Топологическая K-теория - Topological K-theory

В математика, топологический K-теория это филиал алгебраическая топология. Он был основан для изучения векторные пакеты на топологические пространства, посредством идей, теперь признанных (общие) K-теория которые были представлены Александр Гротендик. Ранние работы по топологической K-теория связана с Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух.

Определения

Позволять Икс быть компактный Пространство Хаусдорфа и ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ или же ${\displaystyle \mathbb {C} }$. потом ${\displaystyle K_{k}(X)}$ определяется как Группа Гротендик из коммутативный моноид из классы изоморфизма конечномерных k-векторные пучки более Икс под Сумма Уитни. Тензорное произведение пакетов дает K-теория а коммутативное кольцо структура. Без индексов, ${\displaystyle K(X)}$ обычно обозначает сложный K-теория тогда как реальная K-теория иногда записывается как ${\displaystyle KO(X)}$. Остальное обсуждение сосредоточено на сложных K-теория.

В качестве первого примера обратите внимание, что K-теория точки - это целые числа. Это потому, что векторные расслоения над точкой тривиальны и, таким образом, классифицируются по их рангу, а группа Гротендика натуральных чисел - это целые числа.

Также существует сокращенная версия K-теория, ${\displaystyle {\widetilde {K}}(X)}$, определенная для Икс компактный заостренное пространство (ср. пониженная гомология ). Эта редуцированная теория интуитивно понятна. K(Икс) по модулю тривиальные связки. Он определяется как группа стабильных классов эквивалентности расслоений. Две связки E и F как говорят стабильно изоморфный если есть тривиальные связки ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ и ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$, так что ${\displaystyle E\oplus \varepsilon _{1}\cong F\oplus \varepsilon _{2}}$. Это отношение эквивалентности приводит к группе, поскольку каждое векторное расслоение может быть дополнено до тривиального расслоения путем суммирования с его ортогональным дополнением. В качестве альтернативы, ${\displaystyle {\widetilde {K}}(X)}$ можно определить как ядро карты ${\displaystyle K(X)\to K(x_{0})\cong \mathbb {Z} }$ индуцированный включением базовой точки Икс₀ в Икс.

K-теория образует мультипликативный (обобщенный) теория когомологий следующее. В короткая точная последовательность пары точечных пространств (Икс, А)

${\displaystyle {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A)}$

распространяется на длинная точная последовательность

${\displaystyle \cdots \to {\widetilde {K}}(SX)\to {\widetilde {K}}(SA)\to {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A).}$

Позволять S^п быть п-го уменьшенная подвеска пространства, а затем определить

${\displaystyle {\widetilde {K}}^{-n}(X):={\widetilde {K}}(S^{n}X),\qquad n\geq 0.}$

Отрицательные индексы выбираются так, чтобы кограница карты увеличивают размерность.

Часто бывает полезно иметь нередуцированную версию этих групп, просто определяя:

${\displaystyle K^{-n}(X)={\widetilde {K}}^{-n}(X_{+}).}$

Здесь ${\displaystyle X_{+}}$ является ${\displaystyle X}$ с непересекающейся базовой точкой, помеченной знаком «+».^[1]

Наконец, Теорема периодичности Ботта как сформулировано ниже, распространяет теории на положительные целые числа.

Характеристики

• ${\displaystyle K^{n}}$ (соответственно, ${\displaystyle {\widetilde {K}}^{n}}$) это контравариантный функтор от гомотопическая категория (точечных) пространств в категорию коммутативных колец. Так, например, K-теория окончена сжимаемые пространства всегда ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

• В спектр из K-теория ${\displaystyle BU\times \mathbb {Z} }$ (с дискретной топологией на ${\displaystyle \mathbb {Z} }$), т.е. ${\displaystyle K(X)\cong \left[X^{+},\mathbb {Z} \times BU\right],}$ куда [ , ] обозначает точечные гомотопические классы и BU это копредел классифицирующих пространств унитарные группы: ${\displaystyle BU(n)\cong \operatorname {Gr} \left(n,\mathbb {C} ^{\infty }\right).}$ По аналогии,

${\displaystyle {\widetilde {K}}(X)\cong [X,\mathbb {Z} \times BU].}$

Серьезно K-теория использования BO.

• Существует естественный кольцевой гомоморфизм ${\displaystyle K^{0}(X)\to H^{2*}(X,\mathbb {Q} ),}$ то Черн персонаж, так что ${\displaystyle K^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{2*}(X,\mathbb {Q} )}$ является изоморфизмом.

• Эквивалент Операции Стинрода в K-теория Операции Адамса. Их можно использовать для определения характеристических классов в топологической K-теория.

• В Принцип разделения топологических K-теория позволяет свести утверждения о произвольных векторных расслоениях к утверждениям о суммах линейных расслоений.

• В Теорема Тома об изоморфизме в топологической K-теория

${\displaystyle K(X)\cong {\widetilde {K}}(T(E)),}$

куда Т(E) это Пространство Тома векторного расслоения E над Икс. Это имеет место всякий раз, когда E спин-расслоение.

• В Спектральная последовательность Атьи-Хирцебруха позволяет вычислить K-группы из обычных групп когомологий.

• Топологический K-теорию можно широко обобщить до функтора на C * -алгебры, видеть операторная K-теория и КК-теория.

Периодичность Ботта

Феномен периодичность названный в честь Рауль Ботт (видеть Теорема периодичности Ботта ) можно сформулировать так:

• ${\displaystyle K(X\times \mathbb {S} ^{2})=K(X)\otimes K(\mathbb {S} ^{2}),}$ и ${\displaystyle K(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} [H]/(H-1)^{2}}$ куда ЧАС это класс тавтологический пучок на ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ),}$ то есть Сфера Римана.

• ${\displaystyle {\widetilde {K}}^{n+2}(X)={\widetilde {K}}^{n}(X).}$

• ${\displaystyle \Omega ^{2}BU\cong BU\times \mathbb {Z} .}$

В действительности K-теория имеет аналогичную периодичность, но по модулю 8.

Приложения

Два самых известных приложения топологической K-теории связаны с Фрэнк Адамс. Сначала он решил Инвариант Хопфа одна проблема, выполнив вычисления с его Операции Адамса. Затем он доказал верхнюю оценку числа линейно независимых векторные поля на сферах.

Черн персонаж

Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух доказал теорему, связывающую топологическую K-теорию CW-комплекса ${\displaystyle X}$ с его рациональными когомологиями. В частности, они показали, что существует гомоморфизм

${\displaystyle ch:K_{\text{top}}^{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )}$

такой, что

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{top}}^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k}(X;\mathbb {Q} )\\K_{\text{top}}^{1}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k+1}(X;\mathbb {Q} )\end{aligned}}}$

Существует алгебраический аналог, связывающий группу Гротендика когерентных пучков и кольцо Чжоу гладкого проективного многообразия ${\displaystyle X}$.

Смотрите также

• Спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха (вычислительный инструмент для поиска групп K-теории)
• КР-теория
• Теорема Атьи – Зингера об индексе
• Теорема Снайта
• Алгебраическая K-теория

Рекомендации

1. Хэтчер. Векторные расслоения и K-теория (PDF). п. 57. Получено 27 июля 2017.

• Атья, Майкл Фрэнсис (1989). K-теория. Advanced Book Classics (2-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN  978-0-201-09394-0. МИСТЕР  1043170.
• Фридлендер, Эрик; Грейсон, Дэниел, ред. (2005). Справочник по K-теории. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-3-540-27855-9. ISBN  978-3-540-30436-4. МИСТЕР  2182598.
• Каруби, Макс (1978). K-теория: введение. Классика по математике. Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-3-540-79890-3. ISBN  0-387-08090-2.
• Каруби, Макс (2006). «К-теория. Элементарное введение». arXiv:математика / 0602082.
• Хэтчер, Аллен (2003). "Векторные пучки и K-теория".
• Стыков Максим (2013). «Связь K-теории с геометрией и топологией».