Λ-кольцо - λ-ring

В алгебра, а λ-кольцо или же лямбда кольцо это коммутативное кольцо вместе с некоторыми операциями λ^п на нем, которые ведут себя как внешние силы из векторные пространства. Многие кольца рассматриваются в K-теория несут естественную λ-кольцевую структуру. λ-кольца также представляют собой мощный формализм для изучения действия симметричные функции на кольцо многочленов, восстанавливая и расширяя многие классические результаты (Ласку (2003) ).

λ-кольца были введены Гротендик (1957, 1958, с.148). Подробнее о λ-кольцах см. Атья и Высокий (1969), Кнутсон (1973), Хазевинкель (2009) и Яу (2010).

Мотивация

Если V и W конечны-размерный векторные пространства над поле k, то мы можем сформировать прямая сумма V ⊕ W, то тензорное произведение V ⊗ W, а п-й внешняя сила из V, Λ^п(V). Все это снова конечномерные векторные пространства над k. Те же три операции прямой суммы, тензорного произведения и внешней мощности также доступны при работе с k-линейные представления из конечная группа, при работе с векторные пакеты над некоторыми топологическое пространство, и в более общих ситуациях.

λ-кольца предназначены для абстрагирования общих алгебраических свойств этих трех операций, где мы также допускаем формальные обратные по отношению к операции прямой суммы. (Эти формальные инверсии также появляются в Группы Гротендика, поэтому основные аддитивные группы большинства λ-колец являются группами Гротендика.) Сложение в кольце соответствует прямой сумме, умножение в кольце соответствует тензорному произведению, а λ-операции - внешним степеням. Например, изоморфизм

{ displaystyle Lambda ^ {2} (V oplus W) cong Lambda ^ {2} (V) oplus left ( Lambda ^ {1} (V) otimes Lambda ^ {1} (W ) right) oplus Lambda ^ {2} (W)}

соответствует формуле

{ displaystyle lambda ^ {2} (x + y) = lambda ^ {2} (x) + lambda ^ {1} (x) lambda ^ {1} (y) + lambda ^ {2} (y)}

справедливо во всех λ-кольцах, и изоморфизм

{ displaystyle Lambda ^ {1} (V otimes W) cong Lambda ^ {1} (V) otimes Lambda ^ {1} (W)}

соответствует формуле

{ Displaystyle лямбда ^ {1} (ху) = лямбда ^ {1} (х) лямбда ^ {1} (у)}

справедливо во всех λ-кольцах. Аналогичные, но (гораздо) более сложные формулы управляют λ-операторами более высокого порядка.

Мотивация с помощью векторных пакетов

Если у нас есть короткая точная последовательность векторных расслоений над гладкая схема ${ displaystyle X}$

${ displaystyle 0 to { mathcal {E}} '' to { mathcal {E}} to { mathcal {E}} ' to 0,}$

затем локально, для достаточно небольшого открытый район ${ displaystyle U}$ у нас есть изоморфизм

${ displaystyle bigwedge ^ {n} { mathcal {E}} | _ {U} cong bigoplus _ {i + j = n} bigwedge ^ {i} { mathcal {E}} '| _ { U} otimes bigwedge ^ {j} { mathcal {E}} '' | _ {U}}$

Теперь в Группа Гротендик ${ Displaystyle К (Х)}$ мы получаем это локальное уравнение в глобальном масштабе бесплатно, из определения отношения эквивалентности. Так

${ Displaystyle { begin {align} left [ bigwedge ^ {n} { mathcal {E}} right] & = left [ bigoplus _ {i + j = n} bigwedge ^ {i} { mathcal {E}} ' otimes bigwedge ^ {j} { mathcal {E}}' ' right] & = sum _ {i + j = n} left [ bigwedge ^ {i} { mathcal {E}} ' right] cdot left [ bigwedge ^ {j} { mathcal {E}}' ' right] end {align}}}$

демонстрируя основное соотношение в λ-кольце, λ^п(Икс + у) = Σ_я+j=п λ^я(Икс) λ^j(у).^[1]

Определение

Λ-кольцо - это коммутативное кольцо р вместе с операциями λ^п : р → р для каждого неотрицательного целое число п. Эти операции должны иметь следующие свойства, действительные для всех Икс, у в р и все п, м ≥ 0:

λ⁰(Икс) = 1
λ¹(Икс) = х
λ^п(1) = 0, если п ≥ 2
λ^п(Икс + у) = Σ_я+j=п λ^я(Икс) λ^j(у)
λ^п(ху) = п_п(λ¹(Икс), ..., λ^п(Икс), λ¹(у), ..., λ^п(у))
λ^п(λ^м(Икс)) = п_п,м(λ¹(Икс), ..., λ^мин(Икс))

куда п_п и п_{п, м} - некоторые универсальные полиномы с целыми коэффициентами, описывающие поведение внешних степеней на тензорных произведениях и при композиции. Эти многочлены можно определить следующим образом.

Позволять е₁, ..., е_мин быть элементарные симметричные полиномы в переменных Икс₁, ..., Икс_мин. потом п_п,м - единственный полином от нм переменные с целыми коэффициентами такие, что п_{п, м}(е₁, ..., е_мин) - коэффициент при т^п в выражении

{ displaystyle prod _ {1 leq i_ {1}

(Такой многочлен существует, потому что выражение симметрично относительно Икс_я а элементарные симметричные многочлены порождают все симметричные многочлены.)

Теперь позвольте е₁, ..., е_п - элементарные симметрические многочлены от переменных Икс₁, ..., Икс_п и ж₁, ..., ж_п - элементарные симметрические многочлены от переменных Y₁, ..., Y_п. потом п_п единственный многочлен от 2п переменные с целыми коэффициентами такие, что п_п(е₁, ..., е_п, ж₁, ..., ж_п) коэффициент при т^п в выражении

{ Displaystyle prod _ {я, j = 1} ^ {n} (1 + tX_ {i} Y_ {j})}

Вариации

Определенные выше λ-кольца некоторые авторы называют «специальными λ-кольцами», которые используют термин «λ-кольцо» для более общей концепции, в которой условия на λ^п(1), λ^п(ху) и λ^м(λ^п(Икс)) отпадают.

Примеры

Кольцо Z из целые числа, с биномиальные коэффициенты ${ Displaystyle лямбда ^ {п} (х) = {х выбрать п}}$ как операции (которые также определены для отрицательных Икс) является λ-кольцом. Фактически, это единственная λ-структура на Z. Этот пример тесно связан со случаем конечномерных векторных пространств, упомянутых в Мотивация раздел, идентифицирующий каждое векторное пространство с его измерением и помня, что ${ displaystyle dim ( Lambda ^ {n} (k ^ {x})) = {x select n}}$ .
В общем, любой биномиальное кольцо становится λ-кольцом, если мы определим λ-операции как биномиальные коэффициенты, λ^п(Икс) = (^Икс
_п). В этих λ-кольцах все Операции Адамса являются идентичностью.
В K-теория K (Икс) из топологическое пространство Икс является λ-кольцом, в котором лямбда-операции индуцируются взятием внешних степеней векторного расслоения.
Учитывая группа грамм и базовое поле k, то представительное кольцо р(грамм) является λ-кольцом; λ-операции индуцированы внешними степенями k-линейные представления группы грамм.
В кольцо Λ_Z симметричных функций является λ-кольцом. На целочисленных коэффициентах λ-операции определяются биномиальными коэффициентами, как указано выше, и если е₁, е₂, ... обозначим элементарные симметрические функции, положим λ^п(е₁) = е_п. Используя аксиомы для λ-операций и тот факт, что функции е_k находятся алгебраически независимый и порождают кольцо Λ_Z, это определение можно однозначно расширить так, чтобы Λ_Z в λ-кольцо. По сути, это свободное λ-кольцо на одной образующей, причем генератор е₁. (Яу (2010, стр.14)).

Другие свойства и определения

Каждое λ-кольцо имеет характеристика 0 и содержит λ-кольцо Z как λ-подкольцо.

Многие понятия коммутативная алгебра продолжается до λ-колец. Например, λ-гомоморфизм между λ-кольцами р и S это кольцевой гомоморфизм f: R → S такой, что ж(λ^п(Икс)) = λ^п(ж(Икс)) для всех Икс в р и все п ≥ 0. λ-идеал в λ-кольце р является идеальный я в р такое, что λ^п(Икс) ϵ я для всех Икс в р и все п ≥ 1.

Если Икс является элементом λ-кольца и м целое неотрицательное число такое, что λ^м(Икс) ≠ 0 и λ^п(Икс) = 0 для всех п > м, пишем dim (Икс) = м и назовите элемент Икс конечномерный. Не все элементы должны быть конечномерными. У нас тусклый (х + у) ≤ тусклый (Икс) + тусклый (у) и продукт 1-мерный элементы 1-мерный.

Смотрите также

Черн класс