спустя несколько лет, в течение которых было предложено несколько несовместимых определений. Целью программы было найти определения K(р) и K(р,я) с точки зрения классификация пространств так что р ⇒ K(р) и (р,я) ⇒ K(р,я) являются функторами в гомотопическая категория пространств и длинная точная последовательность для относительных K-групп возникает как длинная точная гомотопическая последовательность из расслоение K(р,я) → K(р) → K(р/я).^[81]

Квиллен дал две конструкции: «плюс-конструкция» и «Q-конструкция », последняя впоследствии по-разному видоизменялась.^[82] Две конструкции дают одни и те же K-группы.^[83]

+ -Конструкция

Одно возможное определение высшей алгебраической K-теорию колец дал Квиллен

${\displaystyle K_{n}(R)=\pi _{n}(B\operatorname {GL} (R)^{+}),}$

Здесь π_п это гомотопическая группа, GL (р) это прямой предел из общие линейные группы над р для размера матрицы, стремящейся к бесконечности, B классифицирующая космическая конструкция теория гомотопии, а ⁺ Квиллен плюс строительство.

Это определение справедливо только для п > 0, поэтому часто определяют высшую алгебраическую K-теория через

${\displaystyle K_{n}(R)=\pi _{n}(B\operatorname {GL} (R)^{+}\times K_{0}(R))}$

С BGL(р)⁺ связан ли путь и K₀(р) дискретный, это определение не отличается высшими степенями и справедливо также для п = 0.

В Q-строительство

Основная статья: Q-конструкция

В Q-конструкция дает те же результаты, что и + -конструкция, но применяется в более общих ситуациях. Более того, определение более прямое в том смысле, что K-группы, определенные через Q-конструкции функториальны по определению. Этот факт не является автоматическим в плюс-конструкции.

Предполагать п является точная категория; связано с п новая категория QP определено, объектами которого являются п и морфизмы из M' к M″ - классы изоморфизма диаграмм

${\displaystyle M'\longleftarrow N\longrightarrow M'',}$

где первая стрелка - допустимое эпиморфизм а вторая стрелка - допустимая мономорфизм.

В я-го K-группа точной категории п тогда определяется как

${\displaystyle K_{i}(P)=\pi _{i+1}(\mathrm {BQ} P,0)}$

с фиксированным нулевым объектом 0, где BQP это классификация пространства из QP, который определяется как геометрическая реализация из нерв из QP.

Это определение совпадает с приведенным выше определением K₀(п). Если п категория конечно порожденных проективный р-модули, это определение согласуется с приведенным выше BGL⁺значение K_п(р) для всех п.В целом, для схема Икс, выше K-группы Икс определены как K-группы (точной категории) локально свободных когерентные пучки на Икс.

Также используется следующий вариант: вместо конечно порожденных проективных (= локально свободных) модулей взять конечно порожденные модули. Результирующий K-группы обычно пишутся грамм_п(р). Когда р это нётерский обычное кольцо, тогда грамм- и K-теории совпадают. Действительно, глобальное измерение регулярных колец конечна, т.е. любой конечно порожденный модуль имеет конечную проективную резольвенту п_* → M, и простой аргумент показывает, что каноническое отображение K₀(R) → грамм₀(R) - это изоморфизм, с [M] = Σ ± [п_п]. Этот изоморфизм распространяется на высшие K-группы тоже.

В S-строительство

Основная статья: Вальдхаузен S-конструкция

Третья конструкция K-теория групп - это S-строительство, за счет Вальдхаузен.^[84] Это относится к категориям с кофибрациями (также называемыми Категории Вальдхаузена ). Это более общее понятие, чем точные категории.

Примеры

В то время как алгебраическая теория Квиллена K-теория дала глубокое понимание различных аспектов алгебраической геометрии и топологии, K-группы оказались особенно трудными для вычисления, за исключением нескольких отдельных, но интересных случаев. (Смотрите также: K-группы поля.)

Алгебраический K-группы конечных полей

Первое и одно из самых важных вычислений высшей алгебраической K-группы кольца были изготовлены самим Квилленом для случая конечные поля:

Если F_q конечное поле с q элементы, то:

• K₀(F_q) = Z,
• K_2я(F_q) = 0 для я ≥1,
• K_2я–1(F_q) = Z/(q ^я − 1)Z за я ≥ 1.

Рик Джардин  (1993 ) опроверг вычисления Квиллена разными методами.

Алгебраический K-группы колец целых чисел

Квиллен доказал, что если А это кольцо целых алгебраических чисел в алгебраическом числовое поле F (конечное расширение рациональных чисел), то алгебраические K-группы А конечно порождены. Арман Борель использовал это для расчета K_я(А) и K_я(F) по модулю кручения. Например, для целых чисел Z, Борель доказал, что (по модулю кручения)

• K_я (Z) /tors.=0 для положительных я пока не я = 4к + 1 с k положительный
• K_4k+1 (Z) /tors.= Z для положительного k.

Подгруппы кручения группы K_2я+1(Z), а порядки конечных групп K_4k+2(Z) недавно было установлено, но являются ли последние группы циклическими и K_4k(Z) исчезновение зависит от Гипотеза Вандивера о группах классов круговых целых чисел. Видеть Гипотеза Квиллена – Лихтенбаума Больше подробностей.

Заявки и открытые вопросы

Алгебраический K-группы используются в гипотезах о специальные значения L-функций и формулировка некоммутативная основная гипотеза теории Ивасавы и в строительстве высшие регуляторы.^[69]

Гипотеза Паршина касается высших алгебраических K-группы для гладких многообразий над конечными полями и утверждает, что в этом случае группы обращаются в нуль с точностью до кручения.

Еще одна фундаментальная гипотеза, связанная с Хайман Басс (Гипотеза Басса ) говорит, что все группы грамм_п(А) конечно порождены, когда А является конечно порожденным Z-алгебра. (Группыграмм_п(А) являются K-группы категории конечно порожденных А-модули) ^[85]

Смотрите также

• Формула Блоха
• Основная теорема алгебраической K-теория
• Основные теоремы алгебраической K-теория
• K-теория
• K-теория категории
• K-группа поля
• K-теоретический спектр
• Гипотеза красного смещения
• Топологический K-теория
• Жесткость (K-теория)

Примечания

1. Вейбель 1999
2. Гротендик 1957, Борель – Серр 1958
3. Атья-Хирцебрух 1961
4. Уайтхед 1939, Уайтхед 1941, Уайтхед 1950
5. Басс – Шануэль, 1962 г.
6. Бас 1968
7. Басс – Мёрти, 1967
8. Каруби 1968
9. Штейнберг 1962
10. Милнор 1971
11. Мацумото 1969
12. Лебедь 1968
13. Герстен 1969
14. Нобиле – Вильямайор, 1968 г.
15. Каруби – Вильямайор, 1971 г.
16. Милнор 1970
17. Милнор 1970, стр. 319
18. Нестеренко – Суслин 1990 г.
19. Тотаро 1992
20. Томасон 1992
21. Квиллен 1971
22. Сигал 1974
23. Стена 1965 г.
24. Зибенманн 1965
25. Смейл 1962
26. Мазур 1963
27. Барден 1963
28. Серф 1970
29. Хэтчер и Ваггонер 1973
30. Вальдхаузен 1978
31. Вальдхаузен 1985
32. Браун-Герстен, 1973
33. Блох 1974
34. Квиллен 1973
35. Квиллен 1975
36. Браудер 1976
37. Суле 1979
38. Дуайер – Фридлендер 1982 г.
39. Томасон 1985
40. Томасон и Тробо 1990
41. Деннис 1976
42. Бокштедт 1986
43. Бокштедт – Сян – Мадсен, 1993 г.
44. Дандас – Гудвилли – Маккарти, 2012 г.
45. Розенберг (1994) стр.30
46. Милнор (1971) стр.5
47. Милнор (1971) стр.14
48. Каруби, Макс (2008), K-теория: введение, Классика по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-79889-7см. теорему I.6.18.
49. Розенберг (1994) 1.5.1, стр.27
50. Розенберг (1994) 1.5.3, стр.27
51. Милнор (1971) стр.15
52. J.H.C. Уайтхед, Простые гомотопические типы Амер. J. Math. , 72 (1950) с. 1–57.
53. Розенберг (1994) 2.5.1, стр.92
54. Розенберг (1994) 2.5.4, стр.95
55. Розенберг (1994) Теорема 2.3.2, стр.74
56. Розенберг (1994) стр.75
57. Розенберг (1994) стр.81
58. Розенберг (1994) стр.78
59. Гилле и Самуэли (2006) стр.47.
60. Гилле и Самуэли (2006) с.48
61. Ван, Шиангхоу (1950). «О коммутаторной группе простой алгебры». Являюсь. J. Math. 72 (2): 323–334. Дои:10.2307/2372036. ISSN  0002-9327. JSTOR  2372036. Zbl  0040.30302.
62. Лам (2005) стр.139
63. Леммермейер (2000) с.66
64. Милнор (1971) стр.101
65. Милнор (1971) стр.102
66. Гра (2003) с.205
67. Милнор (1971) стр.175
68. Милнор (1971) стр.81
69. Леммермейер (2000) с.385
70. Сильвестр (1981) стр.228
71. Мацумото, Хидэя (1969), "Sur les sous-groupes arithmétiques des groupes semi-simples déployés", Научные Анналы Высшей Нормальной Школы, 4 (на французском языке), 2 (2): 1–62, Дои:10.24033 / asens.1174, ISSN  0012-9593, МИСТЕР  0240214, Zbl  0261.20025
72. Розенберг (1994), Теорема 4.3.15, с.214
73. Милнор (1971) стр.123
74. Розенберг (1994) стр.200
75. Милнор (1971) стр.63
76. Милнор (1971) с.69
77. (Вайбель2005 ), ср. Лемма 1.8.
78. Гилле и Самуэли (2006) стр.184
79. Гилле и Самуэли (2006) стр.108
80. Воеводский, Владимир (2003), "Мотивные когомологии с Z/ 2-коэффициенты », Institut des Hautes Études Scientifiques. Публикации Mathématiques, 98 (1): 59–104, Дои:10.1007 / s10240-003-0010-6, ISSN  0073-8301, МИСТЕР  2031199
81. Розенберг (1994), стр. 245–246.
82. Розенберг (1994) с.246
83. Розенберг (1994) с.289
84. Вальдхаузен, Фридхельм (1985), "Алгебраическая K-теория пространств", Алгебраический K-теория пространств, Конспект лекций по математике, 1126, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 318–419, Дои:10.1007 / BFb0074449, ISBN  978-3-540-15235-4, МИСТЕР  0802796. Также лекцию IV и ссылки в (Friedlander & Weibel1999 )
85. (Фридлендер и Вайбель1999 ), Лекция VI.

Рекомендации

• Бас, Хайман (1968), Алгебраический K-теория, Серия лекций по математике, Нью-Йорк-Амстердам: W.A. Benjamin, Inc., Zbl  0174.30302
• Фридлендер, Эрик; Грейсон, Дэниел, ред. (2005), Справочник по K-теории, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/3-540-27855-9, ISBN  978-3-540-30436-4, МИСТЕР  2182598
• Фридлендер, Эрик М.; Вейбель, Чарльз В. (1999), Обзор алгебраических K-теория, World Sci. Publ., River Edge, NJ, pp. 1–119, МИСТЕР  1715873
• Жиль, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006), Центральные простые алгебры и когомологии Галуа, Кембриджские исследования по высшей математике, 101, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-86103-8, Zbl  1137.12001
• Гра, Жорж (2003), Теория поля классов. От теории к практике, Монографии Springer по математике, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-44133-5, Zbl  1019.11032
• Джардин, Джон Фредерик (1993), "К-теория конечных полей, новый взгляд", K-теория, 7 (6): 579–595, Дои:10.1007 / BF00961219, МИСТЕР  1268594
• Лам, Цит-Юэн (2005), Введение в квадратичные формы над полями, Аспирантура по математике, 67, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-1095-8, МИСТЕР  2104929, Zbl  1068.11023
• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности. От Эйлера до Эйзенштейна, Монографии Springer по математике, Берлин: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN  978-3-540-66957-9, МИСТЕР  1761696, Zbl  0949.11002
• Милнор, Джон Уиллард (1970), "Алгебраическая K-теория и квадратичные формы », Inventiones Mathematicae, 9 (4): 318–344, Bibcode:1970InMat ... 9..318M, Дои:10.1007 / BF01425486, ISSN  0020-9910, МИСТЕР  0260844
• Милнор, Джон Уиллард (1971), Введение в алгебраическую K-теорию, Анналы математических исследований, 72, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, МИСТЕР  0349811, Zbl  0237.18005 (нижние K-группы)
• Квиллен, Дэниел (1973), "Высшая алгебраическая K-теория. I", Алгебраическая K-теория, I: Высшие K-теории (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Сиэтл, Вашингтон, 1972), Конспект лекций по математике, 341, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 85–147, Дои:10.1007 / BFb0067053, ISBN  978-3-540-06434-3, МИСТЕР  0338129
• Квиллен, Дэниел (1975), "Высшая алгебраическая K-теория", Труды Международного конгресса математиков (Ванкувер, Б.С., 1974), Vol. 1, Монреаль, Квебек: Canad. Математика. Конгресс, стр. 171–176, МИСТЕР  0422392 (Q-конструкция Квиллена)
• Куиллен, Дэниел (1974), "Высшая K-теория для категорий с точными последовательностями", Новые разработки в топологии (Proc. Sympos. Algebraic Topology, Oxford, 1972)., Лондонская математика. Soc. Lecture Note Ser., 11, Издательство Кембриджского университета, стр. 95–103, МИСТЕР  0335604 (отношение Q-конструкции к плюс-конструкции)
• Розенберг, Джонатан (1994), Алгебраическая K-теория и ее приложения, Тексты для выпускников по математике, 147, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-4314-4, ISBN  978-0-387-94248-3, МИСТЕР  1282290, Zbl  0801.19001. Опечатки
• Зайлер, Вольфганг (1988), «λ-кольца и операции Адамса в алгебраической K-теории», в Rapoport, M .; Schneider, P .; Шаппахер, Н. (ред.), Гипотезы Бейлинсона о специальных значениях L-функций, Бостон, Массачусетс: Academic Press, ISBN  978-0-12-581120-0
• Сильвестр, Джон Р. (1981), Введение в алгебраическую K-теорию, Серия математики Чепмена и Холла, Лондон, Нью-Йорк: Чепмен и Холл, ISBN  978-0-412-22700-4, Zbl  0468.18006
• Вейбель, Чарльз (2005), «Алгебраическая K-теория колец целых чисел в локальных и глобальных полях» (PDF), Справочник по K-теории, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 139–190, Дои:10.1007/3-540-27855-9_5, ISBN  978-3-540-23019-9, МИСТЕР  2181823 (обзорная статья)
• Вейбель, Чарльз (1999), Развитие алгебраической K-теории до 1980 г., Современная математика, 243, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 211–238, Дои:10.1090 / conm / 243/03695, МИСТЕР  1732049

дальнейшее чтение

• Луис-Пуэбла, Эмилио; Лодей, Жан-Луи; Жилле, Анри; Суле, Кристоф; Снайт, Виктор (1992), Высшая алгебраическая K-теория: обзор, Конспект лекций по математике, 1491, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-55007-5, Zbl  0746.19001
• Магурн, Брюс А. (2009), Алгебраическое введение в K-теорию, Энциклопедия математики и ее приложений, 87 (исправленное издание в мягкой обложке), Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-10658-0
• Шринивас, В. (2008), Алгебраический K-теория, Modern Birkhäuser Classics (переиздание в мягкой обложке 2-го изд. 1996 г.), Бостон, Массачусетс: Биркхойзер, ISBN  978-0-8176-4736-0, Zbl  1125.19300
• Вейбель, К., K-книга: Введение в алгебраическую K-теорию

Педагогические ссылки

• Розенберг, Джонатан (1994), Алгебраическая K-теория и ее приложения, Тексты для выпускников по математике, 147, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-4314-4, ISBN  978-0-387-94248-3, МИСТЕР  1282290, Zbl  0801.19001. Опечатки

Исторические ссылки

• Атья, Майкл Ф.; Хирцебрух, Фридрих (1961), Векторные расслоения и однородные пространства, Proc. Симпозиумы. Чистая математика., 3, Американское математическое общество, стр. 7–38
• Барден, Деннис (1964). О строении и классификации дифференциальных многообразий. (Тезис). Кембриджский университет.
• Бас, Хайман; Мурти, М. (1967). «Группы Гротендика и группы Пикара абелевых групповых колец». Анналы математики. 86 (1): 16–73. Дои:10.2307/1970360. JSTOR  1970360.
• Бас, Хайман; Шануэль, С. (1962). «Гомотопическая теория проективных модулей». Бюллетень Американского математического общества. 68 (4): 425–428. Дои:10.1090 / с0002-9904-1962-10826-х.
• Бас, Хайман (1968). Алгебраический K-теория. Бенджамин.
• Блох, Спенсер (1974). "K₂ алгебраических циклов ». Анналы математики. 99 (2): 349–379. Дои:10.2307/1970902. JSTOR  1970902.
• Бокстедт, М., Топологические гомологии Хохшильда. Препринт, Билефельд, 1986.
• Бокстедт, М., Сян, В. К., Мадсен, И., Круговой след и алгебраическая K-теория пространств. Изобретать. Математика, 111(3) (1993), 465–539.
• Борель, Арман; Серр, Жан-Пьер (1958). "Теорема Римана – Роха". Bulletin de la Société Mathématique de France. 86: 97–136. Дои:10.24033 / bsmf.1500.
• Браудер, Уильям (1978), Алгебраический K-теория с коэффициентами Z/п, Конспект лекций по математике, 657, Springer – Verlag, стр. 40–84.
• Браун, К., Герстен, С., Алгебраический K-теория как обобщенные когомологии пучков, Алгебраическая K-теория I, Конспект лекций по математике, т. 341, Springer-Verlag, 1973, стр. 266–292.
• Серф, Жан (1970). "Натуральная стратификация деформаций, дифференцируемых катушек и теорема псевдоизотопии". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 39: 5–173. Дои:10.1007 / BF02684687.
• Деннис, Р. К., Высшая алгебраика K-теория и гомологии Хохшильда, неопубликованный препринт (1976).
• Герстен, S (1971). "О функторе K₂". J. Алгебра. 17 (2): 212–237. Дои:10.1016/0021-8693(71)90030-5.
• Гротендик, Александр, Классы фасико и теоремы Римана – Роха, записи на мимеографе, Принстон, 1957 г.
• Хэтчер, Аллен; Вагонер, Джон (1973), "Псевдоизотопии компактных многообразий", Astérisque, 6, МИСТЕР  0353337
• Каруби, Макс (1968). "Foncteurs derives et K-теория. Категории фильтров ». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, серия A-B. 267: A328 – A331.
• Каруби, Макс; Вилламайор, О. (1971). "K-теория алгебры и K-теория топология". Математика. Сканд. 28: 265–307. Дои:10.7146 / math.scand.a-11024.
• Мацумото, Хидэя (1969). "Sur les sous-groupes aritmetiques des groupes semi-simples deployes". Научные Анналы Высшей Нормальной Школы. 2: 1–62. Дои:10.24033 / asens.1174.
• Мазур, Барри (1963). «Дифференциальная топология с точки зрения простой теории гомотопий» (PDF). Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 15: 5–93.
• Милнор, Дж (1970). "Алгебраический K-теория и квадратичные формы ». Изобретать. Математика. 9 (4): 318–344. Bibcode:1970InMat ... 9..318M. Дои:10.1007 / bf01425486.
• Милнор, Дж., Введение в алгебраику K-теория, Princeton Univ. Пресс, 1971.
• Нобиле А., Вильямайор О., Sur la K-теория алгебры, Научные Анналы Высшей Нормальной Школы, 4е серия, 1, нет. 3, 1968, 581–616.
• Квиллен, Дэниел, Когомологии групп, Proc. ICM Nice 1970, т. 2, Gauthier-Villars, Paris, 1971, 47–52.
• Квиллен, Дэниел, Высшая алгебраика K-теория I, Алгебраический K-теория I, Конспект лекций по математике, т. 341, Springer Verlag, 1973, 85–147.
• Квиллен, Дэниел, Высшая алгебраика K-теория, Proc. Междунар. Congress Math., Ванкувер, 1974, т. Я, Канад. Математика. Soc., 1975, с. 171–176.
• Сегал, Грэм (1974). «Категории и теории когомологий». Топология. 13 (3): 293–312. Дои:10.1016/0040-9383(74)90022-6.
• Зибенманн, Ларри, Препятствие к нахождению границы для открытого многообразия размерности больше пяти, Диссертация, Принстонский университет (1965).
• Смейл, S (1962). «О строении многообразий». Амер. J. Math. 84 (3): 387–399. Дои:10.2307/2372978. JSTOR  2372978.
• Стейнберг, Р., Генераторы, отношения и отношения с алгебрами групп, ́Colloq. Theorie des Groupes Algebriques, Gauthier-Villars, Paris, 1962, стр. 113–127. (Французский)
• Свон, Ричард, Неабелева гомологическая алгебра и K-теория, Proc. Симпозиумы. Чистая математика, т. XVII, 1970, с. 88–123.
• Томасон, Р. В., Алгебраический K-теория и этальные когомологии, Анна. Научный. Ec. Норма. Как дела. 18, 4э серия (1985), 437–552; erratum 22 (1989), 675–677.
• Томасон, Р. В., Le principe de sciendage et l'inexistence d'une K-теория де Милнор глобаль, Топология 31, нет. 3, 1992, 571–588.
• Томасон, Роберт В .; Тробо, Томас (1990), "Высшая алгебраическая K-теория схем и производных категорий", Grothendieck Festschrift, Vol. III, Прогр. Математика, 88, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 247–435, Дои:10.1007/978-0-8176-4576-2_10, ISBN  978-0-8176-3487-2, МИСТЕР  1106918
• Вальдхаузен, Ф., Алгебраический K-теория топологических пространств. я, по алгебраической и геометрической топологии (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, CA, 1976), Часть 1, стр. 35–60, Proc. Симпозиумы. Чистая математика, XXXII, амер. Математика. Soc., Providence, R.I., 1978.
• Вальдхаузен, Ф., Алгебраический K-теория пространств, в Алгебраическая и геометрическая топология (Нью-Брансуик, Нью-Джерси, 1983), Конспект лекций по математике, т. 1126 (1985), 318–419.
• Уолл, К.Т.С. (1965). «Условия конечности для CW-комплексов». Анналы математики. 81 (1): 56–69. Дои:10.2307/1970382. JSTOR  1970382.
• Уайтхед, J.H.C. (1941). «О матрицах инцидентности, ядрах и гомотопических типах». Анналы математики. 42 (5): 1197–1239. Дои:10.2307/1970465. JSTOR  1970465.
• Уайтхед, J.H.C. (1950). «Простые гомотопические типы». Амер. J. Math. 72 (1): 1–57. Дои:10.2307/2372133. JSTOR  2372133.
• Уайтхед, J.H.C. (1939). «Симплициальные пространства, ядра и m-группы». Proc. Лондонская математика. Soc. 45: 243–327. Дои:10.1112 / плмс / с2-45.1.243.

внешняя ссылка

• Архив препринтов теории K